中考数学最常出现的题型有哪些,你知道吗？

中考数学最常出现的题型有哪些，你知道吗？
线段、角的计算与证明
中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

一元二次方程与函数
在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。

多种函数交叉综合问题
初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。

这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。

所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。

列方程(组)解应用题
在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。

方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。

从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。

实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。

动态几何与函数问题
整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。

而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。

但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。

其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。

做这类题时一定要有“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。

几何图形的归纳、猜想问题
中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。

对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，△ABC 中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（ ）
A.8
B.9
C.10
D.11
2．用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A ．2 cm
B ．32cm
C ．42cm
D ．4cm
3．化简21644m m m
+
--的结果是( ) A ．4m -
B ．4m +
C ．
4
4
m m +- D ．
4
4
m m -+ 4．若55
+55
+55
+55
+55
＝25n
，则n 的值为（ ） A ．10
B ．6
C ．5
D ．3
5．一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为( ) A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
6．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，弧AB=弧BC,58AOB ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）
A ．58°
B ．42°
C ．32°
D ．29°
7．如图是用小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，俯视图上的数字表示小正方体的个数，则搭这个几何体最多需要的小正方体的个数为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．2018年舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ） A ．4.995×1010
B ．49.95×1010
C ．0.4995×1011
D ．4.995×1011
9．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下列方程组正确的是( )
A ．12x y x y -=⎧⎨=⎩
B ．2(2)x y
x y =⎧⎨=-⎩
C ．12(1)x y
x y -=⎧⎨
=-⎩
D ．12(1)
x y
x y +=⎧⎨
=-⎩
10．若a ＜b ，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．a ﹣2＜b ﹣2
B ．﹣a ＞﹣b
C ．
33
a b < D ．a 2＜b 2
11．给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y'＝n×x n ﹣1．若函数y ＝x 4，则有y'＝4×x 3，已知函数y ＝x 3，则方程y'＝6x 的解是（ ） A ．x ＝2
B ．x ＝3
C ．x 1＝0，x 2＝2
D ．x ＝﹣2
12．下列图形是由同样大小的三角形按一定规排列面成的．其中第①个图形有3个三角形，第②个图形有6个三角形，第③个图形有11个三角形，第④个图形有18个三角形，……按此规律，则第⑦个图形中三角形的个数为（ ）
A ．47
B ．49
C ．51
D ．53
二、填空题 13．分式方程
