1.1.1变化率问题
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y x 4 2 2
(2)解： △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2
y x 2 x x ( x) x
2
2 x x
平均变化率为:
y x
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
思考2：平均变化率有什么几何意义呢？ 平均变化率的几何 意义就是 函数f(x)图像上两点 (x1,f(x1)), (x2,f(x2))所 在直线的斜率。
x2 x1
x
这个式子称为函数 均变化率。
y f
x 从 x1 到
x 2 的平
注：习惯上用 x x 2 x1 ，即 x 可看作是 相对于 x1 的一个“增量”；类似地，
y f
x2
f
x1
2.平均变化率的定义
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
例、 设函数f(x)=2x, 当ｘ从2变到1.9
时,求△x和 △ y. 解 △x＝1.9－２＝0.1 △y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2
例：
已知函数 f ( x) x ，分别计算 f ( x)
2
在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]；
(1)函数f(x)在[6+t+
D.9+t
3.已知函数f(x)=x2-x在区间[1,t]的平均变 化率是2，求t的值。
t＝2
例、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
解 y x
f (x 0 x ) f (x 0 )
x
2
(x 0 + △ x )
x0
2
△ x
= 2x 0 △ x
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
归纳：
求函数y = f(x)在区间[x1，x2]上的平均 变化率的步骤：
(1)求自变量的增量 x
x2 x1
(2)求函数的增量 y f ( x2 ) f ( x1 ) y f ( x2 ) f ( x1 ) (3)求平均变化率 x2 x1 x
(1) 点Q的坐标;
(2) Δ y的值;
(3) 割线PQ的斜率.
(2) 解 (1) Q(3, 27)， y 26
(3) k P Q 13
小结：
• 1.函数的平均变化率：
y x f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求自变量的增量 x
3
练习
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δ x,-2+Δ y), 则Δ y/Δ x=( ) A、3 B、3Δ x-(Δ x)2 C、3-(Δ x)2 D、3-Δ x
D
2 .质 点 运 动 规 律 s = t + 3 , 则 在 时 间 ( 3 , 3 + t ) 中 相应的平均速度为( A. 6+t C.3+t B.
v
h (2) h (1) 2 1
8.2( m / s )
o
t
思考? h(t)=-4.9t2+6.5t+10
当时间从t1 增加到t2时,运动员的 平均平均速度是多少?
h ( t 2 ) h ( t1 ) t 2 t1
平均变化率
将上述两个问题中的函数关系用 y f x 表示，那么问题中的变化率可用式子： y f x2 f x1 表示. (或 )
变式：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1） 和Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线， 求出当Δ x=0.1时割线的斜率.
k (1 x) 1
3 3
(1 x) 1
2
3 3x (x)
3 3 0.1 0.1 3.31
2
练 习
1、 过y=x3上两点P（1，1)、Q(1+Δx,1+Δy) 作割线，当Δ x=2时, 求
(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为3
例 位 移 s ( t ) ( 单 位 : m ) 与 时 间 t ( 单 位 : s )的 关 系 为 : s ( t ) 3 t 1, 求 t 从 2 到 4的 平 均 速 度 v .
解
v
s t
s(4) s(2) 42
(3 4 1) (3 2 1) 2
例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化 如图所示，试分别计算从出生到第3个月与 第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化 率
W(kg) 11 8.6 6.5
解 : 前 3 个月体重 平均变化率为 6 .5 3 .5 30 11 8 . 6 12 6 1( kg / 月 ); : :
2 1 0 .1 6 ( d m / L )
显然 0.62>0.1 6
问题提升：
当空气容量从V1增加到V2 时, 气球的平均膨胀率是多少呢?
r V2 r V1 V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
平均速度
平均速度实质就是运动 员在某段时间内的位移 对于时间的平均变化率 ，在物理上叫平均速度
o h
t
分析一下:
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
• 当t从0增加到0.5时,平均速度为
v
h (0.5) h (0) 0.5 0
4.05( m / s )
h
• 当t从1增加到2时,平均速度为
r(V ) =
3
3V 4π
分析一下:
r (V )
3
3V 4
r (1) r (0) 0.62( dm )
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
r (1) r (0 ) 1 0
0 .6 2 ( d m / L )
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16( dm ) 气球的平均膨胀率为 r ( 2 ) r (1)
= f( x 1 + x ) - f( x 1 ) x
理解：x
y
1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 △x值不能为0， △ y 的值可以为0 2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3、变式
y x f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 y x f ( x1 x) f ( x1 ) x
变化率！
1.变化率
一个变量相对于另一个变量的变化
而变化的快慢程度叫做变化率．
问题1
气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容量的
增加,气球的半径增加越来越慢.从数学
角度,如何描述这种现象呢?
问题1
气球膨胀率
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm) 之间的函数关系是 4 3 V (r) = πr 3 如果将半径r表示为体积V的函数, 那么
y
(3)求平均变化率
x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
(2)求函数的增量 y f ( x2 ) f ( x1 )
x
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy . 则平均变化率为
y x = f(x 2 ) - f(x 1 ) x 2 - x1
第 6 个月到第 12 个月体重 平均变化率为 0 . 4 ( kg / 月 )
3.5 3 6 9
12 T(月)
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2
问题引入：
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙 挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人 的经营成果？ (2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到 10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如 何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
问题引入：
某市2007年4月20日最高气温为33.4℃，而 4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃ 和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃， 闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” 注：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑 一个量相对于另一个量改变了多少.
