全国高中数学联赛天津赛区初赛试题

20XX 年全国高中数学联赛天津赛区初赛
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、 已知函数f (x )x x x 2424sin 4cos cos 4sin +-+=，则f (x )可化简为
（A ）cos2x （B ）sin2x （C ）cos x -sin x （D ）2
sin 2cos x x - 2、 已知正数a 1,a 2,…,a 7构成等比数列．若前五项的和为627+，后五项的和为12214+，则a 6等于
（A ）4 （B ）24 （C ）8 （D ）28
3、 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 是BC 的中点，D 是AA 1上的一个动点，且m DA AD =1
．若AE ∥平面DB 1C ，则m 的值等于 （A ）31 （B ）21 （C ）3
2 （D ）1 4、 有20张卡片分别写着数字1,2,…,19,20．将它们放入一个盒中，有4个人从中各抽取一张卡片，取到两个较小数字的二人在同一组，取得两个较大数字的二人在同一组．若其中的二人分别抽到5和14，则此二人在同一组的概率等于
（A ）21 （B ）512 （C ）515 （D ）51
7 5、 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c （其中a 、b 、c 为整数），有4个学生计算函数值，甲得到f (7)=-1；乙得到：f (1)=3；丙得到：f (4)=-4；丁得到：f (2)=4．其中有且仅有一个学生计算错误，则计算错误的学生是
（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁
6、 在4到18之间选择两个不同的质数，然后用它们的乘积减去它们的和，得到的数可以是
（A ）21 （B ）60 （C ）119 （D ）231
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、 函数f (x )()
65log 231+-=x x 的单调递增区间为．
8、 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边a 、b 、c ．若a 、b 、c 成等差数列，且c =10，a cos A =b cos B ，A ≠B ，则△ABC 的内切圆半径等于．
9、 已知f (x )1
32-+=x x ．若y =g (x )的图像与y =f --1(x +1)的图像关于直线y =x 对称，则g (3)的值等于．
10、 若集合A ={x |-2≤x ≤5}，B ={x |m +1≤x ≤2m -1}，且B B A = ，则实数m 的取值范围是．
11、 已知点A (m ,n )在直线x +3y =41上，其中0＜n ＜m ．若点A 关于直线y =x 的对称点为B ，点B 关于y 轴的对称点为C ，点C 关于x 轴的对称点为D ，点D 关于y 轴的对
称点为E ，且五边形ABCDE 的面积为451，则点A 的坐标为．
12、 设{a n }是各项均为正整数的等差数列，项数为奇数，公差不为零，且各项之和等于
2004，则该数列的第2项a 2的值等于．
三、解答题（每小题20分，共60分）
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
13、 关于x 的不等式a 2+2a -sin 2x -2a cos x ＞2的解集是全体实数．求a 的取值范围．
14、 已知A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）上的两个动点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ．求线段AB 长最小值．
15、已知函数f(x)=x2+x-2．
（1）试求函数()
()()
2
x
f
x
f
x g
-
=的解析式；
（2）若a＞0时，直线y=ax+b与曲线y=g(x)交于三个不同的点，试确定a与b的函数关系式，并画图表示以a、b为坐标的点(a,b)所在的区域．。