3512
x x =++的解为_____． 14．在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝2cm ，M 为AB 的中点，N 为BC 上一动点（不与点B 重合），将△BMN 沿直线MN 折叠，使点B 落在点E 处，连接DE ，CE ，当△CDE 为等腰三角形时，线段BN 的长为_____．
15．若二次根式
3
x x
+有意义，则自变量x 的取值范围是_____． 16．如图，已知抛物线y 1=﹣x 2
+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．
17．如图，在中，
，点为的中点，将绕点按顺时针方向旋转，当经过点
时得到
，若
，
，则
的长为___．
18．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长为23cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为_____cm ． 三、解答题 19．计算或化简：
（1）2cos45°﹣（﹣23）0
+
1
821
-+ （2）先化简，再求值：（
31
x -﹣x ﹣1）÷22
21x x x --+，其中x ＝﹣2；
20．（1）2
2019
11
|32|2sin602-︒⎛⎫
-+--- ⎪⎝⎭
（2）化简：22
214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭
，并从0≤x＜5中选取合适的整数代入求值． 21．已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （-2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；
（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．为了丰富学生的校园文化生活，学校开设了书法、体育、美术音乐共四门选修课程.为了合理的分配教室，教务处问卷调查了部分学生，并将了解的情况绘制成如下不完整的统计图：
（1）参与问卷调查的共有________人，其中选修美术的有________人，选修体育的学生人数对应扇形统计图中圆心角的度数为________.
（2）补全条形统计图；
（3）若每人必须选修一门课程，且只能选一门，已知小红没有选体育，小刚没有选修书法和美术，则他们选修同一门课程的概率是多少，列树状图或列表法求解.
23．如图1，E为半圆O直径AB上一动点，C为半圆上一定点，连接AC和BC，AD平分∠CAB交BC于点D，连接CE和DE．如果AB=6cm，AC=2.5cm，设A，E两点间的距离为xcm，C，E两点间的距离为y1cm，D，E 两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请将它补充完整：
（1）按表中自变量x值进行取点、画图、测量，得到了y1和y2与x几组对应值：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 2.50 2.27 2.47 m 3.73 4.56 5.46
y2/cm 2.97 2.20 1.68 1.69 2.19 2.97 3.85
问题：上表中的m=______cm；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中（见图2），描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y2）和（x，
y1），并画出函数y1和y2的图象；
（3）结合函数的图象，解决问题：当△ACE为等腰三角形时，AE的长度约为______cm（结果精确到0.01）．24．某体育健身中心为市民推出两种健身活动付费方式，第一种方式：办会员证，每张会员证300元，只限本人当年使用，凭证进入健身中心每次再付费20元；第二种方式：不办会员证，每次进入健身中心付费25元设小芳计划今年进入健身中心活动的次数为x（x为正整数）．第一种方式的总费用为y1元，第二种方式的总费用为y2元
（1）直接写出两种方式的总费用y1、y2分别与x的函数关系式；若小芳计划今年进入健身中心活动的总费用为1700元，选择哪种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多．
（2）当x＞50时，小芳选择哪种付费方式更合算？并说明理由
25．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元
(1)若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B D B D C A C D C C
二、填空题
13．1 2
14．4
5
或2
15．x≥﹣3且x≠0．16．②③
17．3
三、解答题
19．（1）-2（2）﹣x2﹣x+2，2
【解析】
【分析】
（1）依次计算三角函数、零指数幂、二次根式，然后计算加减法；（2）先算括号里的，然后算除法．
【详解】
（1）原式＝2×
2
2
﹣1+2﹣1﹣22＝2﹣1+2﹣1﹣22＝﹣2；
（2）（
3
1
x-
﹣x﹣1）÷
2
2
21
x
x x
-
-+
＝
2
31
()
11
x
x x
-
-
--
÷
2
2
(1)
x
x
-
-
＝
2 (2)(2)(1)
12 x x x
x x
-+--
⋅
--
＝﹣（x+2）（x﹣1）
＝﹣x2﹣x+2
当x＝﹣2时，
