河北师范大学附属中学八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

河北师范大学附属中学八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
一、压轴题
1．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐为()2,0，点D 的坐标为()0,2-，在ABC ∆中45ABC ACB ∠=∠=，//BC x 轴交y 轴于点M ．
（1）求OAD ∠和ODA ∠的度数；
（2）如图2，在图1的基础上，以点B 为一锐角顶点作Rt BOE ∆，90BOE =∠，OE 交AC 于点P ，求证：OB OP =；
（3）在第（2）问的条件下，若点B 的标为()2,4--，求四边形BOPC 的面积．
2．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．
（1）如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：FD BC =；
（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若3AG =，1CG =，求证：E 点为BC 中点． （3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若4BC =，3BE =，则AG CG
=______．（直接写出结果） 3．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；
（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；
（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并证明．
4．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．
（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；
（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接 BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．
5．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”
（1）求∠DFC 的度数；
（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．
6．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．
（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；
（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
7．阅读并填空：
如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD ，那么CD BE =，为什么？
解：过点E 作EF AC 交BC 于F
所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）
D OEF ∠=∠（________）
在OCD 与OFE △中
()________COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
所以OCD OFE △≌△，（________）
所以CD FE =（________）
因为AB AC =（已知）
所以ACB B =∠∠（________）
所以EFB B ∠=∠（等量代换）
所以BE FE =（________）
所以CD BE =
8．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．
（1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；
（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．
9．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①．
（1）求证：∠ACN =∠AMC ；
（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：12S AC S AB
=； （3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）
10．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．
①请直接写出∠AEB 的度数为_____；
②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；
(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．
11．对x y 、定义一种新运算T ，规定：()()(),2T x y mx ny x y =++（其中m
n 、均为非零常数）．例如：()1,133T m n =+．
（1）已知()()1,10,0,28T T -==．
①求m
n 、的值； ②若关于p 的不等式组()(
)2,244,32T p p T p p a ⎧->⎪⎨-≤⎪⎩恰好有3个整数解，求a 的取值范围； （2）当22x y ≠时，()(),,T x y T y x =对任意有理数,x y 都成立，请直接写出m
n 、满足的关系式．
学习参考：①()a b c ab ac +=+，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②()()a b m n am an bm bn ++=+++，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加． 12．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关
系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；
（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；
（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．
13．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6．
（1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；
（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE 于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；
①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度；
②当t 为何值时，点M 与点N 重合；
③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ．
14．探索发现：
111111111;;12223233434
=-=-=-⨯⨯⨯…… 根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）145⨯＝ ，1(1)n n ⨯+＝ ； （2）利用你发现的规律计算：
1111122334(1)n n ⋅++++⨯⨯⨯⨯+ （3）利用规律解方程：
1111121(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)
x x x x x x x x x x x x x -++++=++++++++++ 15．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
16．已知：MN ∥PQ ，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，点C 为MN ，PQ 之间的一点，连接CA ，CB ．
（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC ；
（2）如图2，AD ，BD ，AE ，BE 分别为∠MAC ，∠PBC ，∠CAN ，∠CBQ 的角平分线，求
证：∠D+∠E=180°；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DA 的垂线交PQ 于点G ，点F 在PQ 上，∠FDA=2∠FDB ，FD 的延长线交EA 的延长线于点H ，若3∠C=4∠E ，猜想∠H 与∠GDB 的倍数关系并证明．
17．（1）如图1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在一条直线上，连接AD ，BE 相交于点P ，求证：BE AD =．
（2）如图2，在BCD 中，若120BCD ∠<︒，分别以BC ，CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ，等边CDE △，等边BDF ，连接AD 、BE 、CF 恰交于点P ． ①求证：AD BE CF ==；
②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB ，PC ，PD 与BE 存在怎样的数量关系，并说明理由．
18．直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．
（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数； （2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB =∠______度（直接写出结果，不需说理）；
②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数：若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．
19．（1）在等边三角形ABC 中，
①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；
