湖南省衡阳县第四中学高三数学12月月考试题 理

湖南省衡阳县第四中学2014届高三数学12月月考试题 理
考试时间2012年12月22日 考试时间120分钟 满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.若复数x ＋yi 满足：x ＋yi ＝i
i +-22（x ，y ∈R ，i 是虚数单位），则x y
为 （ ）
A ．4
3
B ．－4
3
C ． 3
4
D ．－3
4
2．某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、 酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽 取一 个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽 取的酸奶
与成人奶粉品牌数之和是
（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
3．已知两个平面α、β，直线α⊂a ，则“βα//”是“直线a β//”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知)2sin()(π+=x x f ，x x g sin )(=，下列选项正确的是 （ ）
A ．函数)()(x g x f y =的一个单调区间是[－2π，2
π]
B ．函数)()(x g x f y +=的最大值是2
C ．函数)()(x g x f y +=的一个对称中心是（－4
π，0）
D ．函数)(x f 的一条对称轴是x ＝4π （第5题图）
5.在棱长不a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点 C 到平面A 1DM 的距离为 （ ）
A ．
63
a B ．
66a C ．
22
a D ．
12
a 6. a 的值由右边程序框图算出，则二项式9)(x
a x -展开式的常数 项为 （ ） A. 59
5
67C T ⨯-= B. 39
3
47C T ⨯=
C. 39347C T ⨯-=
D. 4
9457C T ⨯= （第6题图）
a =a +2
否
开始
S =1
是 a =3 S =S ×a S ≥100?
输出a 结束
7.定义12a b ab ka *=---，则方程0x x *=有唯一解时，则实数k 的取值范
围
是
（ ）
A ．{5,5}-
B ．[2,1][1,2]--U
C ．[5,5]-
D ．[5,1][1,5]--U
8．已知函数)(x f y =的定义域为R ，当1)(,0><x f x 时，且对任意的实数R y x ∈,， 等式)()2(1
)(),0(}{.)()()(*11N n a f a f f a a y x f y f x f n n n ∈--==+=+且满足若数列成立，
则
2013
a 的
值
为
（ ）
A ．2012
B ．2013
C ．4025
D ．4026
二、填空题：本大题共8小题，分选做题和必做题两部分，把答案填在答题卡的相应位置. （一）选做题：从以下三题中选做两题，三题全做按前两题记分，每题5分
9.用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[3，6]，第一个试点比第二个试点好，则 第三个试点应在 处。

10.设曲线C 的参数方程为23cos ()13sin x y θθθ
=+⎧⎨
=-+⎩为参数，直线l 的参数方程为121x t y t
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），
则直线l 被曲线C 截得的弦长为 。

11. 若|1||2||3|x x x m -+-+-≥恒成立，则m 的取值范围为 。

（二）必做题：
12. ．已知四棱锥P-ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的体积为________
13平面上的向量2||||4,0MA MB MA MB MA MB +=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
与满足且， 若点C 满足1233
MC MA MB =+u u u u r u u u r u u u r
，则||MC u u u u r 的最小值为 。

．
14. 一个三位数abc ，如果该三位数同时满足a ＞b 且b ＜c 则称为“凹数”，那么所有不同的
三
位“凹数”的个数是__________．
15．在区间[1，4]上任取实数a ，在区间[0，3]上任取实数b ，使函数b x ax x f ++=2
)(有
两个相异
第12题图
A
B
C
D
P
O
E 零点的概率是 ．
16.设r ，s ，t 为整数，集合t s r x x 222|{++=，0≤t ＜s ＜r }中的数由小到大组成数列{a n }：
在数列{a n }中，则3a 的值是 ，a 36的值是
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
已知△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2
2
2
)
32(b
c a -+-，BC ·21=BA .
（1）求tan B 的值；
（2）求)4
cos(1
2cos 2sin 22sin 22B B B B -π-+的值.
18．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90o
，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD
＝2，
侧面PBC ⊥底面ABCD ，O 是BC 的中点，AO 交BD 于E . （1）求证：PA ⊥BD ；
（2）求二面角P —DC —B 的大小；
19.（本小题12分）
盒子中装着标有数字1、2、3、4的卡片分别有1张、2张、3张、4张，从盒子中任取3张卡片，
每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片的最大数字，求： （Ⅰ）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（Ⅲ）设取出的三张卡片上的数字之和为η，求)7(≥ηP ．
20.（本小题满分13分）已知向量2
(1,2)a x p =++r ，(3,)b x =r ，()f x a b =⋅r r ，p 是实数．
（1）若存在唯一实数x ，使a b +r r 与(1,2)c =r
平行，试求p 的值；
（2）若函数()y f x =是偶函数,试求函数|()15|y f x =-在区间[1,3]-上的值域；
（3）若函数()f x 在区间1
[,)2
-+∞上是增函数，试讨论方程()0f x p =解的个数，
说明理由.
21．（本小题满分13分）某电视生产企业有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企
业投放A 、B 两种型号电视机的价值分别为a 、b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为
1
,ln(1)10
a m
b +万元（m ＞0且为常数）
．已知该企业投放总价值为10万元的A 、B 两种型号的电视机，且A 、B 两种型号的投放金额都不低于1万元．
（1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； （2）求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？
22．（本小题满分13分）设函数()ln(1),(0,)f x x ax x =+-∈+∞ （1）求()f x 的单调区间；（2）求证：111
ln(1)1()23n n N n
++<+
+++∈L ；
（3）若||2,m ≥试比较：1111ln(1)ln(1)ln[1],1223(1)1
n n n +
++++++⨯⨯⨯++L ()n N +∈与23m -大小关系．
衡阳县四中2013届高三12月月考数学答题卡
1. D
2. B
3. A
4. C
5. A
6. C
7. B
8. C
9. 5.292 10. 4 11. 2≤m 12.
2
3 13. 47 14. 285 15. 9
2ln 2 16. 13, 131 17.解：（1）由余弦定理得2
2
2
cos 2b c a B ac -+=，又tan B ＝
2
2
2
)32(b
c a -+-
∴B ac B cos 232tan -=
,∴ac
B 23
2sin -=。