(2)解： △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2
y x 2 x x ( x) x
2
2 x x
平均变化率为:
y x
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
思考2：平均变化率有什么几何意义呢？ 平均变化率的几何 意义就是 函数f(x)图像上两点 (x1,f(x1)), (x2,f(x2))所 在直线的斜率。
x2 x1
x
这个式子称为函数 均变化率。
y f
x 从 x1 到
x 2 的平
注：习惯上用 x x 2 x1 ，即 x 可看作是 相对于 x1 的一个“增量”；类似地，
y f
x2
f
x1
2.平均变化率的定义
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
例、 设函数f(x)=2x, 当ｘ从2变到1.9
时,求△x和 △ y. 解 △x＝1.9－２＝0.1 △y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2
例：
已知函数 f ( x) x ，分别计算 f ( x)
2
在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]；
(1)函数f(x)在[6+t+
D.9+t
3.已知函数f(x)=x2-x在区间[1,t]的平均变 化率是2，求t的值。
t＝2
例、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
解 y x
f (x 0 x ) f (x 0 )
x
2
(x 0 + △ x )
x0
2
△ x
= 2x 0 △ x
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
归纳：
求函数y = f(x)在区间[x1，x2]上的平均 变化率的步骤：
(1)求自变量的增量 x
x2 x1
(2)求函数的增量 y f ( x2 ) f ( x1 ) y f ( x2 ) f ( x1 ) (3)求平均变化率 x2 x1 x
(1) 点Q的坐标;
(2) Δ y的值;
(3) 割线PQ的斜率.
(2) 解 (1) Q(3, 27)， y 26
(3) k P Q 13
小结：
• 1.函数的平均变化率：
y x f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求自变量的增量 x
3
练习
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δ x,-2+Δ y), 则Δ y/Δ x=( ) A、3 B、3Δ x-(Δ x)2 C、3-(Δ x)2 D、3-Δ x
D
2 .质 点 运 动 规 律 s = t + 3 , 则 在 时 间 ( 3 , 3 + t ) 中 相应的平均速度为( A. 6+t C.3+t B.
v
h (2) h (1) 2 1
8.2( m / s )
o
t
思考? h(t)=-4.9t2+6.5t+10
当时间从t1 增加到t2时,运动员的 平均平均速度是多少?
h ( t 2 ) h ( t1 ) t 2 t1
平均变化率
将上述两个问题中的函数关系用 y f x 表示，那么问题中的变化率可用式子： y f x2 f x1 表示. (或 )
变式：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1） 和Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线， 求出当Δ x=0.1时割线的斜率.
k (1 x) 1
3 3
(1 x) 1
2
3 3x (x)
3 3 0.1 0.1 3.31
2
练 习
1、 过y=x3上两点P（1，1)、Q(1+Δx,1+Δy) 作割线，当Δ x=2时, 求
(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为3
例 位 移 s ( t ) ( 单 位 : m ) 与 时 间 t ( 单 位 : s )的 关 系 为 : s ( t ) 3 t 1, 求 t 从 2 到 4的 平 均 速 度 v .
解
v
s t
s(4) s(2) 42
(3 4 1) (3 2 1) 2
例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化 如图所示，试分别计算从出生到第3个月与 第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化 率
W(kg) 11 8.6 6.5
解 : 前 3 个月体重 平均变化率为 6 .5 3 .5 30 11 8 . 6 12 6 1( kg / 月 ); : :
2 1 0 .1 6 ( d m / L )
显然 0.62>0.1 6
问题提升：
当空气容量从V1增加到V2 时, 气球的平均膨胀率是多少呢?
r V2 r V1 V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
平均速度
平均速度实质就是运动 员在某段时间内的位移 对于时间的平均变化率 ，在物理上叫平均速度
o h
t
分析一下:
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
• 当t从0增加到0.5时,平均速度为
v
h (0.5) h (0) 0.5 0
4.05( m / s )
h
• 当t从1增加到2时,平均速度为
r(V ) =
3
3V 4π
分析一下:
r (V )
3
3V 4
r (1) r (0) 0.62( dm )
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
r (1) r (0 ) 1 0
0 .6 2 ( d m / L )
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16( dm ) 气球的平均膨胀率为 r ( 2 ) r (1)
= f( x 1 + x ) - f( x 1 ) x
理解：x
y
1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 △x值不能为0， △ y 的值可以为0 2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3、变式
y x f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 y x f ( x1 x) f ( x1 ) x
变化率！
1.变化率
一个变量相对于另一个变量的变化
而变化的快慢程度叫做变化率．
问题1
气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容量的
增加,气球的半径增加越来越慢.从数学
角度,如何描述这种现象呢?
问题1
气球膨胀率
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm) 之间的函数关系是 4 3 V (r) = πr 3 如果将半径r表示为体积V的函数, 那么
y
(3)求平均变化率
x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
(2)求函数的增量 y f ( x2 ) f ( x1 )
x
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy . 则平均变化率为
y x = f(x 2 ) - f(x 1 ) x 2 - x1
第 6 个月到第 12 个月体重 平均变化率为 0 . 4 ( kg / 月 )
3.5 3 6 9
12 T(月)
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2
问题引入：
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙 挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人 的经营成果？ (2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到 10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如 何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
问题引入：
某市2007年4月20日最高气温为33.4℃，而 4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃ 和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃， 闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” 注：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑 一个量相对于另一个量改变了多少.