山东省日照市2013届高三12月阶段训练数学(文)试题

2012年高三阶段训练
文科数学
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页，第II 卷3至8页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第I 卷（共60分）
注意事项：
1.答第I 卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置。

2.第I 卷共2页。

答题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

在试卷上作答无效。

参考公式：
柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.
已知集合{{}
,sin ,M N y y x x R =-==∈，则集合M N ⋂等于 A.∅
B.{}0
C.{}1,0-
D.{1,0,-
【答案】C
【KS5U 解析】{}
sin ,{11}N y y x x R y y ==∈=-≤≤，所以{1,0}M N ⋂=-，选C. 2.命题“2
,0x R x ∀∈>”的否定是 A.2
,0x R x ∀∈≤
B.2
,0x R x ∃∈>
C.2
,0x R x ∃∈<
D.2
,0x R x ∃∈≤
【答案】D
【KS5U 解析】全称性命题的否定是存在性命题，所以选D 。

3.已知3cos ,05ααπ=
<<，则tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
A.
1
5
B.
17
C.1-
D.7-
【答案】D
【KS5U 解析】因为3cos 0,05ααπ=
><<，所以0,sin 02
παα<<>，所以4sin ,5α=故
4tan ,3α=所以41tan tan
34tan()7441tan tan 143
π
απαπα+++===--⋅-，选D.
4.“33log log a b >”是“1122a
b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【KS5U 解析】由33log log a b >得0a b >>。

由1122a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得a b >。

所以“33log log a b >”
是“1122a
b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”的充分不必要条件，选A.
5. 若()f x 时R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2f f ==，则(3)(4)f f -值为 A. 1- B. 1 C. 2- D. 2 【答案】A 【KS5U
解析】因为
()f x 时R 上周期为
5的奇函数，所以
(3)(35)(2)(2)2f f f f =-=-=-=-，
(4)(1)(1)1f f f =-=-=-，所以
(3)(4)2(1)1f f -=---=-，选A. 6.函数1g x
y x
=的图象大致是
【答案】D
【KS5U 解析】因为函数1g x
y x
=为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除A,B.当1x =时,0y =，排除C ，选D.
7.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，有以下四个命题： ①若,m n αα⊥⊥，则//m n ②若,//m αβα⊥，则m β⊥； ③若,m m n α⊥⊥，则//n α ④若,n n αβ⊥⊥，则//βα.
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【答案】B
【KS5U 解析】由平行与垂直的问题可知, ①④成立, ②可能,m β相交; ③可能n α⊂.所以选B.
8.如右图，某几何体的主（正）视图与左（侧）视图都是边长为1的正方形，且体积为
1
2
，则
该几何体的俯视图可以是
【答案】C
【KS5U 解析】若俯视图为A ，则该几何体为边长为1的正方体，体积为1，不成立。

若俯视图为B ，则该几何体为圆柱，体积为2
1()12
4
π
π⨯=，不成立。

若俯视图为C ，则该几何体为三
棱柱，体积为
1111122⨯⨯⨯=，成立。

若俯视图为D ，则该几何体为1
4
圆柱，体积为211144
π
π⨯⨯=，不成立。

所以只有C 成立，所以选C. 9.已知0,0m n >>，向量()1,1a =，向量(),3b m n =-，且()a a b ⊥+，则14
m n
+的最小值为 A.18
B.16
C.9
D.8
【答案】C
【KS5U 解析】由(1+,-2),+m n a b =()+⊥,a b a 所以()0+=a b a ，即120m n ++-=，即m n +=1. 所以
14144()()5549.m n
m n m n m n n m
+=++=++≥+=当且仅当412
,1,,33
m n m n m n n m =+===且即时取等号.所以14m n +的最小值为9.选C.
10.已知数列{}n a ，若点()()
*,n n a n N ∈在经过点()8,4的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和15S 为 A.12
B.32
C.60
D.120
【答案】C
【KS5U 解析】可设定直线为4(8)y k x -=-,知4(8),(8)4n n a k n a k n -=-=-+得,则{}n a 是等差数列且84a =，所以11515815()
15154602
a a S a ⋅+=
=⋅=⨯=，选C.
11. 若等边三角形ABC 的边长为该三角形所在平面内一点M 满足12
63
CM CB CA =+，则MA MB ⋅等于
A.2-
B.1-
C.1
D.2
【答案】A
【KS5U 解析】1152
()()()3
663
MA MB CA CM CB CM CA CB CB CA ⋅=--=--（）
=2272518936CA CB CA CB ⋅--=7πcos 183CA CB ⋅｜
｜｜｜2225
||||936
CA CB -- =785
2.333
--=-选A.
12. 设函数()f x 的零点为1x ，函数()422x g x x =+-的零点为2x ，若121
4
x x ->，则()
f x 可以是 A.()122f x x =- B.()110x f x =- C. ()2
14
f x x x =-+- D.()()ln 82f x x =- 【答案】B
【KS5U 解析】113()20422g =-=<，1()212102g =+-=>，
则11
()()024
g g ⋅<,所以 21142x <<。

