2022高考数学一轮复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和时作业含解析新人教B版

等比数列及其前n 项和
课时作业
1．(2022·江西新余模拟)等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，那么a 3a 4a 5＝( ) A ．±64 B ．64 C ．32 D ．16
答案 B
解析 因为a 2＝2，a 6＝8，所以由等比数列的性质可知a 2·a 6＝a 2
4＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 3
4＝64.应选B.
2．(2022·吉林调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝3，a 4＝24，那么S 6＝( ) A ．93 B ．189 C ．99 D ．195
答案 B
解析 ∵a 4＝a 1q 3
＝3q 3
＝24，∴q ＝2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q
＝189.应选B.
3．(2022·太原模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7
＋a 8＝2，S m ＝15，那么m 为( )
A ．12
B ．14
C ．15
D ．16
答案 D 解析
a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4
＝q 4
＝2，
由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，得a 1·1－q
4
1－q
＝1，
∴a 1＝q －1，又S m ＝15，即a 1(1－q m )
1－q
＝15，
∴q m
＝16，∵q 4
＝2，∴m ＝16.应选D.
4．(2022·厦门模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＝2n ＋1
＋λ，那么λ＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
答案 A
解析 依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，
a 3＝S 3－S 2＝8，
因为{a n }是等比数列，所以a 2
2＝a 1·a 3， 所以8(4＋λ)＝42
，解得λ＝－2.应选A.
5．(2022·昆明一中模考)数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，假设a 2＋
a 5＝18，a 3a 4＝32，那么S 5的值是( )
A ．62
B ．48
C ．36
D ．31
答案 A
解析 由a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，得a 2＝16，a 5＝2或a 2＝2，a 5＝16(不符合题意，舍去)，
设数列{a n }的公比为q ，那么a 1＝32，q ＝12，所以S 5＝32×⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－1
2
＝62，选A.
6．(2022·长沙一模)设首项为1，公比为2
3的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，那么( )
A ．S n ＝2a n －1
B ．S n ＝3a n －2
C ．S n ＝4－3a n
D ．S n ＝3－2a n
答案 D
解析 因为a 1＝1，公比q ＝23，所以a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1
，
S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝3－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1
＝3－2a n ，应选D.
7．(2022·山西临汾模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，那么a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5
答案 C
解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1
，那么a n ＝
5·2
n －1
－12，a n ＝5·2n －2
－12
. a 6＝5×24－1
2
＝5×16－12
＝80－12
＝79.5.
8．(2022·江西九校联考)在等比数列{a n }中，假设a 2a 5＝－34，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，那么
1
a 2
＋1a 3＋1a 4＋1
a 5
＝( )
A ．1
B ．－34
C ．－53
D.43
答案 C
解析 因为数列{a n }是等比数列，a 2a 5＝－34＝a 3a 4，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，所以1a 2＋1a 3＋1a 4＋
1
a 5
＝a 2＋a 5a 2a 5＋a 3＋a 4a 3a 4＝5
4－34
＝－53
.应选C. 9．(2022·昆明模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，假设S 4S 2＝3，那么S 6S 4
＝( ) A ．2 B.73 C.310
D ．1或2
答案 B
解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴
S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝7
3
.应选B.
10．(2022·延庆模拟)等差数列{a n }的公差为2，假设a 2，a 4，a 8成等比数列，那么{a n }的前n 项和S n ＝( )
A ．n (n ＋1)
B ．n (n －1) C.
n (n ＋1)
2
D.
n (n －1)
2
答案 A
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2，a 4，a 8成等比数列， ∴a 2
4＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 将d ＝2代入上式，解得a 1＝2， ∴S n ＝2n ＋
n (n －1)·2
2
＝n (n ＋1)．应选A.
11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 8＝2a 4，S 4＝4，那么S 8的值为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．12
答案 D
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1.因为a 8＝2a 4，S 4＝4，所以
⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1q 7
a 1q 3
＝2，a 1
(1－q 4
)1－q ＝4，
解得q 4
＝2，a 1＝－4(1－q )，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝－4(1－q )(1－22)
1－q
＝
12.应选D.
