广西桂林市第十八中学2020-2021学年度高二上学期第一次阶段性考试试题 理科数学【含解析】
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【答案】C
【解析】
分析】
先建立方程 ，再求解即可.
【详解】解：因为向量 ， ，且 ，
所以 ，解得： ，
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、向量数量积的坐标表示，是基础题.
3.已知数列 是等差数列，且 ，则 （）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用等差中项求解.
①当 时， ，此时取 可使 成立，当 时， ，所以当 或 时， 都成立，舍去；
②当 时， ，此时取 可使 成立，当 时， ，所以当 或 时， 都成立，舍去；
③当 时， ，此时取 可使 成立，当 时， ，所以当 时， 成立；
综上所得 的最大值为 ．
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的对称性和最值等三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
【答案】（1） ；（2）证明过程见详解.
【解析】
【分析】
（1）先建立方程组 两式相减并整理得 ，再判断数列 是以1为首项，以 为公差的等差数列，最后求出 .
（2）先根据“放缩法”得到 ，再令 利用“错位相减法”求出 ，最后证明 .
【详解】解（1）由题意
两式相减得： ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项，以 为公差的等差数列.
16.已知数列 中， ， ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 ，运用累加法和“裂项相消法”求和可得 ，再将不等式恒成立问题转化为 成立，最后解一元二次不等式求实数 的取值范围．
【详解】由题意数列 中， ，
即 ，
则有 ，
则有
18.在 中，角 所对的边分别为 ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 求
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可以得到 ，即可求出角 的大小；（2）利用余弦定理并结合（1）中的结论，可以求出 ，然后解方程组即可求解
【详解】解（1）
由正弦定理可得：
在 中，
（2）由余弦定理得：
（1）求证： ；
（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由 ，联立 ，得 ，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案；
（2）利用正弦定理和 ，得 ，再确定角C的范围，即可得到本题答案.
【详解】解：（1）锐角 中， ，故由余弦定理可得： ，
【详解】（1）
，
由题 ， ， ；
（2）由（1）知， ，
由题意， ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
， 为直角三角形，
又 ， ，
点在以 为直径的圆上，如图，
， ， ，
设 为 中点，连结 ，
则当点 在 上时， 取得最小值，
此时， .
设 ，则 ，
， ，
，
在直角 中， ，
当 取得最小值 时， 的面积 为 .
所以
（2）证明：因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，所以 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】本题考查利用 求 ，利用“错位相减法”求和、利用“放缩法”证明不等式，还考查了转化的数学思维方式与运算能力，是中档题.
22.已知函数 （ ）的对称中心到对称轴距离的最小值为 .
（1）求 ；
（2） 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， 为函数 的一个零点， ， 为 所在平面内一点，且满足 ，求 的最小值，并求 取得最小值时 的面积 .
【答案】B
【解析】
【分析】
由题，根据平面向量的加法，表示出 ，可得 的值，可得答案.
【详解】在正方形 中， 为 的中点，
所以
又因为
所以
即
故选：B
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，熟悉四则运算是解题的关键，属于基础题.
7.已知 为偶函数，其部分图象如图所示， 分别为最高点和最低点，且 ，则（）
A. B.
，
，即 ，
∴利用正弦定理可得： ，
即 ，
，
可得： ，
∴可得： ，或 （舍去），
.
（2） ， 均为锐角，由于： ，
， .
再根据 ，可得 ，
，
【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.
21.已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，对任意 ，都有
（1）求
（2）证明
广西桂林市第十八中学
注意事项：
①试卷共4页，答题卡2页.考试时间120分钟，满分150分；
②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；
③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题.每小题只有一个选项符合题意.每小题5分，共60分）
又对于任意的 ，不等式 恒成立，
即 恒成立，
解得 或 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了数列递推公式、“裂项相消法”求和、不等式恒成立问题求参数、求解一元二次不等式，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
三、计算题（本题包括6题，共70分）
17.在正项等比数列 中， ，且 ， 的等差中项为 ．
（1）求数列 的通项公式；
14.若 ，则 =_____
【答案】
【解析】
【分析】
由二倍角公式求得 ，再由诱导公式得结论．
【详解】由题可得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二倍角公式和诱导公式的使用，三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系再选用恰当的公式．
或
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
19.数列 满足 ， ，
（1）设 ，证明数列 是等差数列
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明过程见详解；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先化简得到 即 ，再求得 ，最后判断数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列.
（2）先求出数列 的通项公式 ，再运用“裂项相消法”求数列 的前 项和 即可.
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的解的个数，是基础题.