原式＝﹣（﹣2）2﹣（﹣2）+2＝﹣2+2+2＝2
【点睛】
本题考查了分式的化简，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
20．（1）1；（2）1.
【解析】
【分析】
(1)按顺序先分别进行乘方的运算、负整数指数幂的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可；
(2)括号内先进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算，化简后再从0≤x＜5中选取使分式有意义的整数值代入进行计算即可．
【详解】
(1)
2
2019
1
1|32|2sin60
2
-
⎛⎫
-+---︒ ⎪
⎝⎭
＝﹣1+4+3﹣2﹣2×
3 2
＝﹣1+4+3﹣2﹣3
(2)22
214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷
⎪--+⎝⎭
＝()()22124
2x x x
x x x x ⎡⎤+--⎢⎥
---⎢⎥⎣⎦ ＝()()()()
2
221·42x x x x x x x x +----- ＝
()
2
1
2x -，
从0≤x＜5可取x ＝1， 此时原式＝()
2
1
12-＝1．
【点睛】
(1)本题考查了实数的运算，熟悉乘方、负整数指数幂、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
(2)本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 21．（1）y = -12
x 2+ 2x + 6；（2）P(3, 15
2 )；（3）P （4，6）或P （5-17，317-5）．
【解析】 【分析】
（1）待定系数法求解可得；
（2）作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM ，先求出直线AB 解析式为y=-x+6，设P （t ，-
12
t 2
+2t+6），则N （t ，-t+6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM=1
2
PN•OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）若△PDE 为等腰直角三角形，则PD=PE ，设点P 的横坐标为a ，表示出PD 、PE 的长，列出关于a 的方程，解之可得答案． 【详解】
（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （-2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a （x-6）（x+2）， 将点A （0，6）代入，得：-12a=6， 解得：a=-
1
2
， 所以抛物线解析式为y=-
12（x-6）（x+2）=-12
x 2+2x+6；
（2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，
设直线AB 解析式为y=kx+b ， 将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
6
60b k b ⎧⎨
+⎩
＝＝， 解得：16k b -⎧⎨⎩
＝＝，
则直线AB 解析式为y=-x+6， 设P （t ，-
12
t 2
+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，-t+6）， ∴PN=PM-MN=-
12t 2+2t+6-（-t+6）=-12t 2+2t+6+t-6=-1
2
t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =
12PN•AG+1
2PN•BM =
1
2PN•（AG+BM ） =
1
2
PN•OB =
12×（-1
2
t 2+3t ）×6 =-32t 2
+9t =-32（t-3）2+272
， ∴当t=3时，P 位于（3，15
2
）时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，
若△PDE为等腰直角三角形，
则PD=PE，
设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，
∴PD=-1
2
a2+2a+6-（-a+6）=-
1
2
a2+3a，
2
1
22()
2
a b
+
=-
⨯-
，
则b=4-a，
∴PE=|a-（4-a）|=|2a-4|=2|2-a|，
∴-1
2
a2+3a=2|2-a|，
解得：a=4或a=5-17，
所以P（4，6）或P（5-17，317-5）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质等知识点．
22．（1）60,12,108°；（2）详见解析；（3）1 6
【解析】
【分析】
（1）用参与了解的音乐的学生数除以所占的百分比即可求得调查的总人数；用总人数减去书法的人数减去体育和音乐的人数就可得到美术的人数；用选修体育的人数除以总人数再乘以360°即可求出对应扇形的圆心角；.
（2）根据选修课程的人数补全条形统计图即可；.
（3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】
(1) 由条形统计图可知音乐有24人，由扇形统计图可知音乐占40%，2440%=60
∴÷（人）；
选修美术的人数：606182412
