新课标选修2-1空间向量与立体几何检测题(

1. 2. 3. 4. 5
. 6. 7. 9. 第I 卷
选择题，共50 分）
、选择题：（本大题共10个小题，每小题 只有一项是符合题目要求的） a 、b 共线，则a 、 则a 、b 一定不共面；③若 ④已知三向量 在下列命题中：①若 面直线， 也共面； 5分，共50分.在每小题给出的四个选项中, b 所在的直线平行；②若 b 、c 三向量两两共面，则 b 、c ,则空间任意一个向量 yb zc .其中正确命题的个数为 B . 1 C . 2 urul uuuu p xa A . 0 在平行六面体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，向量 D 1A 、DQ 、 A .有相同起点的向量 C .共面向量 若向量 m 垂直向量a 和b,向量n a
m 〃 n —r
—r —r
f
m 不平行于n, m 也不垂直于n 已知 面，则实数入等于 62 63
A .
B .— 7 7 直三棱柱AB
C — A 1B 1C 1中，若CA a =( 2，一 1, 3), b =(— 1, A . a + b — c
B . a — b + c
-■
-F-
-F-
-F
-F
-F-
已知 a + b
+ c = 0
, |a |=2, | b |= 3, A . 30° B . b 均为非零向量，则 A .充分不必要条件 C .充分必要条件 已知△ ABC 的三个顶点为 中线长为 A . 2 —*■ —I
已知
a 3i A . — 15
uur k, b B . uuu 10.已知 OA (1,2,3) , OB 2j 取得最小值时，点 1 3 1 A . e,,) 2 4 3
二、填空题（本大题共
b 所在的直线是异
b 、
c 三向量 P 总可以唯一表示为
45° A (3, A i G B .等长向量 D .不共面向量 b
（ ,
R 且、
B . m n
D .以上三种情况都可能 -2), c =(7,
64 C .
7
a, CB b, CC 1 c ,
0)则
5，入），若a 、
uLiir
则AB
C .— a + b + c c 三向量共
（
65
—a + b — c |c |=、、19，则向量a 与b 之间的夹角 a, b 为（
C . 60°
D .以上都不对
是a 与b 共线的
B .必要不充分条件
D .既不充分又不必要条件
3, 2), B (4, — 3, 7), C (0, 5, 1),则 BC 边上的 )
i j —5
(2,1,2) , OP C . 4
D . 5 2k,则5 a 与3b 的数量积等于
C . — 3
（1,1,2），点Q 在直线 uu n D . — 1
OP 上运动, 则当 Q 的坐标为
1 2 3
B .(；,,)
2 3 4
4 4 8 C . (3勺3) 第H 卷（非选择题，共100 分）
4小题，每小题6分，共24分）
uu u QA ( uu
u
QB )
11.若A(m+ 1, n —1,3), B(2m,n,m—2n), C(m+ 3,n—3,9)三点共线,则m+n= 12 .已知S是厶ABC 所在平面外一点，D是SC的中点，
uur uun uuir uun
若BD = xAB yAC zAS，则x + y + z=
13. 在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，
G ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE = 3ED，
UUl ULLT UUIT UUU
以｛AB , AC , AD ｝为基底，则GE = ___________________
14. 设| m |= 1, |n |= 2, 2 m + n 与m - 3n 垂直，a = 4 m —n ,
b = 7 m + 2n , 贝<a,b> = ___________ 三、解答题(本大题满分
76分)
15. (12分)如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD , AD与
BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直.
16. (12分))如图，在棱长为2的正方体ABCD —A1B1C1D1中,
E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系.
(1) 写出A、B1、E、D1的坐标；
(2) 求AB1与D1E所成的角的余弦值.
17. ( 12分)如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P, PA丄平面ABCD , E、F分别是AB、
PC的中点.
(1) 求证：EF //平面PAD ;
(2) 求证：EF丄CD ;
(3) 若PDA = 45，求EF与平面ABCD所成的角的大小.
r
18. (12分)在正方体ABCD A i B i C i D i中，如图E、F分别是
BB i , CD的中点，
(i)求证：D i F 平面ADE ;
(2) cos EF,CB i .C i
C y
i9. (i4分)如图，在四棱锥P ABCD中,
PD
(1)
(2)
(3)
DC , E是PC的中点，作EF 证明PA //平面EDB ；证明PB 平面EFD ；求二面角C - PB - D的大小.
20. (i4分)如图，直三棱柱ABC —A i B i C i中，底面是等腰直角三角形，/ ACB=90。

