贵阳市十八中九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(答案解析)

一、选择题
1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）
A ．（x ﹣3）2＝3
B ．（x ﹣3）2＝6
C ．（x+3）2＝12
D ．（x ﹣3）2＝12 2．用配方法转化方程2210x
x +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x += 3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A ．2670x x ++=
B ．25260x x --=
C ．22270x x -=
D ．2220x x -+-=
4．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设1a =，则b =（ ）
A ．512
B ．512
C 53+
D 21 5．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2a-2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）
A ．a ≠2
B ．a=2
C ．a=-3
D ．a=-3或a=2 6．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．2000(12)2880x +=
B ．2000(1)2880x ⨯+=
C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=
D ．22000(1)2880x +=
7．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）
A ．(1)81x x x ++=
B ．2181x x ++=
C ．1(1)81x x x +++=
D ．(1)81x x +=
8．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（ ） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．有两个不相等的实数根 9．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ．210x x +=
B ．ax 2+bx +c ＝0
C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0
D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2 10．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．x 2+65x-350=0
B ．x 2+130x-1400=0
C ．x 2-130x-1400=0
D ．x 2-65x-350=0 11．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定
12．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2＝0 B ．x ﹣3＝0 C ．x 2﹣5＝0 D ．x 2+2＝0
二、填空题
13．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）2 14．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．
15．已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为出x 1和x 2，则x 1+x 2+x 1x 2＝_____．
16．一元二次方程22(1)210a x x a +++-=，有一个根为零，则a 的值为________． 17．某农场的粮食产量在两年内从增加3000t 到3630,t 则平均每年增产的百分率是______________．
18．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．
19．若t 是一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a 的根，则判别式24b ac =-△与完全平方式()2
2M at b =+的大小关系为___________
20．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人． 三、解答题
21．商店销售某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？
22．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
23．关于x 的一元二次方程()2
220x k x k -++=． （1）判断方程根的情况，并说明理由．
（2）若1x =是方程的一个根，求k 的值和方程的另一根．
24．设,a b 是一个直角三角形的两条直角边的长，且()()2222112a b
a b +++=，求这个
直角三角形的斜边长c 的值．
25．解方程：2x²-4x-3=0．
26．解方程：
（1）23620x x -+=
（2）222(3)9x x -=-
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．
【详解】
由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，
配方得；（x ﹣3）2＝12．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．
2．A
解析：A
【分析】
方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．
【详解】
解：2210x x +-=
2212x x ++=
∴2(1)2x +=，
故选：A ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】
A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；
B 、()()2
24541261290b ac =-=--⨯⨯-=>，则方程有两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；
C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；
D 、()()224241240b ac =-=-⨯-⨯-=-<，则方程没有实数根，所以D 选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．B
解析：B
【分析】
根据上图可知正方形的边长为a+b ，下图长方形的长为a+b+b ，宽为b ，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b ）2=b(a+b+b)，解方程即可求得结论．
【详解】
解：根据题意得：正方形的边长为a+b ，长方形的长为a+b+b ，宽为b ，
则（a+b ）2=b(a+b+b)，即a 2﹣b 2+ab=0， ∴2)10a a b b +
-=（，
解得：
a b =， ∵a b
＞0，
∴12
a b -+=，
∴当a=1时，1
2b =
=， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．
5．B
解析：B
【分析】
将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．
