人教版平面向量多选题专项训练单元同步练习试题

人教版平面向量多选题专项训练单元同步练习试题
一、平面向量多选题
1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 答案：BD
【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都
解析：BD
【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确.
【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则
a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a b a b a b a b +=+=++⋅=+， ()222222a b a b a b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确. 故选：BD.
【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
2．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．97,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(7，9)
答案：ABC
【分析】
先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.
【详解】
由点，，则
选项A . ,所以A 选项正确.
选项B. ,所以B 选项正确.
选项C . ,所以C 选
解析：ABC
【分析】
先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.
【详解】
由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，
AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 选项A . 91473023⎛⎫-⨯--
⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭
,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---
⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--
⨯≠ ⎪⎝⎭
,所以选项D 不正确 故选：ABC
【点睛】 本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
3．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A ．()a c b c a b c ⋅-⋅=-⋅
B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直
C ．a b a b -<-
D ．()()22
323294a b a b a b +⋅-=- 答案：ACD
【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，
由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平
解析：ACD
【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；
D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
【详解】
选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；
选项B ，
()()()()
()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；
选项C ，∵a 与b 不共线，
∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；
选项D ，()()22
223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
4．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ）
A ．0PA P
B +=
B ．0PB P
C += C ．PA AB PB +=
D ．0PA PB PC ++= 答案：CD
【分析】
转化为，移项运算即得解
【详解】
由题意：
故
即
,
故选：CD
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
解析：CD
【分析】
转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解
【详解】
由题意：3AB AC AP +=
故())(AB AP AC AP AP +=--
即PB PC AP +=
0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=
故选：CD
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A ．10,45,70b A C ==︒=︒
B ．45,48,60b c B ===︒
C ．14,16,45a b A ===︒
D ．7,5,80a b A ===︒
答案：BC
【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两
解析：BC
【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项B
中：因为csin sin 115
B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解； 对于选项C
中：因为sin sin 17
b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A B a =
<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC .
【点睛】
本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =
，b =30A =︒，则B =（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．135︒
D ．150︒
答案：BC
【分析】
用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.
【详解】
解：根据正弦定理得： ，
由于，所以或.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
解析：BC
【分析】
用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项.
【详解】 解：根据正弦定理sin sin a b A B =得：
1sin 2sin 12
b A B a ===，
由于1b a =
>=，所以45B =或135B =.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形
C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形
答案：AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.
【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；
对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=
所以A B =或2A B π
+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，
因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2
A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为222
0a b c +->，所以222
cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
8．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ）
A ．1122AD A
B A
C =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA B
D =+ D ．1233
CM CA CD =+
答案：ABD
【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.
【详解】
解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.
对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确；
对于B 选项，，由于为三
解析：ABD
【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.
【详解】
解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.
对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，
2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确； 对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+
=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()
22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+
=+-=+，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.
9．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -=
B ．1()2AD AB A
C =+ C ．8BA BC ⋅=
D ．AB AC AB AC +=-
答案：BC
【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.
【详解】
对于A 选项：，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；
对于C 选项：，故正确；
对于D 选项：，而，故
解析：BC
【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.
【详解】
对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，
()
111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确； 对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；
对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC.
【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.
10．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）
A ．
B ．23
C ．23-
D 答案：AD
【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.
【详解】
由正弦定理，可得，
，则，所以，为锐角或钝角.
因此，.
故选：AD.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD
【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值.
【详解】 由正弦定理sin sin b a B A =，可得120sin 22sin 153
b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos B ==. 故选：AD.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
11．给出下列命题正确的是（ ）
A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量
B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同
C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 答案：C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；
对B ，两边平方化简；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 解析：C 【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；
对B ，两边平方化简a b a b +=+；
对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，
则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.
故选：C
【点睛】
本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
12．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa
b B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-
答案：AB 【分析】 根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：AB
【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A 选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.
故选：AB.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
13．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）
A ．00a ⋅=
B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
C ．0a b a b ⋅=⇒⊥
D ．()()
22
b b a b a a +-=⋅-
答案：AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项，，A 选项错误；
对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误； 对于C 选项，
解析：AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；
对于B 选项，()
a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()
a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；
对于D 选项，(
)()
2
2
22a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
14．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
答案：CD 【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD
【点睛】
解析：CD 【分析】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.