---=(人)；
选修体育的圆心角：1860360=108
÷⨯
(2) 条形统计图如图，
(3) 树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能情况，其中小红和小刚选修同一门课程的情况有1种，所以概率为1 6
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）3；（2）见解析；（3）①2.5；②0；③3.
【解析】
【分析】
（1）当x=3时，点E与点O重合，故CE即为CO，即可求解；
（2）根据表格数据，描点后图象如下图2；
（3）分AE=AC、AC=CE、AE=CE三种情况，求解即可．
【详解】
解：（1）当x=3时，点E与点O重合，故CE即为CO=3，
故：答案为3；
（2）根据表格数据，描点后图象如下图2；
（3）△ACE为等腰三角形，有以下三种情况：
①当AE=AC时，
AE=AC=2.5；
②AC=CE时，
即y1=CE=2.5，从图象可以看出，x=0；
即：AE=0（舍去），
③当AE=CE时，
即：x=y1，从图中可以看出：x=3，
即：AE=3；
故：答案为2.50或3.00．
【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到作函数图象，此类题目通常在作图的基础上，依据图象确定特殊点坐标情况求解．
24．（1）y1＝20x+300，y2＝25x；选择第一种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多；（2）当50＜x＜60时，选择第二种付费方式更合算；当x＞60，选择第一种付费方式更合算．
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出函数关系式即可；再把y＝1700分别代入函数关系式即可求解；
（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得y1＝20x+300，y2＝25x；
第一种方式：20x+300＝1700，解得x＝70，即她进入健身中心活动的次数为70次；
第二种方式：25x＝1700，解得x＝68，即她进入健身中心活动的次数为68次；
所以选择第一种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多；
（2）当y1＞y2，即20x+300＞25x时，解得x＜60，此时选择第二种付费方式更合算；
当y1＝y2，即20x+300＝25x时，解得x＝60，此时选择两种付费方式一样；
当y1＜y2，即20x+300＜25x时，解得x＞60，此时选择第一种付费方式更合算．
所以当50＜x＜60时，选择第二种付费方式更合算；当x＞60，选择第一种付费方式更合算．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
25．（1该档次蛋糕每件利润为18元;（2）该烘焙店生产的是四档次的产品．
【解析】
【分析】
（1）依题意可求出产品质量在第五档次的每件的利润．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）10＋2×（5－1）＝18（元）．
答：该档次蛋糕每件利润为18元．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：[10＋2（x－1）]×[76－4(x－1）]＝1024，
整理得：x2﹣16x＋48＝0，
解得：x1＝4，x2＝12（不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是四档次的产品．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．某市6月份中连续8天的最高气温如下（单位：℃）：32，30，34，36，36，33，37，38．这组数据的中位数、众数分别为（）
A．34，36 B．34，34 C．36，36 D．35，36
2．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝3：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②2
BF＝PB•EF；③PF•EF＝22
AD；④EF•EP ＝4AO•PO．其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．③④
3．据开化旅游部门统计，2018年开化各景点共接待游客约为12926000人次，数据12926000用科学记数法表示为（）
A．0.12926×108B．1.2926×106
C．12.926×105D．1.2926×107
4．若m＞n，则下列不等式正确的是（）
A．m+2＜n+2 B．m﹣2＜n﹣2 C．﹣2m＜﹣2n D．m2＞n2
5．将一张正方形纸片，按如图步骤①、②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）
A. B. C. D.
6．下列运算正确的是（）
A．3a2•a3＝3a6B．5x4﹣x2＝4x2
C．（2a2）3•（﹣ab）＝﹣8a7b D．2x2÷2x2＝0
7．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED 以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则梯形BDEF的面积为( )
