【小初高学习】上海专用2018版高考数学总复习专题10立体几何分项练习含解析

第十章 立体几何
一．基础题组
1. 【2017高考上海，4】已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于 . 【答案】9π
【解析】设球的半径为R ，则：3
4363
R ππ= ，解得：3R = ， 该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：2
9S R ππ== .
2. 【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCD A BC D - 的顶点
D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2 ，则1AC 的坐标是 . 【答案】
()4,3,2-
【解析】将向量1AC 的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =- .
3. 【2016高考上海文数】如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，
则下列直线
中与直线EF 相交的是（ ）.
(A)直线AA 1
(B)直线A 1B 1
(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1
【答案】D
【解析】试题分析：
只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 中的直线与EF 都是异面直线，故选D ．
【考点】异面直线
【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基
础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.
4.【2015高考上海理数】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为则a = ． 【答案】4
【解析】2
3644a a a ==⇒= 【考点定位】正三棱柱的体积
【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的
体积为V Sh =,区别锥的体积13V Sh =；熟记正三角形面积为
2
，正六边形的面积为
2
6. 5. 【2015高考上海理数】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】
3
π 【解析】由题意得：1
:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3
π
【考点定位】圆锥轴截面
【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积
rl S π2=，圆柱的表面积 )(2l r r S +=π ，圆锥的侧面积 rl S π=，圆锥的表面积
)(l r r S +=π ，球体的表面积 24R S π=，圆锥轴截面为等腰三角形.
6. 【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1
arccos
3
.
【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.
7. 【2014上海,文8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .
【答案】24
【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为2(51)324⨯-⨯=. 【考点】三视图，几何体的体积..
8. 【2013上海,理13】在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2
＋y 2
＝1(x ≥1)和(x －3)2
＋y
2
＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为
4π8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为
______．
【答案】2π2
＋16π
9. 【2013上海,文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6
π，则
l
r ＝______.
【解析】由题知，tan
6
3
r l π
=
=⇒l r =10. 【2012上海,理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．
【解析】如图，由题意知2
1π2π2
l =， ∴l =2.
又展开图为半圆，∴πl =2πr ，
∴r =121π33
V r h =
=
11. 【2012上海,理14】如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是__________．
【答案】
2
3
【解析】如图：
当AB =BD =AC =CD =a 时， 该棱锥的体积最大． 作AM ⊥BC ，连接DM ，
则BC ⊥平面ADM ，AM DM =
又AD =2c ，∴ADM S ∆=
∴V D －ABC =V B －ADM +V C －ADM =
2
3
12. 【2012上海,文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________．
【答案】6π
【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，
所以S表＝S底＋S侧＝6π.
13. 【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．
【解析】
14. 【2011上海,文7】若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．
【答案】3π
【解析】
15. 【2010上海,理12】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，
，
剪去AOB
将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为________；
【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体
()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积211323
V =⨯⨯⨯=，故答案
为：
3
. 【点评】本题属于典型的折叠问题，解题的关键是：抓住折叠前后哪些几何元素的位置关系发生了改变，哪些位置关系没有发生改变，本题中应用正方形的性质是解题的推手. 16. 【2010上海,文6】已知四棱椎P —ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝8，则该四棱椎的体积是________． 【答案】96
【解析】底面正方形的面积S ＝62
＝36， 又∵PA ⊥底面ABCD ，PA ＝8， ∴V P —ABCD ＝
13×S ×PA ＝1
3
×36×8＝96. 17. (2009上海,理5)如图,若正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是____________.(结果用反三角函数值表示)
【答案】5arctan
18. (2009上海,理8)已知三个球的半径R 1,R 2,R 3满足R 1+2R 2=3R 3,则它们的表面积S 1,S 2,S 3满足的等量关系是_____________. 【答案】32132S S S =+
【解析】由题意S 1=4πR 12
,S 2=4πR 22
,S 3=4πR 32
, 则S 1S 2=16π2
（R 1R 2)2
, ∴π
π416212
2
121S S S S R R ==
.