由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()
2
2
2
21243a b
a a
b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；
由()()2
144440a b b a b b
+⋅=⋅+=⨯-+=，所以()
4a b b +⊥，故C 正确.
故选：CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
15．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A ．A
B D
C =
B ．AB D
C =
C ．AB DC >
D ．BC AD ∥
答案：BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故
解析：BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；
AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；
等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】
本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2
26,c a b =-+3
C π
=
，则
ABC 的面积为（ ）
A ．6
B ．
2
C ．
D 解析：B 【分析】
由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】
由条件可知：22226c a b ab =+-+，①
由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，
则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=
. 故选：B 【点睛】
本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 17．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则
ABC ∆为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：B 【解析】 【分析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误； ②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确； ③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即()0CB AB AC ⋅+=；
又因为AB AC CB -=， 所以()()0AB AC AB AC -⋅+=， 即||||AB AC =，
所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；
④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形
解析：A 【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】
cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即
()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，
0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，
0B π<<，所以，2
B π
=，因此，ABC 是直角三角形.
故选：A. 【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
19．在ABC 中，()
2
BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
解析：D 【分析】
先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】
因为()()()
2
22BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以
222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.
【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．
20．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2
cos 3
A =
，则b= A ．2 B ．3
C ．2
D ．3
解析：D 【详解】 由余弦定理得，
解得（
舍去），故选D.
【考点】 余弦定理 【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
21．已知向量(2
2cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 解析：D 【详解】
()22cos 32cos 23212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=时,sin(2)sin
16
3
x π
π
+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π
=
对称； 当512x π=
时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π
对称； f (x )得周期22
T π
π=
=， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数．
本题选择D 选项.
22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ） A ．
35 B ．
107
C ．
57
D
．
14
解析：C 【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出． 【详解】 解：
3
cos 5
A =，(0,180)A ∈︒︒．
∴4sin 5
A =，
34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=
．
sin C ∴= 由正弦定理可得：
sin sin b c
B C
=，
∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A
．B
．
C ．12
D
．解析：A 【分析】
由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值 【详解】
由题意，可得如下示意图
令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33
b CM CB =
= ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠
2221216()332333
a a
b ab ab ab
b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立
∴有48ab ≤
∴113sin 4812322ABC S ab C ∆=≤⨯=故选：A 【点睛】
本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 24．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23
-
C ．13
- D ．34
-
解析：B 【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】
13BE AE AB AD AB =-=
-，1
()2
AD AB AC =+ ， 51
66
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，
56λ∴=-，1
6μ=，23
λμ∴+=-.
故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
25．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为
1S ，ABC 的面积为2S ，则
1
2
S S = A ．310 B ．38
C ．
25
D ．
421
解析：A 【解析】
∵2350OA OB OC ++=，∴()()
23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且
32
OM ON
=
， ∴3
613
225
54
10
OAC
OMC
CMN
ABC ABC S
S
S
S S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310
S S =．选A ． 26．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定 D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
解析：B 【分析】
2
2
22
||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令2
22
()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a
θ
⋅==
时，222min 2
44()()14a b a b f t a
-⋅==，即222
||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】
2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，
所以当2cos b a b t a a
θ
⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1，
所以2
||b ta -的最小值也为1，即222
min
2
44()()14a b a b f t a
-⋅==，222||cos 1b b θ-=，
所以22
||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ
=，故若θ确定，则||b →
唯一确定. 故选：B 【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.
27．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
解析：A 【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误； 对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
28．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若
2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）
A ．5
B ．
C ．4
D ．16
解析：C 【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,再根据面积公式可求得6(2bc =,
再代入余弦定理求解即可.
【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4
A π
=
.
∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===-, ∴bc
=6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=+
+4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 29．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析：A 【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】
ABC ∆中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，
整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，
cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<<
90A ∴=︒，
则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
30．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪
⎝⎭
且
1
2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．以上均有可能
解析：C 【分析】
AB AB 和AC AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由
12
AB AC AB AC ⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。

【详解】 由题的，∵0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又
12AB AC AB AC ⋅=，∴1cos 2A =，∴3A π=，故ABC 为等边三角形. 故选：C
【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。