若为 A.()122f x x =-，则()1
22
f x x =-的零点为114x =，所以
211044x <-<，所以121
||4
x x -<，不满足题意。

如为B. ()110x f x =-的零点为10x =，
所以211042x <-<，所以满足121||4
x x ->。

若为C. ()2
14f x x x =-+-的零点为112x =，
211024x <-<，
所以121
||4x x -<，不满足题意。

若为D.()()ln 82f x x =-的零点为138x =，23133182884x -<-<-，即2131888x -<-<，所以121
||8
x x -<，不满足题意，所以选B.
第II 卷（共90分）
注意事项：
第II 卷共6页。

考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在指定答题区域内作答，填空题请直接填写答案，解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,60a b B ==
=，则
sin A =____________.
【答案】1
2
【KS5U 解析】因为1,,a b ==
a b <，所以A B <，即60A <。

由正弦定理得
s i n s i n a b A B =，即1
sin sin 2
a A B
b ===。

14.函数()()ln 1f x x =+__________.
【答案】(1,2]-
【KS5U 解析】要使函数有意义，则有2
10
40
x x +>⎧⎨
-≥⎩。

即2
1
4
x x >-⎧⎨
≤⎩，所以1
22
x x >-⎧⎨
-≤≤⎩，即
12x -<≤，所以函数的定义域为(1,2]-。

15.二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2
S r π=，观察发现S l '=；三维空间中球的二维测度（表面积）2
4S r π=，三维测度（体积）3
43
V r π=
，
观察发现V S '=.已知四维空间中“超球”的三维测度3
8V r π=，猜想其四维测度W =________. 【答案】42πr
【KS5U 解析】:根据归纳猜想可知43
(2π)8πr r '=，所以四维测度42πW r =。

16.若实数,x y 满足不等式组1,20,y x y x x ≥-⎧⎪
≤-+⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z y x =-的最大值是____________
【答案】2
【KS5U 解析】做出不等式对应的平面区域
，由2z y x =-得
2y x z =+。

做直线2y x =，平移直线2y x z =+，由图象可知当直线2y x z =+经过点
(0,2)C 时。

直线2y x z =+的截距最大，此时z 最大，此时22z y x =-=，所以目标函数2z y x =-的最大值是2,。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17.（本小题满分12分）
已知向量)
(),0,0,sin a x b x =
=，记函数()(
)2
2f x a b x =+.求：
（I ）函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合；
（II ）函数()f x 的单调递增区间. 18.（本小题满分12分）
已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11391,,,a a a a =成等比数列.求： （I ）数列{}n a 的通项公式； （II ）数列{}
2an n a ⋅的前n 项和n S . 19.（本小题满分12分）
如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点. （I ）求证：EF//平面ABC 1D 1； （II ）求证：1EF B C ⊥..
20.（本小题满分12分） 已知函数()1f x x x
=-
. （I ）若()2
2x
f =，求x 的值；
（II ）若()()2
0tf t
mf t +≥对于[]2,4t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
21.（本小题满分13分）
如图，顺达架校拟在长为400m 的道路OP 的一侧修建一条训练道路，训练道路的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()[]sin 0,0,0,200y A x A x ωω=>>∈的图象，且图象的最
高点为(S ，训练道路的后一部分为折线段MNP ，为保证训练安全，限定
120MNP ∠=.
（I ）求曲线段OSM 对应函数的解析式；
（II ）应如何设计，才能使折线段训练道路MNP 最长？最长为多少？
22.（本小题满分13分） 已知()ln a f x x
x
=. （I ）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性； （II ）若()f x 在[]1,e （e 是自然对数的底）上的最小值为3
2
，求a 的值.
2012年高三阶段训练
文科数学参考答案及评分标准 2012.12
说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。

