江苏省海门第一中学2020-2021学年第一学期高二第一次质量调研数学试题

江苏省海门第一中学高二第一学期第一次质量调研---数学试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．22ac bc >
B ．222
a b c >> C ．2a c b +>
D ．a c b c ->-
2．函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的函数值恒小于零，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,2]-∞
B ．(,2)-∞-
C ．(2,2]-
D ．(2,2)-
3．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S 等于（ ） A ．44
B ．64
C ．81
D ．108
4．下列各函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x
=+
B ．1sin sin y x x =+
，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
C
．2y =
D ．122
x
x y =+
5．已知0,0a b >>，且1a b +=，则
49ab
a b
+的最大值为（ ）
A ．124
B ．125
C ．126
D ．127
6．若不等式2
162a b
x x b a
+<+对任意a ， ()0b ∈+∞，
恒成立，则实数x 的取值范围是（ ，
A ．()20-，
B ．()42-，
C ．()()20-∞-⋃+∞，，
D ．()()42-∞-+∞，，
7．已知等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，则数列1
1
{
}n n a a +的前10项的和为（ ） A ．2223
B ．
1123
C ．
2021 D ．
1021
8
．已知n a =，，n ∈+N ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别
是（ ， A ．150,a a B ．81,a a C ．89,a a D ．590,a a
二、多选题
9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >
B ．不等式0bx c +>的解集是
{|6}x x <-
C ．0a b c ++>
D ．不等式20cx bx a -+<的解集为
11
(,)(,)32
-∞-⋃+∞
10．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n a
n b =，对于数列{}n a 、{}n b ，
下列选项中正确的为（ ） A ．1058b b = B ．{}n b 是等比数列
C ．130105a b =
D ．357246209
193
a a a a a a ++=++
11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，
781a a ⋅>，
871
01
a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9S
D ．n T 的最大值为7T
12．下列说法正确的是（ ）.
A ．若,0x y >，2x y +=，则22x y +的最大值为4
B ．若12
x <
，则函数1221y x x =+-的最大值为-1
C ．若,0x y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1
D ．函数2214
sin cos y x x
=
+的最小值为9 三、填空题
13．对任意x ∈R ，函数f(x)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值总为非负，则m 的取值范围为________.
14．已知数列{}n a 满足125a =，12n n a a n +=+，则
n
a n
的最小值为__________. 15．若实数x ，y 满足34x y +=，则28x y +的最小值为________． 16．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22
x y
x y -+的最大值为______.
四、解答题
17．设()()2
1 1,m f x m x x m m -+-=+∈R ．
（1）若方程()0f x =有实根，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()0f x >的解集为∅，求实数m 的取值范围； （3）若不等式()0f x >对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 18．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和．
19．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1b c +=，且
()()()a c a c b b c +-=-.
（1）求角A 的大小； （2）求三角形面积ABC
S
的最大值.
20．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为
（1）设总造价y （元）表示为长度()x m 的函数；
（2）当()x
m 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
21． 已知数列{}n a 中，11(1)2,,()2n
n n
n a a a n N n a *++==
∈+.
（1）求证：n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （2）若5n b n =，且数列n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，求数列{}n n S b -的最小项.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11n n a S +=+（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n b na =（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）令3n n n a c na -=（*n N ∈），若对于一切正整数n ，总有80
n m
c ≤成立，求实数m 的取值范围.
答案
一、单选题
1．如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22ac bc > B ．222a b c >>
C ．2a c b +>
D ．a c b c ->-
【答案】D
2．函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的函数值恒小于零，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．(,2)-∞-
C ．(2,2]-
D ．(2,2)-
【答案】C
3．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S 等于（ ） A ．44 B ．64
C ．81
D ．108
【答案】B
4．下列各函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x
=+
B ．1sin sin y x x =+
，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
C ．2
y =
D ．122x
x
y =+
【答案】D
5．已知0,0a b >>，且1a b +=，则49ab
a b
+的最大值为（ ）
A ．
124
B ．
125 C ．
126
D ．
127
【答案】B
6．若不等式2
162a b
x x b a
+<+对任意a ， ()0b ∈+∞，
恒成立，则实数x 的取值范围是（ ，
A ．()20-，
B ．()42-，
C ．()()20-∞-⋃+∞，，
D ．()()42-∞-+∞，
，
【答案】B
7．已知等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，则数列1
1
{
}n n a a +的前10项的和为（ ） A ．
2223
B ．
1123
C ．
2021 D ．
1021
【答案】D 8．已知79
80
n n a n -=-，，n ∈+N ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别
是（ ， A ．150,a a B ．81,a a
C ．89,a a
D ．590,a a
【答案】C
二、多选题
9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ）
A ．0a >
B ．不等式0bx c +>的解集是
{|6}x x <-
C ．0a b c ++>
D ．不等式20cx bx a -+<的解集为
11
(,)(,)32
-∞-⋃+∞
【答案】ABD
10．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n a
n b =，对于数列{}n a 、{}n b ，
下列选项中正确的为（ ） A ．1058b b = B ．{}n b 是等比数列 C ．130105a b = D ．
357246209
193
a a a a a a ++=++
【答案】BD
11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，
781a a ⋅>，
871
01
a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9S D ．n T 的最大值为7T
【答案】AD
12．下列说法正确的是（ ）.