5.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A.b＝3，ac＝9B.b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9D.b＝－3，ac＝－9
【答案】B
【解析】
因为
6.在正方形 中， 为 的中点，若 ，则 的值为（）
A. B. C. D. 1
故选B
11.已知数列 满足： .若正整数 使得 成立，则 ( )
A. 16B. 17C. 18D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ， 时， ，将 换为 ，两式相除， ， ，
累加法求得 即有 ，结合条件，即可得到所求值．
【详解】解： ，
即 ， ，
时， ，
，
两式相除可得 ，
则 ， ，
由 ，
1.已知角 的终边经过点 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角 的终边经过点 ，可得 ， ，再根据 计算求得结果．
【详解】 已知角 的终边经过点 ，
， ，则
，
故选B．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.已知向量 ， ，若 ，则 =（）
A.0B. C.6D.
当 时， ，此时
当 时， ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用递推关系求数列的特定项，是基础题.
9.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡前进若干米后到达D处，又测得山顶的仰角为 ，已知山的高度BC为1千米，则该登山队从A到D前进了（）
A. 千米B. 千米C. 1千米D. 1.5千米
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 的对称性和最值点列方程组，求得 , 的表达式（用 表示），根据 在 上有且只有一个最大值，求得 的取值范围，求得对应 的取值范围，由 为整数对 的取值进行验证，由此求得 的最大值.
【详解】由题意知 ，则 其中 ， ．
又 在 上有且只有一个最大值，所以 ，得 ，即 ，所以 ，又 ，因此 ．
∴半个周期是 4，
∴周期T＝8，
∴8 ，
∴ω
故选C
【点睛】本题考查三角函数的图象及性质的应用，考查了ω与φ的求解方法，其中运用 是关键，属于基础题．
8.已知数列 前 项和为 ．若 ， ， ，则 （）
A.9B.27C.30D.36
【答案】D
【解析】
【分析】
先令 求出 和 ，再令 求出 即可.
【详解】解：因为 ， ，
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查学生运算能力及思维能力，属于基础题.
10.把函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移 ，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
把函数 的图像上每点的横坐标扩大到原来的4倍得 的图像，再向左平移 得 的图像，令 求得 ,故函数 的递减区间为 ，k 令k=0得 的一个单调递增区间为
【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查三角函数的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
【答案】（1）1；（2）最小值 ，面积 为 .
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换将式子化简为 ，由题可知 ，所以可得 ，求出 的值即可；
（2）易知 ，即 ，可求出 ，进而可得 为直角三角形；由 可知 ，进而可得 点在以 为直径 圆上，画出图形进行分析，结合题中条件利用三角函数和平面几何知识计算即可得解.
【详解】因为数列 是等差数列，且 ，
所以 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查等差中项的应用，属于基础题.
4.在 中， 则解此三角形可得（）
A.一解B.两解C.无解D.解得个数不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
先由正弦定理得到 ，再判断出角 不存在，此三角形无解.
【详解】解：由正弦定理得： ，
所以角 不存在，所以此三角形无解.
，
，
， ，
可得
，
且 ，
正整数 时，要使得 成立，
则 ，
则 ，
故选： ．
【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.
12.已知函数 ， ，若 ，对任意 恒有 ，在区间 上有且只有一个 使 ，则 的最大值为（）
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数是一个偶函数，得到φ ，根据A，B两点间距离为 ，最高点和最低点之间的垂直距离是2，用勾股定理求出半个周期的大小，得到周期，求出ω．
【详解】∵函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，
∴φ ，
∵A，B两点间距离为 ，
又最高点和最低点之间的垂直距离是2，
15.已知函数 与 的图象所有交点的横坐标为 ，则 ______．
【答案】7
【解析】
分析】
作出两个函数的图象，利用函数的对称中心为 ，即可得答案；
【详解】作出函数 与函数 的图象，易得共有7个交点，即
不妨设 ， ，
两个函数均以 对称中心，
，
.
故答案为：7
【点睛】本题考查利用函数的对称中心求函数零点和，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，是中档题.
（2）求数列 的前 项和为 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；
（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.
【详解】解（1）设正项等比数列 的公比为 ，
由题意可得 ，解得 ．
数列 的通项公式为 ；
（2） .
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题包括4题.共20分）
13.已知向量 的夹角为 , ,则 .
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积公式以及数量积的运算法则，求得 的值，再开平方即可得结果.
【详解】因为向量 的夹角为 , ,
所以
,
.
【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方 .
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得 , 可得 ，设 ，在 中根据正弦定理求得 ，从而求得 ，结合山的高度BC为1千米即可求得答案.
【详解】如图，过D作 交 于点 ， 交 于点 ，
由题意得 则
在D处测得山顶的仰角为 ， 即 , ,则
设 ，在 中由正弦定理得：
,
,因为 ,即 ，即从A到D前进了1千米，
故选：C
【详解】解：（1）因为 ，所以
因为 ，所以 ，且
所以数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列.
（2）由（1）的 ，
所以
所以
【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.