A ．14
B ．16
C ．18
D ．10
8．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝DE ＝2，CE ＝52
，BC ＝245．动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C 匀速运动，运动到点C 时停止．过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，设△BPQ 的面积为S ，点P 的运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．下列运算正确的是（ ）
A ．2a 2b ﹣ba 2＝a 2b
B ．a 6÷a 2＝a 3
C ．（ab 2）3＝a 2b 5
D ．（a+2）2＝a 2
+4 10．下列运算正确的是（ )
A ．2223x 25x x +=
B ．2223a 26a a ⋅=
C ．236(2)8x y x y -=-
D ．22322m()m n m m n -=- 11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣1，1），B （0，﹣2），C （1，0），点P （0，
2）绕点A 旋转180°得到点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3，点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2019的坐标为（ ）
A ．（-2，0）
B ．04（，）
C ．（2，-4）
D ．（-2，-2）
12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点A 在x 轴正半轴，点C 在y 轴正半轴，点D 是边BC 的中点，反
比例函数
k
y
x
=（k＞0，x＞0）的图象经过B，D．若点C的纵坐标为6，点D的横坐标为3.5，则k的值
是（）
A．6 B．8 C．12 D．14
二、填空题
13．如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC上一点，AD＝5，且AD⊥AB，点E是BD上的点，AE
＝1
2
BD，AC＝6.5，则AB的长度为___．
14．如图，在▱ABCD中按以下步骤作图：①以点B为圆心，BA长为半径作弧，交BC于点E；②分别以A，E为圆心，大于AE的长为半径作弧两弧交于点F；③连接BF，延长线交AD于点G．若∠AGB=30°，则∠C=____°．
15．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=23+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM 沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．
16．不等式组
2961
1
x x
x k
+>+
⎧
⎨
-<
⎩
的解集为2
x<，则k的取值范围为_____．
17．函数
21
x
y
x
+
＝中，自变量x的取值范围是．
18．如图，已知Rt△AOB，∠OBA＝90°，双曲线
k
y
x
=与OA，BA分别交于C，D两点，且OC＝2AC，S四边
形OBDC
＝11，则k＝_____．
三、解答题
19．如图,AB 是☉O 的直径,延长BA 至点P,过点P 作☉O 的切线PC,切点为C,过点B 向PC 的延长线作垂线BE,交该延长线于点E,BE 交☉O 于点D,已知PA=1,PC=3OC.
(1)求BE 的长;
(2)连接DO,延长DO 交☉O 于F,连接PF,
①求DE 的长;
②求证:PF 是☉O 的切线.
20．折叠矩形ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处．
（1）求证：△ABF ∽△FCE ；
（2）若DC ＝8，CF ＝4，求矩形ABCD 的面积S ．
21．先化简，再求值：2121x x x +-+÷2(1)1
x +-，其中x ＝3． 22．如图10，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 是x 轴正半轴上的一个动点，连结AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ．设点B 坐标是（t ，0）．
（1）当t ＝4时，求直线AB 的解析式；
（2）①用含t 的代数式表示点C 的坐标： .
②当△ABD 是等腰三角形时，求点B 坐标.
23．如图，在正方形网格纸中，每一个小正方形的边长为一线段AB 的两个端点都在小正方形的顶点上，
请按下面的要求画图．
(1)在图1中画钝角三角形ABC，点C落在小正方形顶点上，其中△ABC有一个内角为135°，△ABC的面积为4，并直接写出∠ABC的正切值；
(2)在图1中沿小正方形网格线画一条裁剪线，沿此裁剪线将钝角三角形ABC分隔成两部分图形，按所裁剪图形的实际大小，将这两部分图形在图2中拼成一个平行四边形DEFG，要求裁成的两部分图形在拼成平行四边形时互不重叠且不留空隙，其中所拼成的平行四边形的周长为8+22，各顶点必须与小正方形的顶点重合．
24．如图所示，在建筑物顶部有一长方形广告牌架CDEF，已知CD=2m，在地面上A处测得广告牌架上端C的仰角为37︒，前进10m到达B处，在B处测得广告牌架下端D的仰角为60︒，求广告牌架下端
︒≈，3取1.73)
D到地面的距离(结果精确到0.1m).(参考数据：tan370.75
