高三数学一模试题 理含解析 试题

武功县2021届高三数学一模试题 理〔含解析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
第一卷
一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.集合{}
1A x R x =∈≤，{
}
2
4B x R x =∈≤，A B ＝〔 〕
A. [－2，1]
B. [－2，2]
C. [1，2]
D. 〔－∞，
2] 【答案】A 【解析】 【分析】
利用不等式的性质先求出集合B ，再由交集定义求出A B ．
【详解】解：∵集合{}
1A x R x =∈≤，
{}
{}2422B x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，
{|21}[2,1]A B x x ∴⋂=-≤≤=-．
应选A ．
【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集定义的合理运用．
2.假设(12)5i z i -=〔i 是虚数单位〕，那么z 的值是〔 〕
A. 3
B. 5
【答案】D 【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法那么求解即可. 【详解】() 125i z i -=〔i 是虚数单位〕 可得()125i z i -= 解得5z = 此题正确选项：D
【点睛】此题考察复数的模的运算法那么的应用，复数的模的求法，考察计算才能.
()1,2a =，()1,0b =，()4,3c =-.假设λ为实数且()
a b c λ+⊥，那么λ=〔 〕
A.
1
4
B.
12
C. 1
D. 2
【答案】B 【解析】
试题分析：1+2a b λλ+=（，）
，因为()
a b c λ+⊥，那么()
1
=41+-6=0=2
a b c λλλ+⋅（），，选B ；
考点：向量的坐标运算；
4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图，那么新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为〔〕
A. 0.25
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.45
【解析】 【分析】
频率分布直方图的纵轴表示的是
频率
组距
，所以结合组距为300可得频率． 【详解】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为：0.0013000.3⨯=．
应选B ．
【点睛】解决此类问题的关键是纯熟掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义． 5.命题:12p x -<<，2:log 1q x <，那么p 是q 成立的〔 〕条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要
【答案】B 【解析】 【分析】
解对数不等式得到命题q 中x 的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义断定即可得到结论．
【详解】由2log 1x <，得02x <<． ∵()0,2 ()1,2-，
∴p 是q 成立的必要不充分条件． 应选B ．
【点睛】充分、必要条件的判断方法
〔1〕利用定义判断：直接判断“假设p ，那么q 〞、“假设q ，那么p 〞的真假．在判断时，
确定条件是什么、结论是什么．
〔2〕从集合的角度判断：利用集合中包含思想断定．抓住“以小推大〞的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．
〔3〕利用等价转化法：条件和结论带有否认性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．
6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .假设420S =，510a =，那么16a =〔 〕 A. 32- B. 12
C. 16
D. 32
【答案】D 【解析】
()14414420,20,10,
2
a a S a a +=∴
=∴+= 又
510
a =.可得
14511,,2a a a a d a d +==∴==，那么()162161232.a =+-⨯=
应选D.
7.如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的选项是〔 〕
A. //BD 平面11CB D
B. 1AC BD ⊥
C. 1AC ⊥平面11CB D
D. 异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ 【答案】D
【解析】
【详解】在正方体中
与11B D 平行，因此有
与平面
平行，A 正确；
在平面 内的射影垂直于，因此有
，B 正确；与B 同理有与
垂直，
从而
平面
，C 正确；由知
与
所成角为45°，D 错．应选D ．
8.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x
y x =⋅的图象
〔局部〕如下，那么按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是〔 〕
A. ①④②③
B. ①④③②
C. ④①②③
D.
③④②① 【答案】A 【解析】 【分析】
根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．
【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的值是正数， 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上的值是负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2x
y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 应选A ．
【点睛】此题主要考察函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题． 9.tan 2θ=，那么22sin sin cos 2cos θθθθ+-=〔 〕 A. 43
-
B.
54
C. 34
-
D.
45
【答案】D 【解析】 试
题
分
析
：
2222
2
222sin sin cos 2cos tan tan 24
sin sin cos 2cos sin cos tan 15
θθθθθθθθθθθθθ+-===++＋－＋－
考点：同角间三角函数关系 【此处有视频，请去附件查看】
10.直线l 过点〔0，2〕，被圆2
2
:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是〔 〕
A. 4
23
y x =
+ B. 1
23
y x =-
+
C. 2y =
D. y=
4
23
x +或者y=2 【答案】D 【解析】 【分析】
根据垂径定理得圆心到直线间隔 ,再设直线方程点斜式,利用点到直线间隔 公式求斜率,即得结果.