②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；
（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若
∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．
20．请按照研究问题的步骤依次完成任务．
（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．
（简单应用）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=1
3
∠CAB，∠CDP=
1
3
∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；
（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．
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一、压轴题
1．（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）证明见解析；（3）18．
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）通过“ASA ”可证得△ODB ≌△OAP ，进而可得BO=OP ；
（3）过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，由“AAS ”可证△OBM ≌△OPF ，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面积和差关系可求四边形BOPC 的面积．
【详解】
（1）∵点A 的坐为（2，0），点D 的坐标为（0，-2），
∴OA=OD ，
∵∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=45°；
（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，
∴∠BOD=∠AOP ，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，AB=AC ，
∵∠OAD=∠ODA=45°，
∴∠ODB=135°=∠OAP ，
在△ODB 和△OAP 中，
BOD AOP OD OA
ODB OAP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△ODB ≌△OAP （ASA ），
∴BO=OP ；
（3）如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，
∵BC ∥x 轴，AQ ⊥BC ，PF ⊥x 轴，
∴AQ ⊥x 轴，PN ⊥BC ，∠AOM=∠BMO=90°，
∴点Q 横坐标为2，
∵∠BAC=90°，AB=AC ，AQ ⊥BC ，
∴BQ=QC ，
∵点B 的标为（-2，-4），
∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC ，
∵PF ⊥x 轴，
∴∠OFP=∠OMB=90°，
在△OBM 和△OPF 中，
BOM POF BMO OFP BO PO ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△OBM ≌△OPF （AAS ），
∴PF=BM=2，OF=OM=4，
∵BC ∥x 轴，AQ ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，
∴OM=AQ=FN=4，
∴PN=2，
∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠CPN=45°，
∴CN=PN=2，
∵四边形BOPC 的面积=S △OBM +S 梯形OMNP +S △PNC ，
∴四边形BOPC 的面积=
12×2×4+12×4×（2+4）+12×2×2=18． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度较大，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
2．（1）见解析；（2）见解析；（3）
113或53
【解析】
【分析】
（1）证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF=AC ，等量代换证明结论； （2）作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG=CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；
（3）过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG=GD ，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】
解：（1）证明：∵FD ⊥AC ，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE ，
在△AFD 和△EAC 中，
AFD EAC ADF ECA AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AFD ≌△EAC （AAS ），
∴DF=AC ，
∵AC=BC ，
∴FD=BC ；
（2）作FD ⊥AC 于D ，
由（1）得，FD=AC=BC ，AD=CE ，
在△FDG 和△BCG 中，
90FDG BCG FGD BGC
FD BC ︒
⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△FDG ≌△BCG （AAS ），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E 点为BC 中点；
（3）当点E 在CB 的延长线上时，过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF ≌△ECA ，△GDF ≌△GCB ，
∴CG=GD ，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5， ∴4 1.5111.53AG CG +==， 同理，当点E 在线段BC 上时，
4 1.551.53AG CG -==， 故答案为：113或53
.
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．（1）∠BPC ＝122°；（2）∠BEC ＝
2a ；（3）∠BQC ＝90°﹣12∠A ，证明见解析 【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠1表示出∠2，再利用∠E 与∠1表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC 与∠ECB ，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】
解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，
12PBC ABC ∴∠=∠，12
PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠
11180()22
ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2
ABC ACB =︒-∠+∠，
1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902
A =-︒+︒∠， 9032122=︒+=︒，
故答案为：122︒；
（2）CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，
112ACB ∴∠=∠，122
ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，
ABD A ACB ∴∠=∠+∠，
112()122
A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，
112111222
BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2
QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，
11180()()22
A AC
B A AB
C =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22
A A ABC AC
B =︒-∠-∠+∠+∠， 结论：1902
BQC A ∠=︒-∠．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；
（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
【详解】
解：（1）△ACD 与△CBE 全等．
理由如下：∵AD ⊥直线l ，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB ，
在△ACD 和△CBE 中，
ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；
（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，
则CM=8-t ，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t ，
点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，
当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，
解得，t=5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
5．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC 的度数；
（2）在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，证明△AEG ≌△ACF ，然后再证明△AFG 为等边三角形，从而可得出EF ＝EG ＋GF ＝AF ＋FC ；