【详解】
解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，
得： a 2+a-6=0，
解得：a 1=﹣3，a 2=2，
∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，
∴a=2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．
6．D
解析：D
【分析】
一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．
【详解】
解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：
2000（1+x ）2=2880．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问
题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．
7．C
解析：C
平均一人传染了x 人，根据有一人患病，第一轮有（x+1）人患病，第二轮共有x+1+（x+1）x 人，即81人患病，由此列方程求解．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得，
x+1+（x+1）x=81
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 8．C
解析：C
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-8＜0，进而可得出方程23210x x ++=没有实数根．
【详解】
解：∵△=22-4×1×3=-8＜0，
∴方程23210x x ++=没有实数根．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
A 、是分式方程．错误；
B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；
C 、是，一元二次方程，正确；
D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；
故选：C ．
【点睛】
考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
10．A
解析：A
【分析】
本题可设长为（80+2x ），宽为（50+2x ），再根据面积公式列出方程，化简即可．
解：依题意得：（80+2x ）（50+2x ）=5400，
即4000+260x+4x 2=5400，
化简为：4x 2+260x-1400=0，
即x 2+65x-350=0．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．
11．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．
【详解】
解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．
∵k 2≥0，
∴k 2+8＞0，即△＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．
12．C
解析：C
【分析】
利用直接开平方法分别求解可得．
【详解】
解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；
B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；
C ．由x 2﹣5＝0得x 1=
x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 二、填空题
13．49【分析】运用配方法的运算方法填写即可【详解】解：（1）x2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x2-9x+=（x-）2故答案为：【点睛】此题主要考查了配方法的应用熟练掌握完全平方公
解析：49
814 92 【分析】
运用配方法的运算方法填写即可．
【详解】
解：（1）x 2+14x+49=（x+7）2
故答案为：49；
（2）x 2-9x+
814=（x-92）2， 故答案为：
814，92
． 【点睛】
此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键． 14．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键
解析：12x 0x -3==，
【分析】
用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：x ( x +3)＝0，
x ＝0或 x +3＝0，
12x 0x -3==，；
故答案为：12x 0x -3==，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．
15．﹣【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣＝﹣2x1x2＝﹣然后利用整体代入的方法计算【详解】根据题意得x1+x2＝﹣＝﹣2x1x2＝﹣所以x1+x2+x1x2＝﹣2﹣＝﹣故答案为：﹣【点睛】本
解析：﹣
72
【分析】
根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4
2
＝﹣2，x1x2＝﹣
3
2
，然后利用整体代入的方法计
算．【详解】
根据题意得x1+x2＝﹣4
2
＝﹣2，x1x2＝﹣
3
2
，
所以x1+x2+x1x2＝﹣2﹣3
2
＝﹣
7
2
．
故答案为：﹣7
2
．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，
x1＋x2＝−b
a
，x1x2＝
c
a
．
16．1【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0再解关于a的方程然后利用一元二次方程的定义确定a的值【详解】解：把
x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0得a2
解析：1
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】
解：把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0得a2-1=0，
解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17．【分析】此题是平均增长率问题一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）参照本题如果设平均每年增产的百分率为x根据粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨即可得出方程求解【详解】解：设平均每年增
解析：10%
【分析】
此题是平均增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨”，即可得出方程求解．
【详解】
解：设平均每年增产的百分率为x ；
第一年粮食的产量为：3000（1+x ）；
第二年粮食的产量为：3000（1+x ）（1+x ）=3000（1+x ）2；
依题意，可列方程：3000（1+x ）2=3630；
解得：x=-2.1（舍去）或x=0.1=10%
故答案为：10%．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 18．或【分析】等腰三角形ABC 中边可能是腰也可能是底应分两种情况进行讨论分别利用根与系数的关系三角形三边关系定理求得方程的两个根进而求得答案【详解】解：∵关于x 的方程∴∴∵是等腰三角形的长是关于x 的方程 解析：25或16