【详解】因为直线l 被圆C ：2
2
4690x y x y +--+=，2
2
(2)(3)4-+-=x y 截得的弦长
为
1=，设直线l 的方程为2y kx =+，〔斜率不存在时不满足题意〕那
么
10k =∴=或者4
3
k =
，即直线l 的方程是4
23
y x =
+或者2y =,选D. 【点睛】此题考察垂径定理，考察根本转化求解才能，属根底题.
11.椭圆长轴上的两端点()13,0A -，()23,0A ，两焦点恰好把长轴三等分，那么该椭圆的HY 方程为〔〕
A.
22198
x y
B. 2219
x y +=
C. 22
13632x y +
= D. 22136
x y +=
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，3a =，且1
2223
c a =
=，可得3a =且1c =，再根据椭圆中a 、b 、c 的平方关系得到2b 的值，结合椭圆焦点在x 轴，得到此椭圆的HY 方程．
【详解】由题意可设所求的椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，且3a =
由两焦点恰好把长轴三等分可得26a c =即33a c ==
1c =
，
b =
故所求的椭圆方程为：
2
2198
x y
应选A ．
【点睛】对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程，求解出a ，b 的值．
3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 〔 〕
A. 0a >
B. 0a ≥
C. 0a <
D. 0a ≤
【答案】C 【解析】
因为2
()31f x ax '=+，所以2
21
()31030f x ax a x
=+=⇒=-
<'，即0a <，应选答案C ． 第二卷
二、填空题
13.某校邀请6位学生的父母一共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，假如这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有______种. 【答案】240 【解析】 【分析】
先从6对夫妇中选一对，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位，根据分步计数原理，即可得到结果．
【详解】解：分步完成，4位中恰有一对是夫妇，那么先从6对夫妇中选一对，有1
6C 6=种
结果，
再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位有2
1
51
22C 40C C =种结果， 根据分步计数原理得到结果是6×40＝240， 故答案为240．
【点睛】此题是一个带有约束条件的排列组合问题，解题时排列与组合问题要区分开，解题的关键是利用分步计数原理，把握好分类的原那么．
{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，那么7a = ．
【答案】64 【解析】
试题分析：设等比数列公比为q ，根据题意可得
23
12
2a a q a a +==+，所以111.31a a q a +=⇒=，
所以66
71264a a q =⨯==
考点：等比数列性质
15. 假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对〞，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是___________. 【答案】36 【解析】 【分析】
根据题中定义“正交线面对〞的含义，找出正方体中“正交线面对〞的组数，即可得出结果. 【详解】假如一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下列图所示：
①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有
12224⨯=个；
②对于正方体的每一条面对角线〔如11A C ，那么11A C ⊥平面11BB D D 〕，均有一个对角面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12112⨯=个. 综上所述，正方体中的“正交线面对〞一共有36个. 故答案为36.
16.如图，,A B 是函数2()log (16)f x x =图象上的两点，C 是函数2()log g x x =图象上的一点，且直线BC 垂直于x 轴，假设ABC ∆是等腰直角三角形〔其中A 为直角顶点〕，那么点A 的横坐标为__________．
【答案】
2
3
【解析】
【详解】设()020,l g ,C x o x 因为()2020l g 164l g o x o x =+ ，所以
()020,4l g ,4B x o x BC += ，因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以可得()0202,2l g A x o x -+ ，又因为在()0202,2l g A x o x -+函数()()2log 16f x x =图象上，
所以
()()202020l g 1622l g l g 4o x o x o x -=+=，解得08
,3
x =
点A 的横坐标为82233
-= ，故答案为23.
三、解答题〔本大题一一共70分解容许写出文字说明、解答过程成演算步骤，第17－21题为必考题，每个试题考生都必须答题第22 23题为选考题，考生根据要求作等〕 〔一〕必考题
17.在ABC ∆中，0120,,21,3ABC A c b a S ∆=>==求,b c 的值. 【答案】
【解析】
【详解】由2221
sin ,
{22cos ABC S bc A a b c bc A ==+-
即22133,
22{1
2122
bc b c bc
=⨯⨯=++⨯⨯，
解得：〔因为c b >舍去〕或者
.
18.
如下图,在直三棱柱
中,,,
.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；〔2〕15
5
.
【解析】
【详解】
(1)证明:三棱柱为直三棱
柱,,在
中,,,,由正弦定理得,
,即,
平面,
又平面,
.
