第六讲 同余

第六讲 同余
知识、方法、技能
同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本讲介绍同余的基本概念，剩余类和完全剩余系，同余方程，整数模的阶和中国剩余定理.
Ⅰ.基本概念
定义一：设m 是一个给定的正整数.如果两个整数a 、b 用m 除所得的余数相同，则称a 、b 对模m 同余，记为a ≡b （modm ）；否则，记为a ≡b （modm ）.
例如，15≡7（mod4），－23≡12（mod7）.
同余有如下两种等价定义法：
定义一* 若m|a －b ，则称a 、b 对模m 同余.
定义一**若a =b+mt(t ∈Z)，则称a 、b 对模m 同余.
同余的基本性质：
（1）.|)(mod 0a m m a ⇔≡
（2）))((m od 反身性m a a ≡
))((mod )(mod )(mod )
)((mod )(mod 传递性对称性m c a m c b m b a m a b m b a ≡⇔⎭⎬⎫≡≡≡⇔≡
（3）若则),(m od ),(m od m d c m b a ≡≡
①);(mod m d b c a ±≡±
②).(mod m bd ac ≡
（4）若).(mod ,.,,2,1,0),(mod 0101m b x b x b a x a x a n i m b a n n n n i i +++=+++=≡ 则特别地，设)(mod ),()(01m b a Z a a x a x a x f i n n ≡∈+++=若 ，则).)(mod ()(m b f a f ≡
（5）若).)
,((m od ),(m od c m m b a m bc ac ≡≡则特别地，又若（c,m ）=1，则).(mod m b a ≡ 【证明】因),(|b a c m -这等价于).(),(|),(b a c m c c m m -又因若（a ,b ）=),(d
b d a d ⇒=1
（d ≠0）及b|a c ，且（b,c ）=1,|a b ⇒ 从而有).(|)
,(b a c m m - 这个性质说明同余式两边的同一非零因数，不能像等式那样“约去”，只有当这非零因数与模互质时，才可“约去”.
（6）),(mod m b a ≡而).(m od ),0(|d b a d m d ≡>则
（7）设),(mod m b a ≡
①若c>0，则);(mod mc bc ac ≡
②d 为a 、b 、m 的任一公约数，则).(mod d
m d b d a ≡ （8）若).(m od ,1),()(m od ),(m od 212121m m b a m m m b a m b a ≡=≡≡则且
（9）若).,(),(),(m od m b m a m b a =≡则
Ⅱ.剩余类和完全剩余系
若按对某一模m 的余数进行分类，就可以引入所谓的剩余类和完全剩余系的概念.
定义二：设m ∈N*，把全体整数按其对模m 的余数r （0≤r ≤m －1）归于一类，记为k r ，每一类k r （r=0,1,…,m －1）均称模m 的剩余类（又叫同余类）.同一类中任一数称为该类中另一数的剩余.
剩余类k r 是数集{}{})(m od |,,,|m r a Z a a k Z q r m r qm k r r ≡∈=∈+=且也即是余数是模,它是一个公差为m 的（双边无穷）等差数列.
根据定义，剩余类具有如下性质：
（1）);(,1210j i k k k k k k Z j i m ≠=⋂⋃⋃⋃=-φ而
（2）对任一数n ∈Z ，有惟一的00r k n r ∈使；
（3）对任意的a ,b ∈Z ，a ,b ).(m od m b a k r ≡⇔∈
定义三：设110,,,-m k k k 是模m 的（全部）剩余类.从每个k r 中任取一个数a r ,这m 个数110,,,-m a a a 组成的一个组称为模m 的一个完全剩余系，简称完系.
例如，取m=4，则有{}{} ,9,5,1,3,7,,8,4,0,4,8,10--=--=k k ，k 2={…，－6，－2，2，6，10，…}，k 3={…，－5，－1，3，7，11，…}.数组0，1，2，3；－8，5，2，－1等
等都是模的4的一个完全剩余系.
显然，模m 的完全剩余系有无穷多个.但最常用的是下面两种：
（1）非负数最小完全剩余系：0，1，2，…，m －1；
（2）绝对值最小完全剩余系：它随m 的奇偶性不同而略有区别.
当.),1(,,1,0,1,),1(,,12k k k k k m -----+= 为时（对称式）
当).1(,,1,0,1,),1(,.),1(,1,0,1,),2(),1(,2-----------=k k k k k k k k m 或为时 由定义不难得到如下判别完全剩余系的方法：
定理一：m 个整数m a a a ,,,21 是模m 的一个完系i a j i ,时当≠⇔≡)(mod m a j 定理二：设（b,m ）=1，c 为任意整数.若n a a a ,,,21 为一个完系，则c ba c ba c ba m +++,,,21 也是模m 的一个完全剩余系.
特别地，任意m 个连续整数构成模m 的一个完全剩余系.
【证明】只需证明：当).(mod ,m c ba c ba j i j i +≡+≠时而这可用反证法得证.下略. 设m 为一正整数，由于在0，1，…，m －1中与m 互质的数的个数是由m 惟一确定的一个正整数，因此，可给出如下定义.
定义四：m 为一正整数，把0，1，…，m －1与m 互质的数的个数叫做m 的欧拉函数，记为).(m ϕ
显然，)(m ϕ的定义域是正整数N*，前n 个值为：
,,6)7(,2)6(,4)5(,2)4(,2)3(,1)2(,0)1( =======ϕϕϕϕϕϕϕ当m=p 为质数时，.1)(-=p p ϕ
设k 是模的一个剩余类.若a 、b ∈k ，则).(mod m b a ≡于是由性质9知，（a ,m ）=（b,m ）.因此，若（a ,m ）=1，则k 中的任一数均与m 互质.这样，又可给出如下定义.。