，侧
棱AA i=2 , D、E分别是CC i与A i B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ ABD的垂心G.
(1)求A i B与平面ABD所成角的大小
(结果用反三角函数值表示)；
(2)求点A i到平面AED的距离.
参考答案(六)
选择题(本大题共iO小题，每小题5分，共50分)
x
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C
B D D
C
A
B
A
C
共 3 11.- 2 12. 0 13
. 1AC 3A D
14. 0°
三、解答题 （本大题
共
6题，共 76分) 15. (12分)证明： AB (CB CA) CD CD, AB CD 0 .又 AB CB CA ,
16. 17. 0即CB CD CA CD .……① AD BC, AD BC 0.
又 AD 由①+②得: （12 分） 解: CD CA , (CD CA CD CA BC (1) A(2, 2, 0), B 1
(2, 0, 2), CA) BC 0 即 CD 0 即CA BD 0. E(0, 1,0), D 1(0, 2, 2) BC AC CA BC .……②
BD . cos AB 1 AB 1 (0, - 2, 2), ED 1 = (0, 1, 2)
/• AB 1 |= 2,2 , ED 1 |= . 5 ,AB 1 • ED 1 = 0 — 2+ 4= 2, — AB 1 -ED 1 ,ED 1 =——=
AB 1 | • ED 1 |
如图，建立空间直角坐标系 (12 分) BC = 2b , PA = 2c ,则:A(0, 0, 0), B(2a, 0, 0), C(2a, 2b, 0), D(0, 2b, 0), P(0, 0, 2c) •/ E 为 AB 的中点，F 为 PC 的中点 E(a, 0, 0), F(a, b, c) 证: A — xyz ，设 AB = 2a , (1) 丁 EF = (0, b, c), AP = (0, 0, 2c), AD = (0, 2 b, 0) —》 1 —》 —》 :.EF =2 (AP + AD
又T E 平面PAD )/• EF 与 AP 、AD 共面
/• EF // 平面 PAD . •/ CD = (- 2a, 0, 0) /• CD 丄EF . /• CD • EF = (- 2a, 0, 0) • (0, b, c)= 0 AB 1与ED 1所成的角的余弦值为十罟
若PDA = 45，则有 2b = 2c ，即卩 b = c , AP = (0, 0, 2b) /• cos EF , AP 二 EF = (0, b, b), 2 b 2 亠2
2 2b • ；'2b
EF , AP = 45 •/ AP 丄平面AC, ••• AP 是平面AC 的法向量 ••• EF 与平面AC 所成的角为：90 — EF ,AP = 45 . 18. （12分）解：建立如图所示的直角坐标系， （1 ）不妨设正方体的棱长为 1 , 则 D ( 0 ,
0) A (1 , 0 ,
0), D 1 (0 ,
0 , 1)
,
E (1, 1 , 1 ),
F ( 0 , 1
, 0),
2
2
则 D 1 F =
匚（ 0
, 1 —1)
D A
=
(1
,
0 , 0),
2
AE =( 0 ,
1,
1），则 D 1F
DA = 0
,
2
B
D 1F A
E = 0 ,
D 1F DA , D 1F A
E .
D 1F 平面 ADE.
(2) B i ( 1 ,1,1), C (0, i , 0),
故CB 1
— 1 (1, 0, 1), EF = (- 1,——
2
-1 ),
2
EF CR =- 1 + 0- EF 启,CB^
则 cos EF,CB 1 EF CB 1 仝.EF ,CB 1
2 150 .
3 2 .2 19. (14分)解：如图所示建立空间直角坐标系, D 为坐标原点.设DC (1)证明：连结 AC , AC 交BD 于G.连结EG. 依题意得 A(a,0,0), P(0,0, a), E(0,—,―) 2 2
G 是此正方形的中心， EF CB 1
a.
Q 底面ABCD 是正方形， a a 口
uuu
故点G 的坐标为(
一,—,0)且PA (a,0, UUU PA 2EG .这表明 PA / EG . 而EG a),EG (2,0, |).
2 2 平面EDB 且PA ⑵证明：依题意得B(a,a,0), 平面EDB , uuu PB (a, a, PA//平面 UULT a)。

又 DE EDB 。

a
PB DE ,由已知EF
(3)解：设点 从而x 0
PB ,且 EF I DE UUL F 的坐标为(X 0,y °,Z 0)
,PF a, y 0 a,z 0 (1 )a.所以 (0,a ,a ),故 PB DE 0 2 2 E,所以PB 由条件EF PB 知，PE PB 0即
点F 的坐标为 —— a 2 PB FD 3 a 2
：PE FD —
9
a a 2a
(3'3, 3), 2 a_ 3 2
a
18
… UJID
且FE
cosEFD UUT PB,则(X 0,y 0, Z 0 a)
UUU
FE a y °，2 z 。

)
平面EFD. (a, a, a) 1
a,(
2
)a,(
(
2 |,|, |),FD (
3 6 6 )a 2 (
1
\ 2
2)a
a a
3, 3,
0,
解得
1 2)a).
1
o
3
却.
2a 2 3 2
a 9
0,即 PB FD ，故 EFD 是二面角 C PB D 的平面角.
PE
a 2
2
a 36
36 T-,FD ；92
4a 2 .6 a
9
3
UUU
UULT FE.FD -UtHU_ttl HI- |FE||FD|
6 a. a 6 3
EFD 一,所以，二面角 C —PC —D 3 的大小为一.
3
20. (14分)解：(1)连结BG , _则BG 是BE 在面ABD 图所示建立坐标系，坐标原点为 则 A ( 2a , 0 , 0), B (0 , 2a , 0), D (0 , 0 , 1) A 1 ( 2a , 0 , 2) 2a 2a
的射影，即/ A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.如
O ,设 CA=2a , 1 E (a , a , 1) G (
,,). 3
3 3
3
1, 1,0) 0,AA ED (0,0,2) ( 1, 1,0) 0
ED 平面AA 1E ,又ED 平面AED. 平面 AED 丄平面 AA 1E ,又面 AED 面AA 1E=AE ,
•••点A 在平面AED 的射影 K 在AE 上. 设AK AE ,
则AK
iA AK (
J J
2)
由AK
AE 0, 即
2
0,
解得
2 3
A 1
K (孕, 4),即 A 1K
9
4 16 =6 3 3 3 1 1
■- 9 9 9 3
即点A 1到平面A ED 的距离
为 2
H 6.
a a 2
GE （3,3,3）,BD （。

，纣）
, GE BD BA (2,
cos A i BG 2 2 2 a 2 0,解得 a=1. 3 3 —— 2 4 1 2,2), BG (:,-<-), 3 3 3 BA i BG 14/3 B 旳 2 3；-21 .7 3
A 1
B 与平面ABD 所成角是
(2)由(1)有 A (2, 0,
V7
arccos . 3 0) , A 1 (2 , 0 , 2),
E (1, 1 , 1), D (0, 0, 1)
AE ED ( 1,1,1)(。