电路原理CT-11

I1
L 1+M
i
I2
L2+M
i
= I1 ⋅ jω L1 − ( I 3 − I1 ) jω M
I3
3
= I1 ⋅ jω ( L1 + M ) − jω M ⋅ I 3 U 23 = I 2 ⋅ jω L2 − I1 ⋅ jω M = I 2 ⋅ jω L2 − ( I 3 − I 2 ) jω M = I 2 ⋅ jω ( L2 + M ) − jω M ⋅ I 3
U13 = I1 ⋅ jω L1 − I 2 ⋅ jω M
I1
L1-M
i
1
2
I2
L2-M
i
= I1 ⋅ jω L1 − ( I1 − I 3 ) ⋅ jω M = I1 ⋅ jω ( L1 − M ) + jω M ⋅ I 3
I3
i
3
U 23 = − I 2 ⋅ jω L2 + I1 ⋅ jω M
I3
Il2 回路：
. Il2
U M 2 = − I l1 ⋅ jω M 12 + ( I l 2 − I l 3 ) jω M 25 U M 5 = I l1 ⋅ jω M 15 − I l 2 ⋅ jω M 25
八、两个互感线圈的串并联 1）串联： 两种接法：顺向连接、反向连接
U = U1 + U 2
U1 U U2
i i
i
R1
* * L1
= I ( R1 + jω L1 ) _ + jω MI + I ( R2 + jω L2 ) _ + jω MI
= _ 2 M ) ( R1 + R2 ) + jω ( L1 + L2 + I
＋
九、 互感电路的等效变换——去耦法 1、同名端相连的情况：
1 2 M *
i i
I1 + I 2 = I 3
U13 = I1 ⋅ jω L1 + I 2 ⋅ jω M = I1 ⋅ jω L1 + ( I 3 − I1 ) jω M
I1
L1-M
i
1
2
I2
L2-M
i
I1 *
L1
I2
L2
= I1 ⋅ jω ( L1 − M ) + jω M ⋅ I 3
dt = L1 dt −M dt
= uL1 + uM 1
ψ 2 = ψ 22 + ψ12 = L2i2 + Mi1 dψ 2 di2 di1
u2 = dt = L2 dt +M dt
Φ2 = Φ22 − Φ12
= uL2 + uM 2 u = 2
ψ 2 = ψ 22 −ψ12 = L2i2 − Mi1 dψ 2 di2 di1
I3
i
M
I3
i
U 23 = I 2 ⋅ jω L2 + I1 ⋅ jω M
3
= I 2 ⋅ jω L2 + ( I 3 − I 2 ) jω M = I 2 ⋅ jω ( L2 − M ) + jω M ⋅ I 3
3
？
等效电路与电流的参考方向有关吗？
1
2 M *
I *
1
i
L1
L2
I2
i
I 2 + I 3 = I1
Φ11 Φ21
i2方向改变
Φ1 = Φ11 − Φ 21 Φ 2 = Φ 22 − Φ12
磁通减弱
Φ1 < Φ11 Φ 2 < Φ 22
线圈绕向改变
Φ1 = Φ11 − Φ 21 Φ 2 = Φ 22 − Φ12
磁通减弱
Φ1 < Φ11 Φ 2 < Φ 22
Φ1 = Φ11 + Φ 21 Φ 2 = Φ 22 + Φ12
u2 = uL 2 + uM 2 di2 di1 = − L2 −M dt dt
在选定的参考方向及同名端已知的情况下: 互感电压与引起 uM 的电流对于同名端而言方向一致取＋； 相反取－。 五、互感线圈同名端的测量
K 1
i1
L1 L2
2 + mV −
uM 2 = M
di1 dt
0
1’
2’
若电压表指针正偏 1、2同名端
.
jωL2I R 2I
.
.
U1 R 1I
.
I
jωMI U
. .
.
jωMI
jωL2I R2I
.
. . .
.
jωMI U1 R1I
. .
.
U2 jωL1I I
.
.
jωMI . L jω I 1 . U2 R1I
.U.源自.jωL2I I.
.
U1
R 2I
.