25．北京时间2019年3月10日0时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将中星6C卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面C处发射，当火箭达到A点时，从位于地面雷达站D处测得DA的距离是6km，仰角为42.4︒；1秒后火箭到达B点，测得DB的仰角为45.5︒.(参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02)
(Ⅰ)求发射台与雷达站之间的距离CD；
(Ⅱ)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少(结果精确到0.01)？
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D C B C B D A A B D 二、填空题
13．
14．120
15．234
3
或6
16．k≥1
17．x≥-1
2
且x≠0
18．12 三、解答题
19．（1）BE=3
2
；（2）①DE=
1
2
；②详见解析.
【解析】
【分析】
（1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圆的半径长，然后利用相似三角形的性质求得BE的长；（2）①证明△OBD是等边三角形，即可求得DE的长；
②首先证明△OPC≌△OPF，根据切线的判定定理即可证得．
【详解】
解:(1)设☉O的半径是r,则OP=PA+r=1+r,OC=r,PC=3r.∵PC是圆的切线,∴∠PCO=90°,
∴在Rt△PCO中,PC2+OC2=OP2,
即(3r)2+r2=(1+r)2,
解得:r=1或r=-1
3
(舍去负值).
在Rt△OPC中,cos∠POC=OC
OP
=
1
2
,
∴∠POC=60°,
∵∠PC O=90°,BE⊥PE,
∴BE∥OC,
∴△OPC∽△BPE,∠OBD=∠POC=60°,
∴OC
BE
=
OP
BP
=
2
3
,
∴BE=3
2
OC=
3
2
;
(2)①在△OBD中,OB=OD,∠OBD=60°,
∴△OBD 是等边三角形,∴BD=OB=1,∠BOD=60°.
∴DE=BE-BD=32-1=12
; ②证明:∵∠POF=∠BOD=60°,∠POC=60°,
∴∠POF=POC,
∵在△OPC 和△OPF 中,
,,,OC OF POC POF OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△OPC ≌△OPF(SAS),
∴∠OFP=∠OCP=90°,
∴PF 是☉O 的切线.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定、三角函数的综合应用，利用勾股定理求得圆的半径是关键．
20．(1)证明见解析；(2)80.
【解析】
【分析】
（1）根据矩形性质和折叠性质证△ABF ∽△FCE ；（2）在Rt △EFC 中，EF 2＝CE 2+CF 2，求DE ＝EF ，根据相似三角形性质，求AD ＝AF ＝10，S ＝AD•CD.
【详解】
(1)∵矩形ABCD 中，
∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°．
∴∠BAF+∠AFB ＝90°．
由折叠性质，得∠AFE ＝∠D ＝90°．
∴∠AFB+∠EFC ＝90°．
∴∠BAF ＝∠EFC ．
∴△ABF ∽△FCE ；
(2)由折叠性质，得AF ＝AD ，DE ＝EF ．
设DE ＝EF ＝x ，则CE ＝CD ﹣DE ＝8﹣x ，
在Rt △EFC 中，EF 2＝CE 2+CF 2，
∴x 2＝(8﹣x)2+42
．
解得x ＝5．
由(1)得△ABF ∽△FCE ， AF AB EF CF
⋅= 85104AF =⨯=
∴AD ＝AF ＝10．
∴S ＝AD•CD＝10×8＝80．
【点睛】
考核知识点：矩形折叠问题和相似三角形判定和性质.理解题意熟记性质是关键.
21．11x -；312
+. 【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【详解】 原式＝2112(1)1
x x x x +-+÷-- ＝211(1)1
x x x x +-⋅-+ ＝
11x -， 当x ＝3时，原式＝
131-＝312
+． 【点睛】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（1）y ＝－32x ＋6；（2）①点C 的坐标为(t ＋3，2
t )，②分三种情况进行分类讨论，点B 的坐标为（3，0）．点B 的坐标为（12＋65，0）．当t≥0时，不存在BD ＝AB 的情况．
【解析】
【分析】
（1）当t=4时，B （4，0），设直线AB 的解析式为y=kx+b ．把A （0，6），B （4，0）代入解析式即可求出未知数的值，从而求出其解析式；（2）①根据点A 和点B 的坐标可以求得点M 的坐标，从而可以求得点C 的坐标；②分三种情况进行分类讨论：AD ＝BD,AB ＝AD ，BD≠AB.
【详解】
（1）当t ＝4时，B(4，0)．
设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b
将A(0，6)，B(4，0)代入，得：
640b k b ＝＋＝⎧⎨⎩解得326
k b ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝ ∴直线AB 的解析式为y ＝－32