(2)如图,作交于D点,连接BD,
由三垂线定理知,
为二面角的平面角.
在
中,,
在中,,
15cos 5
ADB ∴∠=
即二面角的余弦值为.
19.盒中装有一打〔12个〕乒乓球，其中9个新的，3的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求ξ的分布列. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】
从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2的1个新的，1的2个新的或者全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6．ξ取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可． 【详解】解：ξ的可能取值为3，4，5，6
3
3
3
12
1
(3)
220
C
P
C
ξ===，
12
93
3
12
27
(4)
220
C C
P
C
ξ
⋅
===，
21
93
3
12
27
(5)
55
C C
P
C
ξ
⋅
===，
3
9
3
12
21
(6)
55
C
P
C
ξ===.
∴此时旧球个数ξ的概率分布列为
【点睛】此题考察排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出ξ
取某个值时对应的事件的概率．
20.双曲线的中心在原点，焦点12
,
F F在坐标轴上，一条渐近线方程为y x
=，且过点(4,
．
〔Ⅰ〕求双曲线方程；
〔Ⅱ〕假设点()
3,
M m在此双曲线上，求
12
MF MF
⋅．
【答案】〔Ⅰ〕226
x y
-=〔Ⅱ〕0
【解析】
【详解】试题分析：〔1〕设双曲线方程为22(0)
x yλλ
-=≠，由双曲线过点(4,，能求出双曲线方程；〔2〕由点()
3,
M m在此双曲线上，得m=由此能求出
12
MF MF
⋅
的值
试题解析：〔Ⅰ〕由题意，设双曲线方程为22(0)
x yλλ
-=≠
将点(4,代入双曲线方程，得(2
24λ-=，
即6λ=
所以，所求的双曲线方程为2
2
6x y -=
〔Ⅱ〕由〔1〕知(
)()
12,F F -
因为()3,M m ，所以()()
1
2
233,,2
33,MF m MF m =---=-
又()3,M m 在双曲线2
2
6x y -=上，那么23m =
()()
2123312930MF MF m ⋅=-+=-++=
考点：双曲线的HY 方程；直线与圆锥曲线的关系
43
22411()(0)43
f x x ax a x a a =
+-+> 〔1〕求函数()y f x =的单调区间；
〔2〕假设函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】〔1〕()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，
〔2〕a >
01a ≤<. 【解析】
试题分析：〔1〕利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数. 因为
322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-,令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由
0a >时，列表分析()f x '在()0f x '=根的左右的符号，得()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与，()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，，〔2〕由〔1〕得到
45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12
f x f a a ==极小值
4()(0)f x f a ==极大值，要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要
44571312a a -<<或者4
1a <，即a >01a <<. 解：〔1〕因为322
()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-2分 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==
由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示
所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与6分 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，8分
〔2〕由〔1〕得到4
5
()(2)3
f x f a a =-=-极小值，4
7()()12f x f a a ==
极小值 4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44
571312
a a -<<
或者41a <， 14分
即a >
01a <<. 16分 考点：利用导数研究函数性质 【此处有视频，请去附件查看】
〔二〕选考题〔一共10分请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，按所做的第一题计分〕
22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y α
α=⎧⎨=-⎩
〔α为参数〕，求直线l 与
曲线C 交点P 的直角坐标． 【答案】P 点的直角坐标为()0,0 【解析】 【分析】
将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标．
【详解】解：直线l 的普通方程为y =，① 曲线C 的直角坐标方程为[]()2
12,22
y x x =
∈-，②
联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或者6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
故P 点的直角坐标为()0,0．
【点睛】此题考察了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属根底题． 23.选修4-5：不等式选讲
设不等式2x a -<〔*a N ∈〕的解集为A ，且32A ∈，1
2
A ∉.
〔1〕求a 的值；
〔2〕求函数()2f x x a x =++-的最小值. 【答案】〔1〕1a = 〔2〕()f x 的最小值为3 【解析】 试题分析：利用
31
,22
A A ∈∉，推出关于a 的绝对值不等式，结合a 为整数直接求a 的值；〔2〕利用a 的值化简函数()f x ，利用绝对值根本不等式求出12x x +++的最小值. 试题解析：〔1〕因为
32A ∈，且1
2
A ∉，
所以
322a -<，且1
22
a -≥ 解得
1322
a <≤， 又因为*a N ∈， 所以1a =.
〔2〕因为12x x ++-≥ ()()123x x +--= 当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时获得等号， 所以()f x 的最小值为3.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。