又∵32213R R R +=,∴2
21
3)3
2(4R R S +=π =
)44(9
4212
221R R R R ++π =
)4164(91
2121π
πS S S S ∙++ =
)44(91
2211S S S S ++ =221)4(91S S + =221)2(9
1S S +. ∴21323S S S +=
.
19. (本题满分14分)(2009上海,理19)如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.
【答案】
3
π 【解析】如图,建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2),
设AC 的中点为M, ∵BM ⊥AC,BM ⊥CC 1,
∴BM ⊥平面A 1C 1C,即=(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量. 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n=(x,y,z).
A 1=(-2,2,-2),11
B A =(-2,0,0),
∴n ·11B A =-2x=0,n ·A 1=-2x+2y-2z=0, 令z=1,解得x=0, y=1. ∴n =(0,1,1),
设法向量n 与BM 的夹角为φ，二面角B 1-A 1C-C 1的大小为θ，显然θ为锐角. ∵cos θ=|cos φ21|
|||=
BM n ,解得3
πθ=, ∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为
3
π. 20. (2009上海,文6)若球O 1、O 2表面积之比421=S S ,则它们的半径之比2
1R R
=__________. 【答案】2
【解析】由44422
2
1
2
22121===R R R R S S ππ,得221=R R . 21. (2009上海,文8)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________. 【答案】
3
8π
【解析】由题意可知,该几何体是底面半径r=2,高h=2的圆锥, 则其体积3
8312ππ==
h r V . 22. (2009上海,文16)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（ ）
【答案】B
【解析】由于主视图是在几何体的正前方,用垂直于投影面的光线照射几何体而得到的投影,易知图形B 符合题意.
23. 【2008上海,理16】(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示
24. 【2007上海,理10】平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。

已知两个相交平面,αβ与两直线12,l l ，又知12,l l 在α内的射影为12,s s ，在β内的射影为12,t t .试写出
12,s s 与12,t t 满足的条件，使之一定能成为12,l l 是异面直线的充分条件
25. 【2007上海,文7】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，
90=∠ACB ，21=AA ，
1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的大小是 （结果用
反三角函数值表示）.
【答案】6
6arccos 【解析】
26. 【2007上海,文16】（本题满分12分）
在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为
60，求正四棱锥
ABCD P -的体积V .
【解析】作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O .连接AO ，O 是正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面ABCD 所成的角.
PAO ∠＝ 60，2=PA .∴ 3=PO ，1=AO ，2=AB ，
3
3
2233131=
⨯⨯=⋅=
∴ABCD S PO V . 27. 【2006上海,文16】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
（A ）48 （B ） 18 （C ） 24 （D ）36 【答案】D
28. 【2005上海,理11】有两个相同的直三棱柱，高为
a
2
，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 。

用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的
是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.
【答案】03
a <<
【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况 四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为242
a +28 三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为242
a +32
边长为a 3的边重合在一起，表面积为242
a +36 两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况 表面积为122
a +48
最小的是一个四棱柱，这说明 2012481228242
2
2
<⇒+<+a a a 3
15
0<<⇒a 29. 【2005上海,理17】（本题满分12分）
已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，
A ∠为直角，//A
B CD ，4AB =，2AD =，1D
C =，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小．（结果用
反三角函数值表示）
【答案】.17
17
3arccos 【解析】
由题意AB//CD ，BA C 1∠∴是异面直线BC 1与DC 所成的角. 连结AC 1与AC ，在Rt △ADC 中，可得5=AC ， 又在Rt △ACC 1中，可得AC 1=3.
