湖北省黄冈市2020年初二下期末质量检测数学试题含解析

湖北省黄冈市2020年初二下期末质量检测数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知三角形的周长是1．它的三条中位线围成的三角形的周长是( )
A ．1
B ．12
C ．8
D ．4
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交与点O ，以下说法错误的是（ ）
A ．∠ABC=90°
B ．AC=BD
C ．OA=OB
D ．OA=AD
5．下列各数中，没有平方根的是（ ）
A ．65
B ．()22-
C ．22-
D ．12
6．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别是AB 、
BC 的中点，点F 是BD 的中点，若10AB =，则EF 的长度为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2.5
D ．5
7．正方形的一个内角度数是( )
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
8．一种病菌的直径是0.000023毫米，将0.000023用科学记数法表示为( )
A ．52.310-⨯
B ．42.310-⨯
C ．40.2310-⨯
D ．62310-⨯
9．ABC ∆中，A B ∠=∠，则ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
10．下列各式一定是二次根式的是( )
A ．7-
B ．3
C ．x
D ．36 二、填空题
11．自2019年5月30日万州牌楼长江大桥正式通车以来，大放光彩，引万人驻足.市民们纷纷前往打卡、拍照留念，因此牌楼长江大桥成为了万州网红打卡地.周末，小棋和小艺两位同学相约前往参观，小棋骑自行车，小艺步行，她们同时从学校出发，沿同一条路线前往，出发一段时间后小棋发现东西忘了，于是立即以原速返回到学校取，取到东西后又立即以原速追赶小艺并继续前往，到达目的地后等待小艺一起参观（取东西的时间忽略不计），在整个过程两人保持匀速，如图是两人之间的距离()y m 与出发时间()min x 之间的函数图象如图所示，则当小棋到达目的地时，小艺离目的地还有______米.
12．定义运算“★”：对于任意实数 ,a b ，都有 2a b a b =+，如：224248=+=．若(1)37x -=，则实数 x 的值是_____．
13．如图,点E 在BOA ∠的平分线上,EC OB ⊥,垂足为C ,点F 在OA 上,若30,3AFE EC ∠=︒=,则EF =__．
14．已知一组数据1，a ，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的方差是_____．
15．如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB=AE ，∠F=50°，则∠D= ____________°
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为_____.
17．点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是__．
三、解答题
18．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道有关于自然数的题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”就是说：一个数被2除余2，被5除余2，被7除余2，求这个数．《孙子算经》的解决方法大体是这样的先求被2除余2，同时能被5，7都整除的数，最小为1．再求被5除余2．同时能被2，7都整除的数，最小为62．最后求被7除余2，同时能被2，5都整除的数，最小为20．于是数1+62+20＝222．就是一个所求的数．那么它减去或加上2，5，7的最小公倍数105的倍数，比如222﹣105＝128，222+105＝288…也是符合要求的数，所以符合要求的数有无限个，最小的是22．我们定义，一个自然数，若满足被2除余1，被2除余2，被5除余2，则称这个数是“魅力数”．（1）判断42是否是“魅力数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的所有的“魅力数”．
19．（6分）解不等式组：
22
1
1
2
x x
x
x
≤+
⎧
⎪
⎨-
<+
⎪⎩
，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
20．（6分）一辆轿车从甲地驶往乙地，到达乙地后立即返回甲地，速度是原来的1.5倍，往返共用t小时.一辆货车同时从甲地驶往乙地，到达乙地后停止.两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为x（h），两车离开甲地的距离为y（km），两车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示.
（1）轿车从乙地返回甲地的速度为km/t，t= h ；
（2）求轿车从乙地返回甲地时y与x之间的函数关系式；
（3）当轿车从甲地返回乙地的途中与货车相遇时，求相遇处到甲地的距离.
21．（6分）如图，已知△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）当∠BAC＝90°时，求证：四边形ADCE是菱形．
22．（8分）已知x=2﹣3，求代数式（7+43）x2+（2+3）x+3的值．
23．（8分）A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．
（1）求y关于x的表达式；
（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；
（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚20分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．
24．（10分）如图，平行四边形的对角线,相交于点，，分别是，的中点.求证
△≌△
25．（10分）如图，是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
(1)在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；
(2)在(1)的前提下，在第二象限内的格点上找一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是；
(3)求((2)中△ABC的周长(结果保留根号)；
(4)画出((2)中△ABC关于y轴对称的△A'B'C'.
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．C
【解析】
【分析】
由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．
【详解】
解：∵三角形的周长是1，
∴它的三条中位线围成的三角形的周长是：1×1
2
=2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．2．B
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C3，
∵A（0，3），B（0，6），
∴AB=6-3=3，
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C3，C3，
∵OB=6，
∴点B到直线y=x的距离为232
∵323，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，
AB的垂直平分线与直线的交点有一个
所以，点C的个数是3+3=3．
故选B．
考点：3．等腰三角形的判定；3．一次函数图象上点的坐标特征．
3．B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【详解】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意.