20.已知 的三个内角 的对边分别为 ，且 ，
【解析】
分析】
先建立方程 ，再求解即可.
【详解】解：因为向量 ， ，且 ，
所以 ，解得： ，
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、向量数量积的坐标表示，是基础题.
3.已知数列 是等差数列，且 ，则 （）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用等差中项求解.
①当 时， ，此时取 可使 成立，当 时， ，所以当 或 时， 都成立，舍去；
②当 时， ，此时取 可使 成立，当 时， ，所以当 或 时， 都成立，舍去；
③当 时， ，此时取 可使 成立，当 时， ，所以当 时， 成立；
综上所得 的最大值为 ．
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的对称性和最值等三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
【答案】（1） ；（2）证明过程见详解.
【解析】
【分析】
（1）先建立方程组 两式相减并整理得 ，再判断数列 是以1为首项，以 为公差的等差数列，最后求出 .
（2）先根据“放缩法”得到 ，再令 利用“错位相减法”求出 ，最后证明 .
【详解】解（1）由题意
两式相减得： ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项，以 为公差的等差数列.
16.已知数列 中， ， ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 ，运用累加法和“裂项相消法”求和可得 ，再将不等式恒成立问题转化为 成立，最后解一元二次不等式求实数 的取值范围．
【详解】由题意数列 中， ，
即 ，
则有 ，
则有
18.在 中，角 所对的边分别为 ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 求
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可以得到 ，即可求出角 的大小；（2）利用余弦定理并结合（1）中的结论，可以求出 ，然后解方程组即可求解
【详解】解（1）
由正弦定理可得：
在 中，
（2）由余弦定理得：
（1）求证： ；
（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由 ，联立 ，得 ，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案；
（2）利用正弦定理和 ，得 ，再确定角C的范围，即可得到本题答案.
【详解】解：（1）锐角 中， ，故由余弦定理可得： ，
【详解】（1）
，
由题 ， ， ；
（2）由（1）知， ，
由题意， ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
， 为直角三角形，
又 ， ，
点在以 为直径的圆上，如图，
， ， ，
设 为 中点，连结 ，
则当点 在 上时， 取得最小值，
此时， .
设 ，则 ，
， ，
，
在直角 中， ，
当 取得最小值 时， 的面积 为 .
所以
（2）证明：因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，所以 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】本题考查利用 求 ，利用“错位相减法”求和、利用“放缩法”证明不等式，还考查了转化的数学思维方式与运算能力，是中档题.
22.已知函数 （ ）的对称中心到对称轴距离的最小值为 .
（1）求 ；
（2） 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， 为函数 的一个零点， ， 为 所在平面内一点，且满足 ，求 的最小值，并求 取得最小值时 的面积 .
【答案】B
【解析】
【分析】
由题，根据平面向量的加法，表示出 ，可得 的值，可得答案.
【详解】在正方形 中， 为 的中点，
所以
又因为
所以
即
故选：B
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，熟悉四则运算是解题的关键，属于基础题.
7.已知 为偶函数，其部分图象如图所示， 分别为最高点和最低点，且 ，则（）
A. B.
，
，即 ，
∴利用正弦定理可得： ，
即 ，
，
可得： ，
∴可得： ，或 （舍去），
.
（2） ， 均为锐角，由于： ，
， .
再根据 ，可得 ，
，
【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.
21.已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，对任意 ，都有
（1）求
（2）证明
广西桂林市第十八中学
注意事项：
①试卷共4页，答题卡2页.考试时间120分钟，满分150分；
②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；
③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题.每小题只有一个选项符合题意.每小题5分，共60分）
又对于任意的 ，不等式 恒成立，
即 恒成立，
解得 或 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了数列递推公式、“裂项相消法”求和、不等式恒成立问题求参数、求解一元二次不等式，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
三、计算题（本题包括6题，共70分）
17.在正项等比数列 中， ，且 ， 的等差中项为 ．
（1）求数列 的通项公式；
14.若 ，则 =_____
【答案】
【解析】
【分析】
由二倍角公式求得 ，再由诱导公式得结论．
【详解】由题可得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二倍角公式和诱导公式的使用，三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系再选用恰当的公式．
或
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
19.数列 满足 ， ，
（1）设 ，证明数列 是等差数列
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明过程见详解；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先化简得到 即 ，再求得 ，最后判断数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列.
（2）先求出数列 的通项公式 ，再运用“裂项相消法”求数列 的前 项和 即可.
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的解的个数，是基础题.
