萝北县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

萝北县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 2． 若复数
z=
（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
3． 设函数()()21x f x e x a x a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的 取值范围是（ ） A ．3
,12e ⎡
⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭1111] 4． 已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f
（）
=，则f （﹣2）等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5． 已知直线ax+by+c=0与圆O ：x 2+y 2=1相交于A ，B
两点，且
，则的值是（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．0
6． 已知三棱柱111A B C A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面A B C 上的射影为B C 的中点， 则异面直线A B 与1C C 所成的角的余弦值为（ ）
A
4
B
4
4
D ．
34
7． 如图，半圆的直径AB=6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，
则
的最小值为（ ）
A
． B ．9 C
．
D ．﹣9
8． 二项式(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3
x 项的系数为10，则n =
（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
9． 已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣1）
D ．（﹣∞，﹣2）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
10．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．2
11．函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4）
12．设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2
项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37
二、填空题
13．已知z 是复数，且|z|=1，则|z ﹣3+4i|的最大值为 ．
14．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x a x b =+-<=++≤,满足
A
B =∅,{}|52A
B x x =
-<≤,求实数a =__________.
15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
16．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．
17．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和
是 ．
18．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．
三、解答题
19．（本题满分15分）
正项数列}{n a 满足12
1223+++=+n n n n a a a a ，11=a ．
（1）证明：对任意的*
N n ∈，12+≤n n a a ；
（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的*
N n ∈，32
121
<≤-
-n n S ．
【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.
20．已知函数f（x）=xlnx，求函数f（x）的最小值．
21．设函数f（x）=lnx+，k∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求k值；
（Ⅱ）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）已知函数f（x）在x=e处取得极小值，不等式f（x）＜的解集为P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．
22．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角,
a a>
Cθ
=AC边长为BC边长的()1倍，三角形ABC的面积为S（千米2）.
试用θ和a表示S；
（2）若恰好当60
θ=时，S取得最大值，求a的值.
23．（本小题满分12分）
已知点M为圆22
+=上一个动点，点D是M在x轴上的投影，P为线段M D上一点，且与点Q关:4
C x y
于原点O对称，满足Q P O M O D
=+．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点P作E的切线l与圆相交于,A B两点，当Q A B
∆的面积最大时，求直线l的方程．
24．设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
萝北县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用. 2． 【答案】A
【解析】解：复数z==
=
．
由条件复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，
解得a=3． 故选：A ．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
3． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函数()()()21,x
g x e x h x a x a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为
存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x a x a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值范围.
4． 【答案】D
【解析】解：∵当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=
…①，
∴3f （）﹣2f （x ）==…②，
①×3+③×2得：
5f（x）=，
故f（x）=，
又∵函数f（x）为偶函数，
故f（﹣2）=f（2）=，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x＞0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键．
5．【答案】A
【解析】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1
∴sin =sin∠AOC==
所以：∠AOB=120°
则•=1×1×cos120°=．
故选A．
6．【答案】D
【解析】
考点：异面直线所成的角.