在梯形ABCD 中，过C 作CH//AD 交AB 于H ，
得13,3,2,90=∴==︒=∠CB HB CH CHB 又在1CBC Rt ∆中，可得171=BC ，
在.17
17
3arccos ,171732cos ,112121211=∠∴=⋅-+=∠∆ABC BC AB AC BC AB ABC ABC 中
∴异而直线BC 1与DC 所成角的大小为.17
17
3arccos
如图，以D 为坐标原点，分别以AD 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系. 则C 1（0，1，2），B （2，4，0） ),2,3,2(1--=∴BC
BC 与设1),0,1,0(-=所成的角为θ，
则,17
17
3arccos .17173|
|||cos 11==
=
θθCD BC ∴异面直线BC 1与DC 所成角的大小为.17
17
3arccos 二．能力题组
30. 【2016高考上海文数】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.
将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为
56
π
，11A B 长为
3
π
，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.
【答案】（1）V =π，2S =π；（2）
π
2
．
圆柱的体积2211V r l =π=π⨯⨯=π， 圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．
（2）设过点B 1的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ， 所以COB ∠或其补角为11O B 与OC 所成的角．
由11A B 长为
3π，可知111
3AOB AO B π
∠=∠=， 由AC 长为56π，可知5π6AOC ∠=，2
COB AOC AOB π
∠=∠-∠=，
所以异面直线11O B 与OC 所成的角的大小为2
π
．
【考点】几何体的体积、空间角
【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此类试题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等. 31. 【2016高考上海理数】（本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.
将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）
绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2
π3
，11A B 长为π
3
，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧.
（1）求三棱锥111C O A B -的体积；
（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.
【答案】（1（2）π4.
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =，111π
3
ΑΟΒ∠=，再由三角形面积公式计算111ΟΑΒS △后即得.
（2）设过点1Β的母线与下底面交于点Β，根据11//ΒΒΑΑ，知1C ΒΒ∠或其补角为直线1ΒC 与1ΑΑ所成的角，再结合题设条件确定π3C ΟΒ∠=
，1C Β=．得出1π
4
C ΒΒ∠=即可． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 由11A B 的长为
π3，可知111
π
3
ΑΟΒ∠=．
11111111111sin 24ΟΑΒS ΟΑΟΒA ΟΒ=⋅⋅∠=△，
1111111V 312
ΟO A B ΑC ΒS h -=⋅=△．
在1C ΒΒ△中，因为1π2ΒΒC ∠=
，1C Β=，11ΒΒ=，所以1π4
C ΒΒ∠=， 从而直线1ΒC 与1ΑΑ所成的角的大小为π
4
．
【考点】几何体的体积、空间角
【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.
32.【2015高考上海理数】（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，
D 2AB =A =，
E 、
F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直
线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.
【答案】15
15arcsin
【解析】解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为()12,0,1A 、
()1C 0,2,1、()2,1,0E 、()F 1,2,0、()C 0,2,0、()1D 0,0,1．
因为()11C 2,2,0A =-，()F 1,1,0E =-， 所以11C //F A E ，因此直线11C A 与F E 共面，
即1A 、1C 、F 、E 共面．
设平面EF C A 11的法向量为(,,)n u y w =，则F n ⊥E ，1FC n ⊥， 又()F 1,1,0E =-，()1FC 1,0,1=-， 故0
0u v u w -+=⎧⎨
-+=⎩
，解得u v w ==．
取1u =，得平面11C F A E 的一个法向量)1,1,1(=．又()1CD 0,2,1=-， 故
11CD 15
CD n n
⋅=-
． 因此直线1CD 与平面FE C A 11所成的角的大小为15
15arcsin ． 【考点定位】空间向量求线面角
【名师点睛】(1)设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos
θ|＝
|a·b|
|a||b|
(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．(2)设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝
|n·e|
|n||e|
.(3) n 1，n 2分别是二面角α ­l ­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．
33.【2015高考上海文数】（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，
C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC
P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.
