2从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导(二)

7.5x-271.4+5.9x=10
13.4x=281.4
直接设元法
x=21。
答：胶鞋有21双。
间接设元法
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案例2
一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次， 按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球， 投进不到8个球的人平均投进3个球。问： 共有多少人参加测验？
系：Ｖ＝πr²h。半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值。 函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量
的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而 构建函数模型。函数思想体现了运动变化的观点。 （小学六年级初步学习正、反比例函数）
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2、方程和函数的关系
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分析与解：4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。
投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加 上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）= 5+8+6×（x-16） = 6x-83，也等于进球数不到8个的人的进球数加上至 少投进8个球的人的进球数，3×（x-3-4-1） +8×3+9×4+10×1= 3×（x-8）+24+36+10=
这是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。这 样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变 量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、 指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际上现实生活中还有很多情况是一 个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学 里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关
设这个两位数为x。由题意得到（10x+1）-（100+x）=666， 10x+1-100-x=666， 10x-x=666-1+100， 9x=765，
所以原来的两位数是 x=85。
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案例5
将一个三位数的数字重新排列，在所得 到的三位数中，用最大的减去最小的，正 好等于原来的三位数，求原来的三位数。
方程为不定方程。
根据实际问题列出的不定方程，往往需要求整数解或自然数解，
这时的解有时有无限个，有时有有限个，有时可能是唯一的，有时 甚至无解。例如：x-y=1有无限个解，因为只要x比y大1就是解； 3x+2y=5只有x=1，y=1一个解；3x+2y=1没有解。
由上看出，只要找到不定方程的一个解，其余解可通过对这个解的
分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是a，b，c。若
由上式知，所求三位数是99的倍数，从2倍到9倍，可能值为198， 297，396，495，594，693，792，891。经验证，只有495符合 题意，即原来的三位数是495。
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案例6
无限循环小数0.777…和0.747474…如何 化成分数？你能发现什么规律？
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用方程的思想解决位值原则问
案例4：有一个两位数，把数字1写在它的最高位前面可以 得到一个三位数，写在它的最低位后面也可以得到一个
三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。
分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加 了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再 加1。
1、方程与函数思想在教材中的具体应用
方程思想：
含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是不是方程，只
需要同时满足两个条件：一个是含有未知数，另一个是必须是 等式。经常有老师有这样的疑问：判断χ=0 和χ=1是不是方程？ 根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。方程按照未 知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元 二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数 学代数领域中最基本的内容。方程思想的核心是将问题中的未知 量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量
分析与解：此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系
表达出来。设胶鞋有x双，则布鞋有（46-x）双。胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销 售收入为5.9（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。
解：设有胶鞋x双，则有布鞋（46-x）双。
7.5x-5.9（46-x）=10 （或： 7.5x=5.9（46-x）+10）
一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是方程的解，即 x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。
所以安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可 以。
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66 7x
在方程7x+4y=66中，对于x的任何值，都可以得到y=
，4 也就是
说，方程7x+4y=66有无数个解。由于这类方程的解的不确定性，所以称这类
人们运用方程思想，一般关注的是通过设未知数如何找出数量之间的 相等关系构建方程并求出方程的解，从而解决数学问题和实际问题。人们运 用函数思想，一般更加关注变量之间的对应关系，通过构建函数模型并研究函数
的一些性质来解决数学问题和实际问题。方程中的未知数往往是静态的，而函数
中的变量则是动态的。方程已经有3000多年的历史，而函数概念的产生不过才 300年。
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一般来说，当理解题意的过程中有明显的符号化的 等量关系的时候均可以考虑将某个未知量予以赋值或
代换赋值从来与已知量之间建立一种等式后用方程的 思想方法求解。特别是有些数量关系比较复杂的应用 题，用算术方法求解比较困难。此时，如果能恰当地
假设一个未知量为x（或其它字母）[当然这也是一种 赋值思想的体现]，并能用两种方式表示同一个量，其 中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含 有未知数x的等式，即方程。
利用列方程求解应用题，能使数量关系清晰明了、 但小学生对繁杂的方程解法的掌握应是关键。所以这类 思想的培养之初，还得进行必要的解方程能力的训练。 (用等式的性质及适当进行等号两边移项）
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案例1商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5 元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布 鞋多收入10元。问：胶鞋有多少双？