7．【答案】C
【解析】解：∵圆心O是直径AB的中点，∴+=2
所以=2•，∵与共线且方向相反∴当大小相等时点乘积最小．由条件知当
PO=PC=时，最小值为﹣2×=﹣
故选C
【点评】本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键．
8．【答案】B
【解析】因为(1)(N)
n
x n*
+?的展开式中3x项系数是3C
n ，所以3C10
n
=，解得5
n=，故选A．
9．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（）=﹣3•+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
10．【答案】C
【解析】解：∵复数（2+ai）2=4﹣a2+4ai是实数，
∴4a=0，
解得a=0．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】
二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．
【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16，
可得2m+5n=16 ①．
再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，
故含x2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．二、填空题
13．【答案】6．
【解析】解：∵|z|=1，
|z﹣3+4i|=|z﹣（3﹣4i）|≤|z|+|3﹣4i|=1+=1+5=6，
∴|z﹣3+4i|的最大值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查复数求模，着重考查复数模的运算性质，属于基础题．
14．【答案】
7
,3
2
a b
=-=
【解析】
考点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学
生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 15．【答案】12．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
16．【答案】2．
【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），
∴z=，∴|z|===2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．
17．【答案】64．
【解析】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28
∴甲的中位数为28
乙的得分共有9个，中位数为36
∴乙的中位数为36
则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64
故答案为：64．
【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析．另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意．
18．【答案】（0，）∪（64，+∞）．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），
又f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，
∴x＞64或0＜x＜．
即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}
故答案为：（0，）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
20．【答案】
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得
∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0
∴时，函数取得极小值，也是函数的最小值
∴f（x）min===﹣．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由条件得f ′（x ）=﹣（x ＞0），
∵曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线x ﹣2=0垂直，
∴此切线的斜率为0，
即f ′（e ）=0，有﹣=0，得k=e ；
（Ⅱ）条件等价于对任意x 1＞x 2＞0，f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2恒成立…（*）
设h （x ）=f （x ）﹣x=lnx+﹣x （x ＞0），∴（*）等价于h （x ）在（0，+∞）上单调递减．
由h ′（x ）=﹣﹣1≤00在（0，+∞）上恒成立，得k ≥﹣x 2+x=（﹣x ﹣）2+（x ＞0）恒成立，
∴k ≥（对k=，h ′（x ）=0仅在x=时成立），
故k 的取值范围是[，+∞）；
（Ⅲ）由题可得k=e ，
因为M ∩P ≠∅，所以f （x ）＜在[e ，3]上有解，
即∃x ∈[e ，3]，使f （x ）＜成立，
即∃x ∈[e ，3]，使 m ＞xlnx+e 成立，所以m ＞（xlnx+e ）min ，
令g （x ）=xlnx+e ，g ′（x ）=1+lnx ＞0，所以g （x ）在[e ，3]上单调递增，
g （x ）min =g （e ）=2e ，
所以m ＞2e ．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，考查不等式存在性和恒成立问题的解决方法，考查运算能力，属于中档题．
22．【答案】（1）21
s in 212c o s a S a a θ
θ=⋅+- （2）2a =+【解析】
试题
解析：
（1）设边B C x =，则A C a x =，
在三角形A B C 中，由余弦定理得：
22212c o s x a x a x θ=+-， 所以221
12c o s x a a θ=+-，
所以21
1
s in 2212c o s a S a x x s in a a θ
θθ=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()()222c o s 12c o s 2s in s in 1
212c o s a a a a a S a
a θθθ
θθ
+--⋅=+-'⋅， ()()2222c o s 121
212c o s a a a
a a θθ
+-=⋅+-， 令0S '=，得022c o s ,1a a θ=+
且当0θθ<时，022c o s 1a a θ>
+，0S '>， 当0θθ>时，022c o s 1a a θ<+，0S '<，
所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以22112a
a =+，
解得2a =±
因为1a >
，则2a =+
点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

23．【答案】
【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)D x ．
∵点P 与点Q 关于原点O 对称，∴2Q P O P =．
∵Q P O M O D =+，∴2O P O M O D =+，
∴0002(,)(,)(,0)x y x y x =+，∴002x x
y y =⎧⎨=⎩，
∵22004x y +=，∴2244x y +=，
∴动点P 的轨迹方程：2
214x y +=．
（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意，
∴设直线l 的方程为y k m m =+，
由2244
y k m m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(41)8440k x k m x m +++-=． ∵直线l 与椭圆相切，
∴2222
644(41)(44)0k m k m ∆=-+-=，∴2241m k =+． 原点O 到直线l
的距离d =
，则A B =，
∴1222Q A B S A B d d ∆=⋅=
4
==≤，
当22
d=
，即d=Q A B
∆的面积取得最大值4．
此时d==22
22
m k
=+，
由
22
22
22
41
m k
m k
⎧=+
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，解得
2
m
k
⎧=
⎪
⎨
=±
⎪
⎩
，
∴直线l
的方程为
2
y x
=+
2
y x
=-
2
y x
=-+
或
2
y x
=--
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1
x时，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3时，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x
≤，∴1＜x
≤；
x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x
≤，无解，…
所以f（x）≥1解集为[0
，]．…
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化为|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3，…
∴，…
∴﹣1≤a≤4．…。