5.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A.b＝3，ac＝9B.b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9D.b＝－3，ac＝－9
【答案】B
【解析】
因为
6.在正方形 中， 为 的中点，若 ，则 的值为（）
A. B. C. D. 1
故选B
11.已知数列 满足： .若正整数 使得 成立，则 ( )
A. 16B. 17C. 18D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ， 时， ，将 换为 ，两式相除， ， ，
累加法求得 即有 ，结合条件，即可得到所求值．
【详解】解： ，
即 ， ，
时， ，
，
两式相除可得 ，
则 ， ，
由 ，
1.已知角 的终边经过点 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角 的终边经过点 ，可得 ， ，再根据 计算求得结果．
【详解】 已知角 的终边经过点 ，
， ，则
，
故选B．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.已知向量 ， ，若 ，则 =（）
A.0B. C.6D.
当 时， ，此时
当 时， ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用递推关系求数列的特定项，是基础题.
9.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡前进若干米后到达D处，又测得山顶的仰角为 ，已知山的高度BC为1千米，则该登山队从A到D前进了（）
A. 千米B. 千米C. 1千米D. 1.5千米
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 的对称性和最值点列方程组，求得 , 的表达式（用 表示），根据 在 上有且只有一个最大值，求得 的取值范围，求得对应 的取值范围，由 为整数对 的取值进行验证，由此求得 的最大值.
【详解】由题意知 ，则 其中 ， ．
又 在 上有且只有一个最大值，所以 ，得 ，即 ，所以 ，又 ，因此 ．
∴半个周期是 4，
∴周期T＝8，
∴8 ，
∴ω
故选C
【点睛】本题考查三角函数的图象及性质的应用，考查了ω与φ的求解方法，其中运用 是关键，属于基础题．
8.已知数列 前 项和为 ．若 ， ， ，则 （）
A.9B.27C.30D.36
【答案】D
【解析】
【分析】
先令 求出 和 ，再令 求出 即可.
【详解】解：因为 ， ，
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查学生运算能力及思维能力，属于基础题.
10.把函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移 ，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
把函数 的图像上每点的横坐标扩大到原来的4倍得 的图像，再向左平移 得 的图像，令 求得 ,故函数 的递减区间为 ，k 令k=0得 的一个单调递增区间为
【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查三角函数的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
【答案】（1）1；（2）最小值 ，面积 为 .
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换将式子化简为 ，由题可知 ，所以可得 ，求出 的值即可；
（2）易知 ，即 ，可求出 ，进而可得 为直角三角形；由 可知 ，进而可得 点在以 为直径 圆上，画出图形进行分析，结合题中条件利用三角函数和平面几何知识计算即可得解.
【详解】因为数列 是等差数列，且 ，
所以 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查等差中项的应用，属于基础题.
4.在 中， 则解此三角形可得（）
A.一解B.两解C.无解D.解得个数不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
先由正弦定理得到 ，再判断出角 不存在，此三角形无解.
【详解】解：由正弦定理得： ，
所以角 不存在，所以此三角形无解.
，
，
， ，
可得
，
且 ，
正整数 时，要使得 成立，
则 ，
则 ，
故选： ．
【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.
12.已知函数 ， ，若 ，对任意 恒有 ，在区间 上有且只有一个 使 ，则 的最大值为（）
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数是一个偶函数，得到φ ，根据A，B两点间距离为 ，最高点和最低点之间的垂直距离是2，用勾股定理求出半个周期的大小，得到周期，求出ω．
【详解】∵函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，
∴φ ，
∵A，B两点间距离为 ，
又最高点和最低点之间的垂直距离是2，
15.已知函数 与 的图象所有交点的横坐标为 ，则 ______．
【答案】7
【解析】
分析】
作出两个函数的图象，利用函数的对称中心为 ，即可得答案；
【详解】作出函数 与函数 的图象，易得共有7个交点，即
不妨设 ， ，
两个函数均以 对称中心，
，
.
故答案为：7
【点睛】本题考查利用函数的对称中心求函数零点和，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，是中档题.
（2）求数列 的前 项和为 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；
（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.
【详解】解（1）设正项等比数列 的公比为 ，
由题意可得 ，解得 ．
数列 的通项公式为 ；
（2） .
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题包括4题.共20分）
13.已知向量 的夹角为 , ,则 .
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积公式以及数量积的运算法则，求得 的值，再开平方即可得结果.
【详解】因为向量 的夹角为 , ,
所以
,
.
【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方 .
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得 , 可得 ，设 ，在 中根据正弦定理求得 ，从而求得 ，结合山的高度BC为1千米即可求得答案.
【详解】如图，过D作 交 于点 ， 交 于点 ，
由题意得 则
在D处测得山顶的仰角为 ， 即 , ,则
设 ，在 中由正弦定理得：
,
,因为 ,即 ，即从A到D前进了1千米，
故选：C
【详解】解：（1）因为 ，所以
因为 ，所以 ，且
所以数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列.
（2）由（1）的 ，
所以
所以
【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.
20.已知 的三个内角 的对边分别为 ，且 ，