【答案】10
10
arccos
【解析】因为2=PO ，1=OA ，
所
以
三
棱
锥
A
P -的体积
3
12112131213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆OP CO AO OP S V AOC ．
因为AC OE //，所以异面直线PA 与OE 所成的角就是PA 与AC 的夹角. 在ACP ∆中，2=
AC ，5==CP AP ，
过P 作AC PH ⊥，则2
2
=
AH ， 在AHP Rt ∆中，10
10
cos ==
∠AP AH PAH ， 所以异面直线PA 与OE 所成角的大小10
10
arccos . 【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.
【名师点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
34. 【2013上海,理19】如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝2，AD ＝1，AA ′＝
1.证明直线BC ′平行于平面D ′AC ，并求直线BC ′到平面D ′AC 的距离．
【答案】
23
因为BC '＝(－1,0，－1)，所以n ·BC '＝0，所以n ⊥BC '. 又BC ′不在平面D ′AC 内，所以直线BC ′与平面D ′AC 平行． 由CB ＝(1,0,0)，得点B 到平面D ′AC 的距离d ＝
||
||CB ⋅n n ＝2
3，
所以直线BC ′到平面D ′AC 的距离为
2
3
. 35. 【2013上海,文19】如图，正三棱锥O －ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．
【答案】体积为
3
，表面积为
【解析】由已知条件可知，正三棱锥O －ABC 的底面△ABC 是边长为2的正三角形，
经计算得底面△ABC
所以该三棱锥的体积为113=. 设O ′是正三角形ABC 的中心．
由正三棱锥的性质可知，OO ′垂直于平面ABC .
延长AO ′交BC 于D ，得AD O D '.
又因为OO ′＝1，所以正三棱锥的斜高OD
故侧面积为
12×6×3
＝
36. 【2012上海,理19】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，
E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD =PA ＝2.求：
(1)三角形PCD 的面积；
(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．
【答案】(1) π4
【解析】(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． 从而CD ⊥PD ．
因为PD =
=CD ＝2，
所以三角形PCD 的面积为
1
22
⨯⨯=(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，
则B (2,0,0)，C (2,，E ．
AE ＝，BC ＝(0,．
设AE 与BC 的夹角为θ，
则cos 2AE BC AE BC
θ⋅=
=
=⨯， π
4
θ=
. 由此知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4
. 解法二：取PB 中点F ，连接EF ，AF ，
则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．
在△AEF 中，由EF =，AF =，AE ＝2， 知△AEF 是等腰直角三角形． 所以∠AEF ＝
π4
. 因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是
π4
. 37. 【2011上海,理21】已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．
(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β.求证：
tan βα；
(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为4
3
，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高． 【答案】(1)参考解析; (2) 2 【解析】设正四棱柱的高为h .
(1)证明：连AO 1，∵AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴∠AB 1A 1是AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角，∴∠AB 1A 1＝α.
∵在等腰△AB 1D 1中，AO 1⊥B 1D 1.又A 1C 1⊥B 1D 1，
∴∠AO 1A 1是二面角A －B 1D 1－A 1的一个平面角，∴∠AO 1A 1＝β.
在Rt △AB 1A 1中，111tan AA h A B α=
=；在Rt △AO 1A 1中，1
11
tan AA AO β==.∴
tan βα=.
得u ＝hw ，v ＝hw ，∴n ＝(hw ，hw ，w )． 令w ＝1，得n ＝(h ，h,1)． 由点C 到平面AB 1D 1
的距离为43
AC d ⋅==
=
n n
，
解得高h ＝2.
解法二：连AC ，CB 1，CD 1
.
一方面，111111·2S AB D AO B D =
==
则四面体AB 1D 1C 的体积V =
另一方面，设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，三棱锥C －B 1C 1D 1的体积为V 2，则
121
43
V V V h =-=.
据此，得13h =
，解得高h ＝2. 38. 【2011上海,文20】已知ABCDA 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，高AA 1＝2，求： (1)异面直线BD 与AB 1所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
(2)四面体AB 1D 1C 的体积． 【答案】(1) arccos
10
; (2) 23
【解析】(1)连结BD ，AB 1，B 1D 1，AD 1
.