x ＋6． （2）①）∵点A （0，6），点B （t ，0），点M 是线段AB 的中点，
∴点M 的坐标是（2
t ，3）， 又∵将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ， ∴点C 的坐标为：（t+3，
2t ）， 故答案为：（t+3，2
t ）； ②分三种情况进行分类讨论
（1）AD ＝BD ，则∠BAD ＝∠ABD ．
∵BD ∥y 轴，
∴∠OAB ＝∠ABD ，
∴∠OAB ＝∠BAD ．
∴tan ∠OAB=tan ∠BAD
又∵∠AOB ＝∠ABC=90° ∴OB AO ＝BC AB ＝12，即6t ＝12
，∴t ＝3． 此时点B 的坐标为（3，0）．
（2）若AB ＝AD
方法一 :设直线AC 的解析式为6y kx =+
∵点C 的坐标为(t ＋3，
2t ) ∴(3)62t k t ++=
∴12=26t k k -+ ∴12=626
t y x k -++ ∴当=x t 时，23626
t y t +=+ ∴23626
t BD t +=+ 由题得=2BD AO
∴236=1226
t t ++ ∴22436t t -= ∴1=12+65t 2=1265t -（舍去）
方法二：过点A 作AH ⊥CG 于H ，则CH ＝HG ＝12
CG ．
∵∠GEB ＝∠AOB ＝90°，∠GBE ＝∠ABO ，
∴△GEB ∽△AOB ． ∴
GE BE ＝AO BO
， ∴GE ＝6t ×3＝18t ． 又∵HE ＝AO ＝6，CE ＝
2t ，GE ＋HE ＝HG ＝12CG ＝12
(CE ＋GE)． ∴18t ＋6＝12(2t ＋18t )，整理得t 2－24t －36＝0． 解得t 1＝12＋65，t 2＝12－65＜0（不合题意，舍去）．
此时点B 的坐标为（12＋65，0）．
（3）当0≤t＜12时，∠ADB 是钝角，△ADB 是钝角三角形，故BD≠AB．
当t≥12时，BD≤CE＜BC ＜AB ．
∴当t≥0时，不存在BD ＝AB 的情况．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化-旋转, 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答,注意分类讨论思想的应用.
23．(1)画图见解析，tan ∠ABC ＝
12
；(2)见解析. 【解析】
【分析】
（1）利用数形结合的思想解决问题即可．
（2）沿图中虚线剪开，可以拼成平行四边形DEFG ．
【详解】
(1)如图1中，△ABC 即为所求．
作AH⊥BC于H．
∵S△ABC＝1
2
•BC•AH＝4，BC＝210，
∴AH＝210 5
在Rt△ABH中，BH＝22410 5
AB AH
-=，
∴tan∠ABC＝AH1 BH2
=．
(2)如图2中，平行四边形DEFG如图所示．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，勾股定理，平行四边形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
24．广告牌架下端D到地面的距离约为9.7米.
【解析】
【分析】
过点D作DH⊥AB，垂足为H，设DH=x，在Rt△DBH中，利用∠DBH的正切，用x表示出BH的长，在Rt△AHC中，利用∠A的正切列关于x的方程，求出x的值即可.
【详解】
过点D作DH⊥AB，垂足为H.
设DH=x
在Rt DBH中，DBH=60
∠︒，
由
DH
DBH=
BH tan∠，
得
x
3=
BH
.
∴ 3BH=x 3
. 在Rt AHC 中，A=37∠. 由CH A=AH
tan ∠， 得32x 4310x 3
+≈+ ∴ 22x=43
- ≈9.7.
答：广告牌架下端D 到地面的距离约为9.7米.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.
25．(Ⅰ)发射台与雷达站之间的距离CD 约为4.44km ；(Ⅱ)这枚火箭从A 到B 的平均速度大约是0.51/km s .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)在Rt △ACD 中，根据锐角三角函数的定义，利用∠ADC 的余弦值解直角三角形即可；(Ⅱ)在Rt △BCD 和Rt △ACD 中，利用∠BDC 的正切值求出BC 的长，利用∠ADC 的正弦值求出AC 的长，进而可得AB 的长，即可得答案.
【详解】
(Ⅰ)在Rt ACD 中，6DA km =，42.4A CD ADC cos DC AD
∠∠=︒=，
≈0.74， ∴()642.4 4.44km CD AD cos ADC cos ∠=⋅=⨯︒≈.
答：发射台与雷达站之间的距离CD 约为4.44km . (Ⅱ)在Rt BCD 中， 4.44km 45.5,BC CD BDC tan BDC CD
∠∠==︒=，， ∴()4.4445.5 4.44 1.02 4.5288km BC CD tan BDC tan ∠=⋅=⨯︒≈⨯=.
∵在Rt ACD 中，AC sin ADC AD
∠=， ∴()642.4 4.02km AC AD sin ADC sin ∠=⋅=⨯︒≈.
∴()4.5288 4.020.50880.51km AB BC AC =-=-=≈.
答：这枚火箭从A 到B 的平均速度大约是0.51/km s .
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.。