【分析】
等腰三角形ABC 中，边BC 可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案．
【详解】
解：∵关于x 的方程2100x x m -+=
∴1a =，10b =-，c m = ∴1210b x x a +=-
=，12c x x m a == ∵ABC 是等腰三角形，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根 ∴①当8BC =为底、两根AB 、AC 均为等腰三角形的腰时，有1210AB AC x x +=+=且AB AC =
即5AB AC ==，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1225m x x AB AC ==⋅=；
②当8BC =为腰、两根AB 、AC 中一个为腰一个为底时，有122810x x x +=+=，即22x =，此时此时等腰三角形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1216m x x AB AC ==⋅=．
∴综上所述，m 的值为25或16．
故答案是：25或16
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．相等【分析】由t 是一元二次方程()的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值将其代入完全平方式中即可得出M 的值由此即可得出结论【详解】∵t
是一元二次方程()的根∴或当时则；当时则；∴故答案为：相等【
解析：相等
【分析】
由t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值，将其代入完全平方式()2
2M at b =+中即可得出M 的值，由此即可得出结论．
【详解】
∵t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根，
∴2b t a -+=或2b t a --=，
当2b t a
-+=时，则()224M b b b ac =-=-；
当2b t a
-=时，则()224M b b b ac =-=-； ∴24b ac M =-=．
故答案为：相等．
【点睛】
本题考查了根的判别式、完全平方式以及利用公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程求出t 值是解题的关键．
20．3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人则第一轮共有人患病第二轮后患病人数有人从而列方程再解方程可得答案【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人则：或或经检验：不符合题意舍去取答：每轮传染中平均一 解析：3
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮共有()1x +人患病，第二轮后患病人数有()21x +人，从而列方程，再解方程可得答案．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，
则：()1+116,x x x ++=
()2
116,x ∴+=
14x ∴+=或14,x +=- 3x ∴=或5,x =-
经检验：5x =-不符合题意，舍去，取 3.x =
答：每轮传染中平均一个人传染了3人．
故答案为：3.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用中的传播问题是解题的关键．
三、解答题
21．每件售价为45元
【分析】
设该商品的单价为x 元，根据题意得到方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设该商品的单价为x 元．
根据题意，得()()3020010402250---=⎡⎤⎣⎦x x ．
解这个方程，得1245x x ==．
答：每件售价为45元．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据利润得到相应的等量关系是解题的关键．
22．（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．
【分析】
（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．
【详解】
（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，
根据题意，得30000（1＋x ）2＝36300，
解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．
答：预计4月份平均日产量为39930个．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 23．（1）有两个实数根，证明见解析；（2）1k =，2x =
【分析】
（1）利用根的判别式进行判断根的情况，即可得到答案；
（2）把1x =代入方程，即可求出k 的值，然后解一元二次方程，即可得到另一个根．
【详解】
解：（1）根据题意，在一元二次方程()2
220x k x k -++=中， ∵2(2)42k k ∆=+-⨯，
244k k =-+，
2(2)0k =-，
∴对于任意的实数k ，原方程总有两个实数根．
（2）∵1x =是方程2(2)20x k x k -++=的一个根．
∴1(2)120k k -+⨯+=，
解得：1k =，
∴原方程为2320x x -+=，
解得：11x =，22x =，
∴原方程的另一根为2
2x =．
【点睛】 本题考查了解一元二次方程以及根的判别式，牢记当0∆≥时方程有两个实数根是解题的关键．
24
【分析】
对题目中所给的条件进行变形，利用整体思想求解出22a b +的值，从而结合勾股定理求解斜边长即可．
【详解】
由题意得()()
22222120a b a b +++-=， ()()2222340a b a b +∴+-+=
223a b ∴+=或224a b +=-(不合题意，舍去）
则2223c a b =+=
c ∴=负舍）．
【点睛】
本题考查解一元二次方程及勾股定理的应用，能够准确从条件中求解出直角边的平方和是解题关键．
25．12x x =
=【分析】 利用公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】
解：2x²-4x-3=0
∵ a=2，b=-4，c=-3，
∴()()2
2=b 4442340ac ∆-=--⨯⨯-=＞0， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴x ===
∴122222
x x +==． 【点睛】
本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题关键．
26．（1）1x =，2x =2）x=3或x=9． 【分析】
（1）根据公式法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵3x 2-6x+2=0，
∴a=3，b=-6，c=2，
∴△=36-24=12，
∴x =
=
∴13x =，233
x = （2）∵2（x-3）2=x 2-9，
∴2（x-3）2=（x-3）（x+3），
∴（x-3）[（2（x-3）-（x+3）]=0，
∴（x-3）（x-9）=0
∴x-3=0，x-9=0
∴x=3或x=9．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．。