江苏省宿迁市宿豫中学届高考数学(二轮复习)专题检测：三角函数化简与求值策略.docx

19 三角函数化简与求值策略
1．若sin(π＋α)＝－12
，则cos α＝________. 答案 ±32
解析 由sin(π＋α)＝－12，得－sin α＝－12
， 即sin α＝12
， ∴cos α＝±1－sin 2α＝±32
. 2．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________．
答案 －3
解析 tan α＋tan β＝3，tan α×tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α×tan β
＝－3. 3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为________．
答案 22
解析 sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )
＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )[－cos(70°＋x )]
＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)
＝sin(65°－x ＋x －20°)
＝sin 45°＝22
. 4． sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°
的值是________． 答案 12
解析 原式＝sin(30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°
＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°
＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12
. 5．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 答案 539
解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，0<α<π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223
. 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33
，－π2<β<0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63
， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539
. 6．(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β
，则2α－β＝________.
答案 π2
解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β
， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2
－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)， ∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2
)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2
－α， ∴2α－β＝π2
. 7．已知tan α＝2，则sin 2α＋cos 2(π－α)1＋cos 2α
的值为________． 答案 52
解析 sin 2α＋cos 2(π－α)1＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α
＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52
. 8.cos 2α1＋sin 2α·1＋tan α1－tan α
的值为________． 答案 1
解析 原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋sin αcos α1－sin αcos α
＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α
＝1. 9．已知sin θ＋cos θ＝713
，θ∈(0，π)，则tan θ＝________. 答案 －125
解析 方法一 因为sin θ＋cos θ＝713
，θ∈(0，π)， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169
， 所以sin θcos θ＝－60169
. 由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169
＝0的两根， 所以x 1＝1213，x 2＝－513
. 又sin θcos θ＝－60169
<0， 所以sin θ>0，cos θ<0.
所以sin θ＝1213，cos θ＝－513
. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－125
. 方法二 同法一，得sin θcos θ＝－60169
， 所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169
. 齐次化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169
， 即60tan 2
θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－125或tan θ＝－512
. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713
>0， sin θcos θ＝－60169
<0. 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125
. 10．已知sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4
)，则sin θ－cos θ的值为________． 答案 －23
解析 ∵sin θ＋cos θ＝43
， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝169
， ∴2cos θcos θ＝79
， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－79＝29
， 又θ∈(0，π4)，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23
. 11．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2
. (1)求tan 2α的值；
(2)求β.
解 (1)由cos α＝17，0<α<π2
，得 sin α＝1－cos 2α＝ 1－(17)2＝437
. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71
＝43， 于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347
. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2
， 又∵cos(α－β)＝1314
， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝
1－(1314)2＝3314
. 由β＝α－(α－β)， 得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1314＋437×3314＝12
， ∴β＝π3
. 12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(3π2，2π)，且a ⊥b .
(1)求tan α的值；
(2)求cos(α2＋π3
)的值． 解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.
而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， ∴a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2
α＝0，
∵cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.
解得tan α＝－43或tan α＝12
. ∵α∈(3π2
，2π)，∴tan α<0， ∴tan α＝－43
. (2)∵α∈(3π2，2π)，∴α2∈(3π4
，π)． 由tan α＝－43
， 求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3
＝－255×12－55×32
＝－25＋1510
.。