故选：B
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合
4．D
【解析】
试题分析：本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误考点：矩形的性质
5．C
【解析】
【分析】
根据平方都是非负数，可得负数没有平方根．
【详解】
A、B、D都是正数，故都有平方根；
C是负数，故C没有平方根；
故选：C．
【点睛】
考查平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
6．C
【解析】
【分析】
利用直角三角形斜边中线定理以及三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵10
AB ，点D是AB的中点，
∴AD=BD= CD=1
2
AB=1，
∵BF=DF，BE=EC，
∴EF=1
2
CD=2.1．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线的性质解决问题，属于中考常考题型．
7．D
【解析】
【分析】
正方形的内角和为(42)180360-⨯︒=︒，正方形内角相等，360490︒÷=︒．
【详解】
解：根据多边形内角和公式：2180()n -⨯︒可得：正方形内角和(42)180360=-⨯︒=︒，
正方形四个内角相等
∴正方形一个内角度数360490=︒÷=︒．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了多边形内角和定理、正多边形每个内角都相等的性质应用，是一道基础几何计算题． 8．A
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：将0.000023用科学记数法表示为52.310-⨯．
故选：A ．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定方法，即可解答.
【详解】
根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B 正确.
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
10．B
【解析】
分析：直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案．
详解：A ，根号下是负数，无意义，故此选项错误；
B
C
D 三次根式，故此选项错误；
故选：B ．
0)a ≥的式子叫做二次根式，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
．
二、填空题
11．400
【解析】
【分析】
设小祺的速度为x 米/分钟，小艺的速度为y 米/分钟，由题意列方程组，可求出小祺的速度与小艺的速度.
【详解】
设小祺的速度为x 米/分钟，小艺的速度为y 米/分钟
则有：()()10106001310600x y x y -=⎧⎨-+=⎩
∴13070
x y =⎧⎨=⎩ ∴设小祺的速度为130米/分钟，小艺的速度为70米/分钟
∴当小祺到达目的地时，小艺离目的地的距离=()130502107050400⨯-⨯-⨯=米
故答案为：400米
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解，再找出对应数量关系.
12．3或﹣1．
【解析】
【分析】
根据新定义运算法则得到关于x 的方程，通过解方程来求x 的值．
【详解】
解：依题意得：（x ﹣1）2+3=7，
整理，得（x ﹣1）2=4，
直接开平方，得x ﹣1=±2，
解得x1=3，x2=﹣1．
故答案是：3或﹣1．
【点睛】
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义a★b=a2+b，此题难度不大．
13．1.
【解析】
【分析】
作EG⊥AO于点G，根据角平分线的性质求得EG的长，然后利用直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】
解：如图，作EG⊥AO于点G，
∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，EC=3，
∴EG=EC=3，
∵∠AFE=30°，
∴EF=2EG=2×3=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得EG的长，难度不大．
14．24 5
【解析】【分析】
根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=1
n
[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]计算方差．
【详解】
解：由平均数的公式得：（1+a+3+6+7）÷5=4，解得a=3；
∴方差=[（1-4）2+（3-4）2+（3-4）2+（6-4）2+（7-4）2]÷5=24
5
．
故答案为24
5
．
【点睛】
此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式S2=1
n
[（x1-x）
2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]．
15．1
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=1°，利用平行四边形对角相等得出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠F=∠BAE=50°，．
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB=1°，
∴∠D=∠B=1°．
故答案是：1．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分.
16．45°
【解析】
如图，连接OA，因OA=OC，可得∠ACO=∠OAC=45°，根据三角形的内角和公式可得∠AOC=90°，再由圆周角定理可得∠B=45°.
17．（3，0）
【解析】
试题分析：因为点P（a，b）关于y轴的对称点的坐标是（-a，b），所以点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是（3，0），故答案为（3，0）
考点：关于y轴对称的点的坐标．
三、解答题
18．（1）49不是“魅力数”，理由详见解析；（9）99、59、89．
【解析】
【分析】
（1）验证49是否满足“被9除余1，被9除余9，被5除余9”这三个条件，若全部满足，则为“魅力数”，若不全满足，则不是“魅力数”；
（9）根据样例，先求被9除余1，同时能被9，5都整除的数，最小为8．再求被9除余9．同时能被9，5都整除的数，最小为90．最后求被5除余9，同时能被9，9都整除的数，最小为11．于是数8+90+11＝59，再用它减去或加上9，9，5的最小公倍数90的倍数得结果．
【详解】
解：（1）49不是“魅力数”．理由如下：
∵49＝14×9+1，
∴49被9除余1，不余9，
∴根据“魅力数”的定义知，49不是“魅力数”；
（9）先求被9除余1，同时能被9，5都整除的数，最小为8．
再求被9除余9．同时能被9，5都整除的数，最小为90．
最后求被5除余9，同时能被9，9都整除的数，最小为11．
∴数8+90+11＝59是“魅力数”，
∵9、9、5的最小公倍数为90，
∴59﹣90＝99也是“魅力数”，
59+90＝89也是“魅力数”，
故不大于100的所有的“魅力数”有99、59、89三个数．
【点睛】
本题考查了数学文化问题，读懂题意，明确定义是解题的关键．
19．3x2
-<≤；数轴表示见解析.