12．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *
)，a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，那么m 的值为( )
A ．4
B ．7
C ．10
D ．12
答案 A
解析 因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，那么a 2
m －2a m ＝0，所以a m ＝2.由等比数列的性质可知前2m －1项积T 2m －1＝a 2m －1
m
，即2
2m －1
＝128，故m ＝4.应选A.
13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 3＋3S 2＝0，那么公比q ＝________. 答案 －2
解析 S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2
＝0，即q 2
＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2.
14．(2022·福州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，那么S 4＝________.
答案 66
解析 依题意有a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差，得a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×(1－33
)
1－3＝
66.
15．等比数列{a n }为递增数列，且a 2
5＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，那么数列{a n }的通项公式为
a n ＝________.
答案 2n
解析 设等比数列{a n }的公比为q .
∵a 2
5＝a 10，∴(a 1q 4)2
＝a 1q 9
，∴a 1＝q ，∴a n ＝q n
. ∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n (1＋q 2
)＝5a n q ，
∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12
(舍去)．∴a n ＝2n
.
16．(2022·启东模拟)等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，那么使不等式⎝
⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫a 2－1a
2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是________．
答案 5
解析 设公比为q ，由a 2>a 3＝1知0<q <1，a n ＝q
n －3
，∴不等式的左端＝q －2(1－q n )
1－q
－
q 2(1－q －n )1－q －1＝1－q n
(1－q )q
2·(1－q 5－n
)≥0，∵0<q <1，∴n ≤5. 17．(2022·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 解 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，
所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2
＝(a 2＋10)(a 4＋6)． 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )．解得d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.
那么当n ≥7时，a n >0；当n ≤6时，a n ≤0. 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.
18．(2022·柳州模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N *
)． (1)证明：{a n ＋2}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和，假设T n <a 对任意正整数
n 都成立，求a 的取值范围．
解 (1)证明：因为S n ＝2a n －2n (n ∈N *
)，① 所以a 1＝S 1＝2a 1－2，
得a 1＝2.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)．②
由①②两式相减得a n ＝2a n －1＋2，变形得a n ＋2＝2(a n －1＋2)．
又因为a 1＋2＝4，所以{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝4×2
n －
1
，所以a n ＝4×2
n －1
－2＝2
n ＋1
－2(n ≥2)．
又a 1＝2也符合上述表达式，所以a n ＝2n ＋1
－2(n ∈N *
)．
(2)因为b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1
＝n ＋1，
1
b n b n ＋1
＝
1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1
n ＋2
，
所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2<12，依题意得a ≥12，即a 的取值
范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 19．(2022·山东省实验中学模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝2a 2－2，
S 3＝a 4－2.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n
a n
，求{b n }的前n 项和T n .
解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2＝2a 2－2，①
S 3＝a 4－2，②
所以由①②两式相减得a 3＝a 4－2a 2，即q 2
－q －2＝0. 又因为q >0，所以q ＝2.
又因为S 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 1q ＝2a 1q －2， 代入q ＝2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n
. (2)由(1)得b n ＝n
2
n ，
所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n
2
n ，①
将①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n
2
n ＋1，②
由①②两式错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
－n 2n ＋1＝1－1
2
n －
n
2
n ＋1
，
整理得T n ＝2－
n ＋2
2
n
.
20．(2022·正定模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)假设对任意n ∈N *
，k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值． 解 (1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3.② 由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0(n ≥2)， 所以
a n ＋1a n ＝1
3
(n ≥2)． 因为a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13，所以a 2a 1＝1
3.
所以数列{a n }是首项为1，公比为1
3
的等比数列．
所以a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n －1
.
(2)由(1)知S n ＝32⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .
由题意，可知对于任意n ∈N *
，恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 成立．
因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 为递增数列，所以数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 中的最小项为23，所以k ≤32×23＝1，
故实数k 的最大值为1.。