A ．若,0x y >，2x y +=，则22x y +的最大值为4
B ．若12
x <
，则函数1221y x x =+-的最大值为-1
C ．若,0x y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1
D ．函数2214
sin cos y x x
=+的最小值为9 【答案】BD 三、填空题
13．对任意x ∈R ，函数f(x)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值总为非负，则m 的取值范围为________. 【答案】{0}
14．已知数列{}n a 满足125a =，12n n a a n +=+，则n
a n
的最小值为__________. 【答案】9
15．若实数x ，y 满足34x y +=，则28x y +的最小值为________． 【答案】8
16．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则
22
x y
x y -+的最大值为______.
【答案】
14
四、解答题
17．设()()2
1 1,m f x m x x m m -+-=+∈R ． （1）若方程()0f x =有实根，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()0f x >的解集为∅，求实数m 的取值范围；
（3）若不等式()0f x >对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）m ≤≤（2）m ≤（3）m > 18．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和． 【答案】(1) 2
21n a n =
-；(2)
221
n n +. （1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+-
2n ≥时,()()121
32321n a a n a n ++⋯+--﹣＝ ∴()212n n a -= ∴221
n a n =
- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∴2
21
n a n =- （2）
211
21(21)(21)2121
n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和 1111
113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1212121
n
n n =-
=++
19．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1b c +=，且
()()()a c a c b b c +-=-.
（1）求角A 的大小； （2）求三角形面积ABC
S
的最大值.
【答案】（1）3
A π
=
；（2）
16
. （1）由()()()a c a c b b c +-=-可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得
2221
cos 22b c a A bc +-==，因为角A 为三角形内角，所以3
A π=；
（2）由（1）知3
A π
=
，所以sin A =
，又1b c +=，
所以2
11sin sin 22216
ABC
b c S
bc A A +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12==b c 时取“=”，所
以三角形面积ABC
S
的最大值为
16
. 20．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为()x
m .
（1）设总造价y （元）表示为长度()x m 的函数；
（2）当()x
m 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
【答案】（1）20018400400y x x ⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，(4,50)x ∈（2）当x =时，总造价
最低为18400+ 【详解】
（1）由矩形的长为()x
m ，则矩形的宽为
200
()m x
， 则中间区域的长为()4x m -，宽为
200
4()m x
-，则定义域为(4,50)x ∈
则200200100(4)4200200(4)4y x x x x ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⨯--+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦ 整理得20018400400y x x ⎛
⎫
=++
⎪⎝⎭
，(4,50)x ∈ （2
）200x x +
≥=当且仅当200
x x
=
时取等号，即(4,50)x =
所以当x =
18400+
21． 已知数列{}n a 中，11(1)2,,()2n
n n
n a a a n N n a *++==
∈+.
（1）求证：n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（2）若5n b n =，且数列n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，求数列{}n n S b -的最小项. 解：（1）由题可知，11(1)2,,()2n
n n
n a a a n N n a *++==
∈+，
1212n n n n n a n n
a a a +++∴
==+ ， 112n n n n a a ++∴
-=，且111
2
=a ， n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
是以1
2为首项，2为公差的等差数列，
3
22
n n n a ∴
=-. （2）已知数列n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ， ()2121222
n n n n S n n -⨯∴=
+=-，
2211522
n n n S b n n n n ∴-=--=-， 设n n n T S b =-，即 2211111212416n T n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝
⎭， 可知，当n 取与114
靠近的整数时，n T 取得最小值， 所以当3n =时，n T 的最小项为：23111211534162T ⎛⎫=--=- ⎪⎝
⎭， 即数列{}n n S b -的最小项为152-
.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11n n a S +=+（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n b na =（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）令3n n n a c na -=
（*n N ∈），若对于一切正整数n ，总有80n m c ≤成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）12n n a ；（2）()121n n -⋅+；（3）13m ≥. 【详解】
解：（1）由题意，当2n ≥时，有1111
n n n n a S a S +-=+⎧⎨=+⎩ 两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=（2n ≥）， 所以，当2n ≥时{}n a 是等比数列，
又22a =，有21
2a a =， 所以数列{}n a 是等比数列，从而得出12n n a . （2）由（1）知12n n b n -=⋅，
()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅， ()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+⋅ 所以()
()012111222222212112n n n n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=-⋅--
故()121n
n T n =-⋅+ （3）由（1）得113232
n n n n n a c na n ----==⋅ 则()()1112323362122
12n n n
n n n n n n c c n n n n -+---+--=-=+⋅⋅+⋅， ∵*n N ∈，∴()120n
n n +⋅>， 又当4n ≤时，3620n n +->，当5n ≥时，3620n n +-<， ∴当5n =时数列{}n c 有最大值1380
. ∴实数m 的取值范围为13m ≥.。