【解析】
【分析】
先把两个不等式分别求出来，然后根据不等式的解的口诀得到不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可.
【详解】
解：
22
1
1
2
x x
x
x
≤+
⎧
⎪
⎨-
<+
⎪⎩
①
②
，
解不等式①，得：x2
≤，
解不等式②，得：x3
>-，
∴不等式的解集为：3x2
-<≤，
在数轴上表示为：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确解出每一个不等式，然后掌握求解集的口诀.
20． (1) 120；5
2
;(2)y=-120x+300; (3)100km.
【解析】【分析】
（1）根据图象可得当x＝3
2
小时时，据甲地的距离是120千米，即可求得轿车从甲地到乙地的速度，进
而求得轿车从乙地返回甲地的速度和t的值；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法求得轿车从乙地到甲地的函数解析式和货车路程和时间的函数解析式，求交点坐标即可．
【详解】
解：（1）轿车从甲地到乙地的速度是：120
3
2
＝80（千米/小时），
则轿车从乙地返回甲地的速度为80×1.5＝120（千米/小时），
则t＝3
2
+
120
120
＝
5
2
（小时）．
故答案是：120，5
2
；
（2）设轿车从乙地返回甲地的函数关系式为：y=kx+b.
将（3
2
，120）和（
5
2
，0），两点坐标代入，得
3
120
2
5
2
k b
k b
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
解得：
120
300
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
所以轿车从乙地返回甲地时y与x之间的函数关系式为：y=-120x+300;
（3）设货车从甲地驶往乙地的函数关系式为：y=ax 将点（2,120）代入解得，解得a=60，故货车从甲地驶往乙地时y与x之间的函数关系式为：y=60x.
由图象可知当轿车从乙地返回甲地时，两车相遇，路程相等，即-120x+300=60x
解得x=5
3
,当x=
5
3
时，y=100.
故相遇处到甲地的距离为100km
【点睛】
本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，熟练掌握待定系数法和一次函数图像交点坐标与二元一次方程组的关系是关键．
21．（1）见解析；（2）四边形ADCE是菱形，见解析.
【解析】
【分析】
（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形；
（2）由∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，即得AD＝BD＝CD，证得四边形ADCE是平行四边形，即证；【详解】
（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝DC，
∴AE＝DC，
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
（2）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线．
∴AD＝CD，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，（1）证得四边形ABDE，四边形ADCE为平行四边形即得；（2）由∠BAC=90°，AD上斜边BC上的中线，即得AD=BD=CD，证得四边形ADCE是平行四边形，从而证得四边形ADCE是菱形．
22．2
【解析】
试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x2=（22=7﹣
则原式=（（7﹣+（（2
=49﹣
23．（1）y=-90x+1；（2）s=1-150x；（3）a=108（千米/时），作图见解析．
【解析】
【分析】
（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b的值．
（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．
（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=-90x+1．设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．
【详解】
（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b
∵图象经过点（0，1），（2，120），
∴
300
{
2120 b
k b
=
+=
解得
90 {
300 k
b
=-
=
∴y=-90x+1．
即y关于x的表达式为y=-90x+1．
（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距1千米．∴甲乙相遇用时为：1÷（90+60）=2，
当0≤x≤2时，函数解析式为s=-150x+1，
2＜x≤10
3
时，s=150x-1
10
3
＜x≤5时，s=60x；
（3）在s=-150x+1中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．
因为乙车比甲车晚20分钟到达，20分钟=1
3
小时，
所以在y=-90x+1中，当y=0，x=10
3
．
所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为10
3
+
1
3
-2=
5
3
（小时）．
乙车与甲车相遇后的速度a=（1-2×60）÷5
3
=108（千米/时）．
∴a=108（千米/时）．
乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．
考点：一次函数的应用．
24．见解析
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出OA=OC，AD=BC，AD∥BC，得∠DAE=∠BCF，由E，F分别是OA，OC的中点得AE=CF，由SAS证明△≌△即可；
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形
∴AD=BC, AD∥BC,OA=OC
∴∠DAE=∠BCF
又∵，分别是，的中点
∴AE=CF
在△和△中
∴△≌△（SAS）.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．25．（1）详见解析；（2）(-1，1)；（3）210；（4）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系；（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C即可；
（3）利用格点三角形分别求出三边的长度，即可求出△ABC的周长；
（4）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可．
【详解】
解：(1)建立平面直角坐标系如图所示；
(2)(-1，1)；
(3)AB=22
+=22,
22
BC=AC=22
+=10,
13
∴△ABC的周长=22+210；
(4)画出△A'B'C′如图所示.
【点睛】
本题考查了作图，勾股定理，熟练正确应用勾股定理是解题的关键．。