2）并联：两种接法
顺向连接、反向连接
－
I
i
U = I1 ( R1 + jω L1 ) － + jω MI 2 = Z1 I1 + Z M I 2 U = I 2 ( R2 + jω L2 ) － + jω MI1 = Z 2 I 2 － + Z M I1
・
L2
R2
UM2 +
・
（R1 + jω L1 + R3）I 3 = E
Ed
・
E
I 3 = 0.236∠ − 45° ( A)
Ed = U M 2 + I 3 R3
I3
= I 3 ⋅ jω M + I 3 R3 = 26.4∠ − 18.4° (V )
R1 L1
・
M
*
* L2 R3
R2
R1
L1-M
L2-M
i
M
= − I 2 ⋅ jω L2 + ( I 2 + I 3 ) ⋅ jω M
= − I 2 ⋅ jω ( L2 − M ) + jω M ⋅ I 3
3
2、异名端相连的情况：
I1
i
1 * M
2
I2
L2
*
i
I1 + I 2 = I 3
1
2
L1
i
U13 = I1 ⋅ jω L1 − I 2 ⋅ jω M
R2
M
E
Z
R3
Z0 = R2 + jω ( L2 − M ) + R1 + jω ( L1 − M ) // [ R3 + jω M ] = 129.6∠45° ( Ω )
Z = Z 0 = 129.6∠ − 45° ( Ω ) Pmax
2 Ed 26.42 = = = 1.9 (W ) 4 R 4 × 129.6 cos 45°
*
十、复杂互感电路的计算 为了便于计算互感电压，一般采用回路电流法、支路电流法求解。
R1
M12
. . E I l1
R4
+ . UM1 _
*
L1
*
_ +
M25
L2 UM2 C2
已知：R1 R2 L1 L2 L5 C2 C3 E 求：各支路电流？ 解：以回路电流法：
M15
. Il 3 C3
+* . L5 UM5 . _ I5
ψ 11 = N1Φ11 ψ 12 = N 2 Φ12 ψ 1 S = N 1Φ 1 S
自磁链 互磁链 漏磁链
同理：若N2中通以电流i2 ,令i1=0
ψ 22 = N 2 Φ 22 ψ 21 = N1Φ 21 ψ 2 S = N 2Φ 2 S
自磁链 互磁链 漏磁链
ψ 22 L2 = i 2 ψ 21 ⇒ M 21 = i2 ψ 2S L2 S = i2
uM2
Φ1 = Φ11 + Φ21 u1 = = L1 +M
Φ1 = Φ11 − Φ 21
ψ1 = ψ11 + ψ 21 = L1i1 + Mi2 dψ 1 di1 di2
dt dt Φ2 = Φ22 + Φ12 dt
= uL1 + uM 1 u1 =
ψ 1 = ψ 11 − ψ 21 = L1i1 − Mi2 dψ 1 di1 di2
R1
M12
. . E I l1
R4
+ . UM1 _
*
L1
*
_ +
M25
L2 UM2
M15
. Il 3 C3
+* . L5 UM5 . _ I5
1 I l 2 jω L2 − j + jω L5 − jω L5 ⋅ I l 3 ω C2 C2 + UM 2 − UM 5 = 0
dt = L2 dt −M dt
= uL2 + uM 2
uM1
uM2
uM1
uM2
( b ) u1 = uL1 + uM 1
di1 di2 = L1 −M dt dt
u2 = uL 2 + uM 2 di2 di1 = − L2 +M dt dt
( d ) u1 = uL1 + uM 1
di1 di2 = L1 +M dt dt
Il1 回路：
. Il2
I l1 ( R1 + jω L1 + R4 ) − I l 3 R4 + U M 1 = E1
U M 1 = U M 12 + U M 15 = − I l 2 jω M 12 − I 5 ⋅ jω M 15
= − I l 2 jω M 12 − ( I l 2 − I l 3 ) ⋅ jω M 15
I3
3
i
-M
已知：E = 50V ，ω = 103 rad / s，L1 = 150mH，L2 = 100mH， 例： M = 50mH，R1 = R2 = 50Ω，R3 = 100Ω 问：Z＝？、Pmax ＝？
R1 L1
・
M
*
* L2 R3
R2
解：
・
E
Z