黄帽子是红帽子的2倍。问：男孩、女孩各有多少人？
5.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生人数是女生的1.5倍，
又走了10个女生后，男生人数是女生的4倍。问：教室里原有多少
个学生？
6.一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数 羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7； 过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊， 牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5。
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模拟练习1
3.大、小两个水池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小
池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。
已知大池容积是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？
4.一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红
帽。在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，
加、减一定数值得到。限于小学生学到的知识的有限性，寻找第一个 解的方法更多的要依赖“拼凑”。
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模拟练习2
1．求不定方程5x+3y=68的所有整数解。
2．用100元钱去买3元一个和7元一个的两种 商品，钱正好用完，共有几种买法？
3．五年级一班的43名同学去划船，大船可坐 7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少 条？
从数学思想方法的培养角度
审视小学数学竞赛的训练与辅导
(方程和函数思想)
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㈡、方程和函数思想
方程和函数是初等数学代数领域的主要 内容，也是应用数学解决实际问题的重要 工具，它们都可以用来描述现实世界的各 种数量关系，而且它们之间有着密切的联 系，因此，我将二者放在一起进行讨论。
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（1）方程和函数的区别。
从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过 程。
算术研究具体的确定的常数以及它们之间的数量关系。 方程研究确定的常数和未知的常数之间的数量关系。
函数研究变量之间的数量关系。
方程和函数虽然都是表示数量关系的，但是它们有本质的区别。如二元一次不 定方程中的未知数往往是常量，而一次函数中的自变量和应变量一定是变量。
最后用化归的思想得出无限循环小数化分数的规律：把循 环节作为分子，循环节有几位数字，分母就是由几个9组
成的几位数。
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模拟练习3
1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加
在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。 求原来的两位数。 2.有一个三位数，将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数 码3加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是
这群羊原来有多少只？
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案例3
学校要安排66名新生住宿，小房间可以住 4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小 房间，才能正好将66名新生安排下？
分析与解：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。
这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，
推知7x也是偶数，从而x是偶数。 当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。 因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的
可以说求一元一次方程的解，实际上就是求使函数值为0的自 变量的值，或者说求一次函数图象与χ轴交点的横坐标的值 。
(一般地，就初等数学而言，如果令函数值为0，那么这个函数
就可转化为含有一个未知数的方程；求方程的解，就是求使函数值为0 的自变量的值，或者说求函数图象与χ轴交点的横坐标的值。)
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（2）方程和函数的联系。
它们也有密切的联系。如二元一次不定方程aχ＋by＋c＝0和一次 函数y＝kχ＋b之间。如果方程的解在实数范围内，函数的定义 域和值域都是实数。那么方程aχ＋by＋c
＝0经过变换可转化为y＝- bax -
,c在直角坐标系里画出来的 b
图象都是一条直线。因此，可以说一个二元一次方程对应一个一 次函数。如果使一次函数y＝kχ＋b中的函数值等于0，那么一次 函数转化为kχ＋b＝0，这就是一元一次方程。
之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对立统 一。（将未知数当作已知数来运算。）
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函数思想：
集合Ａ、Ｂ是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系ƒ，如果对于集合 Ａ中的任意一个数χ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是χ 的函数，记作y＝ƒ(χ)。其中χ叫做自变量，χ的取值范围Ａ叫做函数的定义域， y叫做函数或因变量，与χ相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围Ｂ叫做值域。
3x+46。 由此可得方程 6x-83=3x+46， 3x=129，
x=43。
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模拟练习1
1.某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的
2倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80米3，
灰砖30米3，那么，红砖缺40米3，灰砖剩40米3。问：
计划修建住宅多少座？
2.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数 的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问： 最初有多少个女生？
3、方程与函数思想在数学竞赛题中的具体 应用。
所谓方程的思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量 和未知量之间的数量关系中找到相等关系，用数学符号化的语 言将相等关系转化为方程（组）或不定方程，然后解方程（组） 或不定方程从而使问题获解。方程思想就是从分析问题的数量关 系入手，适当设定未知数，把所研究的问题中已知量和未知量这 间的数量关系转化为方程，从而使问题得到解决。当一个问题 可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进 行研究以解决这个问题。把未知数当已知数，让所设未知数的字 母和已知数一样参加运算，这种思想方法是数学中常用的重要方 法之一，是代数解法的重要标志，与算数方法相比，更体现顺向 思维与逻辑推理的特质。