一、选择题：每小题5分，共60分. (1)C. (2)D. (3)D. (4)A. (5)A. (6)D. (7)B. (8)C. (9)C (10)C. (11)A. (12)B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. (13)
2
1 (14) (1,2]-.(15)4
π2r . (16) 2. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.
(17)解：（Ⅰ）x x f 2sin 3)()(2
++=b a
212c o s 3s i n 2c 3s i n 22
x x x x =+=+ …………………………3分 =2)6
π
2sin(2++
x ， ………………………… 5分 当且仅当2
3ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )
(Z ∈k 时，()0f x =min ，
此时x 的集合是⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π|. …………………………… 8分
（Ⅱ）由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －，所以)(6
π
π3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6
π
π,3ππ[Z ∈+k k k -. …………… 12分
（18）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知0d ≠，
由11391,,,a a a a =成等比数列,得1218112d d
d
++=
+. ……………………… 3分 解得1,0d d ==（舍去）,.1=∴d
故{}n a 的通项公式为11)1=+(n a n n -⨯=. ……………………… 6分
（Ⅱ）由(I)知2
2n
a n n a n ⋅=⋅，
1231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯， （1）
23412122232(1)22n n n S n n +⨯=
⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯，
（2） (1)(2)-，得 123
122222n n n S n +
-=++++-⨯
. …………………… 10分
所以1
1222.12
n n n S n ++--=
-⨯- 从而1
(1)2 2.=n n S n +-⨯+ ……………………… 12分
(19)（Ⅰ）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则
11111111////EF D B
D B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪
⊂⇒⎬⎪⊄⎭
平面平面平面. ……6分
（Ⅱ）⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥B BC AB D ABC C B D ABC AB BC C B AB
C B 1111111
11 面面⇒
111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫
⇒
⎬⊂⎭
平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥. ……12分
（20）解：（Ⅰ）02>x ，1
(2)22x x
x
f ∴=-
. …………… 2分 由条件可知 22
12=-
x
x ，即 012222=-⋅-x
x . 解得 212±=x ．
02>x ，212+=∴x ,
()
21log 2+=∴x ． …… 6分
（Ⅱ）因为[]2,4t ∈，所以()1f t t t =-， ()2
221f t
t t
=-. ()()20tf t mf t +≥恒成立,即22110t t m t t t ⎛⎫⎛⎫
-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
恒成立，
即()2
110t t m t ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭
.又[]2,4t ∈，所以10t t ->,
F C D
B E 1
A 1
B 1
C
1D
y
O
3100S M
N
P
x
所以2
10t m ++≥恒成立， 即2
(1)m t ≥-+恒成立. ………………9分 又[]2,4t ∈，max 2
)]1([+-≥∴t m ，即5m ≥-. …………12分
（21）解:（Ⅰ）由题知,
图象的最高点为S ,
所以150,4T
A == 2ππ
600,300T ωω===
.
所求的解析式是
π
103s i n (0200)300
y x x =≤≤. ……………5分
（Ⅱ）当200x =时,150y =,所以250MP =,设,(,0)MN m NP n m n ==＞,
在MNP ∆中,由余弦定理,得2
2
2
2
o
2502cos120MP MN NP MN NP ==+-⋅.
所以有22
250()m n mn =+-.又由于()2
4m n mn +≤
(m n =时取等号), 所以2222
()250()()4m n m n mn m n +=+-≥+-,
所以0m n <+≤.
即将折线段中MN 与NP 的长度设计为相等时,折线段训练道路MNP 最长.
最长为
m 3
. ………13分 (22)解：由题意得0x >，所以定义域为),0(+∞，且21()a
f x x x '=+.
…………3分
（Ⅰ）显然，当0a >时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域上单调递增. …………5分 （Ⅱ）当0a >时,由（1）,得()f x 在定义域上单调递增， 所以()f x 在]e ,1[上的最小值为(1)f ，
即333
(1)222
f a a =⇒-=⇒=-（与0a >矛盾，舍）. ……………………7分
当0a =时，()ln f x x =显然在]e ,1[上单调递增，最小值为0，不合题意； ……8分
当0a <时，22
1()a x a
f x x x x
+'=+=， 若),0(a x -∈,则0)(<'x f ,)(x f 单调递减, 若a x -=,则0)(='x f .
若),(+∞-∈a x ,则0)(>'x f ,)(x f 单调递增.
当1≤-a 时,min 33
1,()(1)22
a f x f a a -≤
==-=⇒=-（舍）； 当e 1<-<a 时,12min 3
1,()()1ln()2
a e f x f a a a e <-<
=-=+-=⇒=-21
e （满足题意）； 当e ≥-a 时,2
e
23e 1)e ()(min -=⇒=-==a a f x f （舍）；…………………12分
综上所述2
1e -=a ． ………………………………13分。