------2分
又BC ·21=BA ，∴21
cos =B ac ---------4分 ∴32tan -=B --------6分 )
4
cos(1
2cos 2sin 22sin 22B B B B -π-+=
3
6
1tan )1(tan 2cos sin )
cos (sin 2)cos (sin 2
2
cos sin -
=+-=
+-=
+-B B B B B B B B B B -------12分
19．解：（1）125
3
10
141312141314121312=+++=C C C C C C C C C C P -----4分 （2）ξ的可能取的所有制有2，3，4
------5分
12011)2(310===C P ξ12019
)3(3
103313232313=+⋅+⋅==C C C C C C P ξ 120100
)4(3
10
3416242614=+⋅+⋅==C C C C C C P ξ ------8分
∴ξ的分布列为
∴40
120412031202=
⨯+⨯+⨯
=ξE
----10分
（3）当6≤η时，取出的3张卡片上的数字为1，2，2或1，2，3
当取出的卡片上的数字为1，2，2或1，2，3的概率为1207
13
10
1
3121=+=C C C P
∴120
113
1)7(1=
-=≥P P η ----13分
20.解. (1) Q 2(1a x =+r ，2)p +，(3b =r ，)x ，∴2
(4,2)a b x x p +=+++r r ,
又Q a b +r r 与(1,2)c =r 平行，∴2
2(4)2x x p +=++，
即2
260x x p --+=， --------------------- （2分）
由题意知方程2
260x x p --+=有两个相等的实根， ∴18(6)0p ∆=--=，∴47
8
p =． -------------------------------------（4分）
(2) Q 2
()3(2)3f x a b x p x =⋅=+++r r 是偶函数，
∴2
06
p +-
=，∴2p =-， --------------------------（6分） ∴2
|()15||312|y f x x =-=-在[1,3]-上的值域是[0,15]．--------------（8分）
(3) Q 函数()f x 在区间1[,)2
-+∞上是增函数，
∴21
62
p +-≤-，∴1p ≥， ----------------------------（9分）
方程()0f x p =即23(2)30x p x p ++++=，
可化为23(2)3x p x p +++-=2
()3(2)3g x x p x p =+++-，
显然，函数()g x 与()f x 有相同的单调性，即函数()g x 在1[,)2
-+∞上也是
增函数， -------------------------------（11分）
又Q 函数y =[0,)+∞上是减函数，
∴当1
(0)30
p g p ≥⎧⎨=->⎩，即13p ≤<时，原方程无解； --------------------（12
分）
当1
(0)30
p g p ≥⎧⎨
=-≤⎩，即3p ≥时，原方程有且仅有一个解．-----------（13分）
21．解：（1）设投放B 型电视机的金额的x 万元，则投放A 型电视机的金额为（10 – x ）
万元，农民得到的总补贴 1()(10)ln(1)ln(1)119
1010x
f x x m x m x ,x =-++=+-+≤≤
----------4分（没有指明x 范围的扣1分）
（2）110(1)[(101)]
()11010(1)10(1)
m m x x m f x x x x -+---'=
-==+++，
令y ′=0得x =10m –1 -------- --- 6分
1°若10m –1≤1即0＜m ≤1
5，则f （x ）在为减函数，
当x =1时，f （x ）有最大值；
2°若1＜10m –1＜9即1
15m <<，则f （x ）在是增函数,
在是减函数，当x =10m –1时，f （x ）有最大值； 3°若10m –1≥9即m ≥1，则f （x ）在是增函数，
当x =9时，f （x ）有最大值． -------------- 10分
因此，当0＜m ≤1
5时，投放B 型电视机1万元；当11
5m <<时， 投放B 型电视机（10m –1）万元，当m ≥1时，投放B 型电视机9万元农民得到的总补贴
最大。

----------------- 13分。