E
Z
Zd
设E = 50∠0° (V )
R1 L1 * * _ R3
二、互感线圈的参数： Φ1S：仅交链线圈1的磁通，称为线圈1的漏磁通； Φ12：既交链线圈1又交链线圈2的磁通，称为线圈1对线圈2的 互磁通； Φ11＝ Φ1S+ Φ12 ，称为线圈1的自磁通。 根据磁链的定义： ψ 11 L1 = i 1 ψ 12 ⇒ M 12 = i1 ψ 1S L1S = i1 自感系数 互感系数 漏感系数
φ12
2 M k 2 = k1k2 = L1 L2
⇒ k=
当 M L1 L2
k＝1 k＝0 k→1 k→0
全耦合 无耦合 紧耦合 松耦合
三、同名端：
i1、i2同时作用 交链线圈的全磁通
Φ12 Φ22 Φ1 = Φ11 + Φ 21 Φ 2 = Φ 22 + Φ12 磁通加强 Φ1 > Φ11 Φ 2 > Φ 22
Z −Z I1 = 2 ＋ M 2 U Z1 Z 2 − Z M Z −Z I2 = 1 ＋ M2 U Z1 Z 2 − Z M
U
i
R1
L1
i 1
R2
* L2
* * M
I
* M
I
i 2
Z1 + Z 2 ＋ − 2Z M I = I1 + I 2 = U 2 Z1 Z 2 − Z M
2 Z1 Z 2 − Z M U 等效阻抗Z = = I Z1 + Z 2 − 2 Z M
六、互感电压的相量形式
i1 * * L2 uM2 u2 i2
( b ) u1 = uL1 + uM 1
di1 di2 = L1 −M dt dt
u2 = uL 2 + uM 2 di2 di1 = − L2 +M dt dt (b) U1 = jω L1 I1 − jω M I 2 U 2 = − jω L2 I 2 + jω M I1
磁通加强
Φ1 > Φ11 Φ 2 > Φ 22
磁通加强、减弱取决于① 电流方向 ② 线圈绕向
要判断两线圈磁通到底是加强还是减弱，要画出线圈，还要 看线圈的绕向，麻烦。电路图中引入同名端，电流从同名端 流入，磁通加强。 磁通加强情况下电流流入（出）对应的端钮称为同名端。
四、互感电压：
uM1
uM2
uM1
自感系数 互感系数 漏感系数
M 12 = M 21 = M
耦合系数 k :
k1 =
φ12 φ , k2 = 21 φ11 φ22
M 12 M 21 M 2 = = L1 L2 L1 L2
φ12 φ21 k1k2 = φ11 φ22
N2 N φ21 1 i1 i2 = N N φ11 1 φ22 2 i1 i2
§4－2
交流电路的互感
一、互感现象：
Φ11
铁芯上有两个线圈，匝数分 别为N1、N2；线圈1中通以 电流i1，根据右手螺旋定则， 产生磁通Φ11：
Φ1S
Φ12
Φ1S 仅交链N1 Φ11 Φ12 不仅交链N1同时交链N 2
交变i1→交变Φ12→在线圈2感应电压的现象称为互感现象， 或称线圈1、2之间有磁耦合现象。
M
= ( R + jω L ) I = ZI 式中：R = R1 + R2 L = L1 + L2 + _ 2M
R2
L2
M
*
*
jωMI U
.
.
U = U 1+ U 2 = I [ ( R1 + R2 ) + jω ( L1 + L2 ± 2M ) ]
i
i
i
i
U2 jωMI jωL1I
. . .
i i i i i i
u1 uM1 L1
七、互感电压的受控源形式
i i
I 1 * U1
i
*
I2
L2
I1 U2
i
i
L1
i
L2
I2
i
i
L1
U1
i
U2
i
jω M I 2
jω M I1
U1 = jω L1 I1 − jω M I 2
i
i
i
i
U 2 = − jω L2 I 2 + jω M I1
i
i
例：R1=1Ω，L1=1H，L2=2H，M=0.5H， iS = 10 2 sin t A 求：开路电压u2? 解： iS = 10 2 sin t A → I S = 10∠0 A
I L1 =
i i
i
i
°
iS R
* M L1 L2 *
u2
R1 I S = 5 2∠45° A R1 + jω L1
i
U 2 = U 2 M = − jω M I L1 = −2.5 2∠45 V
°
i
I L1 IS
R
i
i
u2 = 5sin(t − 135 ) V
°
* M L1 L2 *
U2
i