（3）在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，证明方法类似（2），先证明△ABG ≌△EBF ，再证明△BFG 为等边三角形，最后可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC ，AD 为BC 边上的中线，∴可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，
又△ABE 为等边三角形，
∴AE=AB=AC ，∠EAB=60°，∴可设∠AEC ＝∠ACE ＝β，
在△ACE 中，2α＋60°＋2β＝180°，
∴α＋β＝60°，
∴∠DFC=α＋β＝60°；
（2）EF=AF+FC，证明如下：
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，
∴CF＝2DF，
在EC上截取EG＝CF，连接AG，
又AE=AC，
∴∠AEG=∠ACF，
∴△AEG≌△ACF（SAS）,
∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，
又∠CAF=∠BAD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，
即EF=AF+FC；
（3）补全图形如图所示，
结论：AF=EF+2DF．证明如下：
同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，
∴∠CAE＝180°－2β，
∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，
∴∠AFC=β－α＝60°，
又△ABE 为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，
∴由8字图可得：∠BAD ＝∠BEF ，
在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，
又AB=BE ，
∴△ABG ≌△EBF （SAS ），
∴BG ＝BF ，
又AF 垂直平分BC ，
∴BF=CF ，
∴∠BFA=∠AFC=60°，
∴△BFG 为等边三角形，
∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，
∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
6．（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或
(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q -．
【解析】
【分析】
（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；
（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．
【详解】
（1）AP PD ⊥
90APB DPC ∴∠+∠=
AB x ⊥轴
90A APB ∴∠+∠=
A DPC ∴∠=∠
在ABP ∆和PCD ∆中
A DPC A
B PC
ABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABP PCD ASA ∴∆≅∆
AP DP ∴=，3DC PB ==
(2,3)D ∴
（2）设(,0)P a ，(2,)Q b
①AB PC =，BP CQ = 223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，
322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122
a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 【点睛】
考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．
7．见解析
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．
【详解】
解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，
∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），
∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），
在OCD 与OFE △中
()()()COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）
∴CD FE =（全等三角形对应边相等）
∵AB AC =（已知）
∴ACB B =∠∠（等边对等角）
∴EFB B ∠=∠（等量代换）
∴BE FE =（等角对等边）
∴CD BE =；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.
8．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，
60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒， 又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2， ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒， ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒， 60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CBE CAD ∴∠=∠，
同理可得：30CAM ∠=︒
150CBE CAD ∴∠=∠=︒
30CBO ∴∠=︒，
∵30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；
（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．
【详解】
（1）∵∠BAC=45°，
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．
∵∠NCM=135°，
∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，
∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，
∴△NEC ≌△CDM （AAS ），
∴NE=CD ，CE=DM ；
∵S 112=AC•NE ，S 212
=AB•CD ，
∴12S AC S AB
=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，
理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，
由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．
∵AC=2BD ，BP=BM ，CE=DM ，
∴AC ﹣CE=BD+BD ﹣DM ，
∴AE=BD+BP=DP ．
∵NE=CD ，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP ，
∴△NEA ≌△CDP （SAS ），
∴AN=PC ．
【点睛】
本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
10．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形，易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．②由△ACD ≌△BCE ，可得AD=BE ；
（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，
∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ．
【详解】
（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ，
∴∠ACD=∠BCE ，
在△ACD 和△BCE 中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
②AD=BE.
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC， CD = CE，∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB，即∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．
∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．
在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．
∴AE = DE+AD=2CM+BE．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．
11．（1）①
1
1
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
；②42≤a＜54；（2）m=2n
【解析】
【分析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．【详解】
解：（1）①由题意得
()0 88
m n
n
⎧--=
⎨
=
⎩
，
解得
1
1
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
②由题意得
()()
()() 222424 432464
p p p p
p p p p a ⎧+-+->
⎪
⎨
+-+-≤
⎪⎩
，
解不等式①得p＞-1．
解不等式②得p≤
18 12
a-
，
∴-1＜p≤
18 12
a-
，
∵恰好有3个整数解，
∴2≤1812
a -＜3． ∴42≤a ＜54；
（2）由题意：（mx+ny ）（x+2y ）=（my+nx ）（y+2x ），
∴mx 2+（2m+n ）xy+2ny 2=2nx 2+（2m+n ）xy+my 2，
∵对任意有理数x ，y 都成立，
