基本波函数精品PPT资料

解的特征是本征值具有离散谱，也就是本征值取一些离散值；
而 在 无 限 区 （ 如 在 天 线 周 围 ）， 本 征 值 具 有 连 续 谱 ， 也 就 是 本 征 值 取 连 续 值 。
表3-1 谐函数的类型及对应的性质
h(kx x) e jkx x
e jkx xsin kx Fra bibliotek cos kx x
kx
kx'
jk
'' x
k
'' x
0
k
' x
0
复数 kx
k
'' x
0
k
' x
0
复数 kx
k
'' x
0
k
' x
0
k
'' x
0
k
' x
0
函数的表示
e jk
' x
x
ek
'' x
x
e e kx'' x
jkx' x
e jk
' x
x
ek
'' x
x
e e kx'' x jkx' x
sin
k
' x
x
sinh kx'' x
cos
k
' x
x
cosh kx'' x
波动特性
向 x 方向传播的等幅行波 随 x 衰减的凋落波 向 x 方向传播的衰减行波
向 x 方向传播的等幅行波 随 x 衰减的凋落波 向 x 方向传播的衰减行波
d 2Z dz 2
k
2 z
Z
0
式 中 3 个 分 离 常 数 kx,ky,kz 满 足 下 列 方 程 ：
(3-3c)
k
2 x
k
2 y
k
2 z
k2
上式说明，3 个分离常数中仅有两个是独立的。
(3 -4 )
谐函数
上述 3 个分离的二阶常微分方程类型相同，称为谐方程。其解具有相 同的结构，可以是正弦函数、余弦函数或指数函数，通称为谐函数，通常用
1 d 2Z Z dz2
k2
0
(3 -2 )
要 使 上 式 对 任 意 得 x, y,z 都 成 立 ， 其 中 每 一 项 必 须 等 于 常 数 ， 若 令 前 3 项 分
别等于常数
k
2 x
,
k
2 y
和
k
2 z
，
则
得
到
3
个常微分方程
d 2X dx 2
k
2 x
X
0
d 2Y dy 2
k
2 y
Y
0
(3 -3 a) (3 -3 b )
（1）直角坐标系中的标量波函数
在直角坐标系中，标量亥姆霍兹方程具有以下形式：
2ψ x2
2ψ y2
2ψ z2
k 2ψ
0
(3 -1 )
将 式 （ 3－ 1） 的 解 写 成 ψ X ( x)Y ( y )Z ( z) 形 式 ， 代 入 上 式 后 除 以 ψ ， 得
1 d2X X dx2
1 d 2Y Y dy2
如果分离常数具有一些离散值，标量亥姆霍兹方程的一种解就可以写成求和 形式，例如
Ψ
Akx ,ky h(k x x)h(k y y )h (k z z )
ky kx
(3-6)
式 中 Akx ,ky 是 与 k x , k y , k z 有 关 的 常 数 。任 何 具 体 问 题 所 需 的 k x , k y , k z 值 由 具 体 问 题 的 边 界 条 件 的 确 定 ， 称 为 本 征 值 或 特 征 值 。 通 常 在 有 限 区 域 （ 如 波 导 或 谐 振 腔 中 ），
3 理想导电圆柱对平面波的散射
本章介绍3种常用坐标系中基本波函数的求解，以及 基本波函数在电磁场问题中一些应用。
3.1 标量波函数
标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本 解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的本征 函数。下面分别求解在直角坐标系、圆柱坐标 和球坐标系中标量亥姆霍兹方程的标量波函数。
电磁场是矢量场，当应用标量波函数求解电磁场问题时，首先必须将矢量场分解为满足标量亥姆霍兹方程的分量，或者对坐标分量通
而当某些电磁场问题具有特殊的边界，以至于在相当 过变换使其满足标量亥姆霍兹方程，再通过求解各坐标分量来求解矢量场。
6 理想导电圆筒上的孔隙辐射
45但这理理些想想方导导法电电都圆劈的 解是柱对间对柱坐时接柱面方面波标，法波的。的散中就散射射可可以用用分这离些变通量解法构求成出具齐体次电亥磁姆场霍问兹题方的程特的解通。 5(5)理点想源导场电的劈平也对面柱波就面展波开是的散说射 ，用分离变量法求出的这些通解形式是亥姆 （第22） 章M基及本N原均霍理为和无兹定散理场方； 程的基本波函数，可以将具有相同边界条件的 （3）平面波场用球用面波基基本波本函数波展开函数展开，那么只要求出展开系数，就可 以确定场。 3 理想导电圆柱对平面波的散射
h(kxx), h(ky y)和h(kz z) 表示。因此，标量亥姆霍兹方程的解可以表示为
ψ h(kxx)h(ky y)h(kzz)
（3-5）
式中h表示正弦函数、余弦函数或指数函数中的任一种谐函数。各种谐函数
的性质[以h(kxx)为例]在表3-1 中列出。对于具体问题的给定边界条件，必须
适当选择谐函数的类型。式（3-5）通称为基本波函数。
沿 x 分布的正弦驻波 两种凋落波的合成
沿 x 分布的余弦驻波 两种凋落波的合成
标量亥姆霍兹方程的解
基 本 波 函 数 的 线 性 组 合 必 定 也 是 标 量 亥 姆 霍 兹 方 程 的 解 。式（3-4）中的 分 离 常数只有两个是独立的，因此，对两个分离常数的可能选择求和，就能构成更一 般的波函数。
注：“*”表示重点，“#”表示难点，“★”表示涉及学科前沿
背景
表第 于三32是个-章1L矢、基量M本谐波及原函函求 下N理数数构和的具成解的定类有正理型以交无齐及下函对性数源次应质系的：，性区矢且质可的量证明是电亥完备磁 姆的。场 霍的 兹问 方程题的可求以解归。结有为一一些定电边磁界场条问件 53.理想导电劈题对柱，面波可的散以射(自转习) 化为一定边界条件下标量亥姆霍兹方程的 求解。 下面分别求解在直角坐标系、圆柱坐标和球坐标系中标量亥姆霍兹方程的标量波函数。
第章基本波函数
第2章 基本原理和定理
2.1 亥姆霍兹定理 2.2 唯一性定理 2.3 镜像定理 *#2.4 等效定理 2.5 感应原理 2.6 巴比涅原理 #2.7 互易定理 2.8 线性系统的算子方程
第3章 基本波函数
*3.1 标量波函数 *#3.2 平面波，柱面波和球面波用标量基本波函数展开 3.3 理想导电圆柱对平面波的散射 3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射 3.5 理想导电劈对柱面波的散射 3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射 3.7 理想导电圆球对平面波的散射 3.8 理想导电圆球对球面波的散射 *3.9 分层媒质上的电偶极子 *3.10 矢量波函数