∵BD ∥B 1D 1，AB 1＝AD 1，
∴∠AB 1D 1为异面直线BD 与AB 1所成角，记为α.
∵2221111111cos 2AB B D AD AB B D α+-=
⋅＝， ∴异面直线BD 与AB 1
所成角的大小为(2)连结AC ，CB 1，CD 1.设正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，三棱锥C ­B 1C 1D 1的体积为V 2，则四面体AB 1D 1C 的体积V ＝V 1－4V 2.
V 1＝2，2111··
2323V ==.∴所求体积42233
V =-=. 39. 【2010上海,理21】(本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分. 如图所示，
为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，
求图中两根直线31B A 与53B A 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）. 【答案】（1）（2）
【解析】(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，
23(0.4)0.48S r ππ=--+，
所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；
(2) 当r =0.3时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-，
35(0.3,0.3,0.6)A B =--，
设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则1335
13352
cos 3||||A B A B A B A B θ⋅=
=⋅，
所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为2
arccos 3
．
【点评】本题以圆柱形灯笼为载体，考查二次函数的实际应用、异面直线所成角的概念与求
法，由此看出，立体几何板块难度比去年有所上升.
40. 【2010上海,文20】如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)； (2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．
【答案】(1) 当半径r ＝0.4(米)时，S max ＝0.48π≈1.51(平方米) ;(2) 参考解析
41. 【2007上海,理16】体积为1的直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，
1AC BC ==，求直线1AB 与平面11BCC B 所成角.
【答案】
42. 【2006上海,理19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ．
（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；
（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）2;（2）a r c cos
4
2
【解析】(1) 在四棱锥P -ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD ,得 ∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO =60°.
在R t △AOB 中BO =AB sin30°=1, 由PO ⊥BO ,
于是, PO =BOtg 60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P -ABCD 的体积V=
3
1
×23×3=2. (2)解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.
在R t △AOB 中OA =3,于是,点A 、B 、D 、P 的坐标分别是A (0,－3,0),
B (1,0,0),D (－1,0,0)P (0,0, 3). E 是PB 的中点,则E (
21,0,23) 于是=(23,0, 2
3),=(0, 3,3).
设与的夹角为θ,有cos θ=
42334
3
4923
=+⋅+,θ=a r c cos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是a r c cos 4
2. 解法二：取AB 的中点F ,连接EF 、DF
.
由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ,
∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角). 在R t △AOB 中AO =AB cos30°=3=OP ,
于是, 在等腰R t △POA 中,PA =6,则EF =
2
6. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE =DF =3.
cos ∠FED =34621=DE EF
=4
2
∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是a r c cos
4
2
. 43. 【2006上海,文19】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

在直三棱柱ABC ABC -中，90,1ABC AB BC ∠===. （1）求异面直线11B C 与AC 所成的角的大小；
（2）若1AC 与平面
ABC S 所成角为45，求三棱锥1A ABC -的体积.
【答案】（1）45°; （2）2
6
(2) ∵AA 1⊥平面ABC,
∠ACA 1是A 1C 与平面ABC 所成的角, ∠ACA =45°. ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=2,
∴AA 1=2.
∴三棱锥A 1-ABC 的体积V=31S △ABC ×AA 1=2
6. 44. 【2005上海,文17】（本题满分12分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D B 1与平面ABCD 所成角的大小为︒60，求异面直线D B 1与MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
【答案】arctan 2
1 【解析】连结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN,
∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.
联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD, ∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的
角, ∴∠B 1DB=60°.
在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215,
又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C,
在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=2
12121=+=BB BC DC C B DC , ∴∠DB 1C=arctan 2
1. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan
21.
三．拔高题组
45. 【2014上海,理19】（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .
【答案】边长为4，体积为
3
． 【解析】
即1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC
∴233BO BD ==， 3PO =112232233
V =⋅⋅⋅⋅= 【考点】图象的翻折，几何体的体积．。