∴m=2n ．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（1） 122°；（2）12BEC α∠=
；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．
【详解】
解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，
12PBC ABC ∴∠=∠，12
PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠
11180()22
ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2
ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2
A =︒-︒-∠， 1180902
A =-︒+︒∠， 9032122，
故答案为：122︒；
（2）如图2示，
CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，
112ACB ∴∠=∠，122
ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，
ABD A ACB ∴∠=∠+∠，
112()122
A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，
112111222
BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2
QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，
11180()()22
A AC
B A AB
C =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22
A A ABC AC
B =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902
BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQC
A ， 再根据（1），可得180()BPC
PBC PCB 1118022QBC QCB 1180
902Q 118090582
119； 由（2）可得：11582922R Q ;
故答案为：119，29．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
13．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10
,2 11
【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；
②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；
②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；
③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．
【详解】
（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中
ADC CEB
DAC ECB AC CB
∠∠
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②由①得：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，
∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；
（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：
CN＝CN−BC＝8t−10；
②点M与点N重合时，CM＝CN，
即3t＝8t−10，
解得：t＝2，
∴当t为2秒时，点M与点N重合；
③分两种情况：
当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，
∴3t＝10−8t，
解得：t＝10 11
；
当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，则3t＝8t−10，
解得：t＝2；
综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于10
11
s或2s，
故答案为：10
11
s或2s．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（1）1111
,
451
n n
--
+
；（2）
n
n1
+
；（3）见解析．
【解析】【分析】
（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到
1 45⨯
和
1
(1) n n
⨯+
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】
解：（1）
111
4545
=-
⨯
，
111
(1)1
n n n n
=-
++
；
故答案为1111
,
451
n n
--
+
（2）原式＝
11111111
1+1
22334111
n
n n n n
--+-++-=-=
+++
;
（3）已知等式整理得：11111121 11245(5)
x
x x x x x x x x
--+-++-=
++++++
所以，原方程即：1121
5(5)
x
x x x x
-
-=
++
，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x＝3．
【点睛】
本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点. 15．（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；
（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；
（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；
（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．
【详解】
解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为1，2，3；
（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．
（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．
（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．
16．（1）见解析；（2）见解析；（3）猜想：∠H= 3∠GDB ，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）作辅助线：过C 作EF ∥MN ，根据平行的传递性可知这三条直线两两平行，由平行线的性质得到内错角相等∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，再进行角的加和即可得出结论；
（2）根据角平分线线定理得知11,22
MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠，利用平角为180°得到∠DAE=90°，同理得90DBE ∠=︒，再根据四边形内角和180°，得出结论；
（3）由（1）（2）中的结论进行等量代换得到3∠ADB=2∠E ，并且两角的和为180°，由此得到两个角的度数分别为72°和108°，利用角的和与差得到∠HDA=36°，∠H=54°，由此得到倍数关系．
【详解】
（1）如图：过C 作EF ∥MN ，
∵MN ∥PQ ，
∴MN ∥EF ∥PQ ，
∴∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，
∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC ，即∠ACB=∠MAC+∠PBC ．
（2）∵AD ，AE 分别为∠MAC ，∠CAN 的角平分线， ∴11,22
MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠， ∴11118090222MAD NAE MAC NAC ∠+∠=
∠+∠=⨯︒=︒，于是∠DAE=90° 同理可得：90PBD QBE ∠+∠=︒，由（1）可得：
∵ 180D E MAD PBD NAE QBE ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒．
（3）猜想：∠H= 3∠GDB.
理由如下：由（1）可知：2()2C MAC PBC MAD PBD ADB ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∵3∠C=4∠E ，
∴6∠ADB=4∠E ，
∴3∠ADB=2∠E ，
∵∠ADB+∠E=180°，
∴∠ADB=72°，∠E=108°，
∵DG ⊥DA ，∴∠GDB=18°，
∵∠FDA=2∠FDB ，
∴∠ADF=144°，
∴∠HDA=36°，
∵DA ⊥AE ，
∴∠H=54°，
∴∠H=3∠GDB ．
【点睛】
考查平行线中角度的关系，学生要熟悉掌握平行线的性质以及角平分线定理，结合角的和与差进行计算，本题的关键是平行线的性质．
17．（1）详见解析；（2）①详见解析；②PB PC PD BE ++=，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD ，判断出BCE ACD ≌（SAS ），即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出≌ACD BCE （SAS ），ABD CBF ≌（SAS ），即可得出结论； ②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE 上取一点M ，使PM=PC ，证明CPM △是等边三角形， 进而判断出PCD MCE ≌（SAS ），即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵ABC 和DCE 都是等边三角形，
∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，。