高数(一)试题(2)参考答案

高等数学（一）（第三章练习题）参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0
x ,x sin 0x ,
x ，则)0(f '=（ ）
A.-1
B.1
C.0
D.不存在
解：()1,0
cos ,0
x f x x x >⎧'=⎨
<⎩ ()()01,0c o s 01f f +-''∴==
= ()01f '∴=
2.设函数f(x)在点a 可导，且1h 2)
h 5a (f )h 5a (f lim 0h =--+→，则=')a (f （ ）
A.
5
1
B.5
C.2
D.
2
1 解：由已知得：
()1012
f a '= ()1
5f a '∴= 3.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =∆时，对应函数增量y ∆的线性主部为-0.6，则x 0=（ ） A.0
B.1
C.-0.5
D.-4
解：因为函数增量y ∆的线性主部为该点的微分，0.6dy ∴=- 而04dy x dx = 00.640.
3x ∴-=⨯ 00.6
0.51.2
x -==- 4.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则
需求量对价格的弹性=EP
EQ
（ ）
A.bp a b --
B. bp a b
- C. bp a bp -- D. bp a bp -
解：()()EQ P P P bP
Q a bP b EP Q a bP a bP a bP
''=-=--=--=---
5．函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充分必要条件
D ．既非充分条件又非必要条件
解：因为：可导⇒连续，所以函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的必要条件
6.设函数f(x)在x=a 处可导，则f(x)在x=a 处（ ） A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 解：因为：可导⇔可微；所以：f(x)在x=a 处可微
7.设函数(x)(x),a)-(x f (x)ϕϕ=在x=a 处可导，则（ ） A.)x ()x (f ϕ=' B.)a ()a (f ϕ'=' C.)a ()a (f ϕ=' D.)a x ()x ()x (f -+ϕ=' 解：()()()()()()()()f x x a x x a x x x a x ϕϕϕϕ''''=-+-=+-
()()()()()f a a a a a a ϕϕϕ''=+-= 8.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx
D.tanx dx
解：()()11
ln sin sin cos cot sin sin y x x x x x x
'''==
=
⋅= c o t d y y
d x x d x '== 9.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)=
=0x （ ）
A.0
B.1
C.lna
D.(lna)n
解：()()()()()
()223ln ;ln ln ;ln ln x
x
x x x x y a a
a y a a a a y a a a a '''''''''======
()
()()
()(
)00
l n ,l n l n n
n
n
n n x x y
a a y a a a =∴=∴==
10.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)
是（ ）
A.
x )x (C B.0
x x x )x (C = C.dx
)
x (dC D.0
x x dx )x (dC =
解：因为：总成本变化率=边际成本=该点的导数，所以答案为D 11.设函数y=f(x)在点x 0可导，且,a )x (f 0='则 =∆-∆-→∆x
)
x (f )x 2x (f lim 000x （ ）
A.a
B.2a
C.-2a
D.-
2
a 解：由已知得： ()0000
(2)()
lim
22x f x x f x f x a x
∆→-∆-'==∆
12.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（ ） A.4
B.8
C.0.5
D.0.125
解：因为函数增量y ∆的线性主部为该点的微分，2dy ∴= 而0.25d x x =∆=
()()()0002
,20.25,80.25
d y f x d x f x f x '''∴=∴=⨯
∴== 13.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EP
ES
（ ） A.bp
a bp
+
B.bp a b
+ C.bp
a bp +- D.
bp
a b
+- 解：
()ES P P P bP
S a bP b EP S a bP a bP a bP
''==+=⋅=+++ 14．设D=D （p ）是市场对某一商品的需求函数，其中p 是商品价格，D 是市场需求量，则需求价格弹性是（ ）
A ．
)p ('D p D - B ．)p ('D D p - C ．)D ('p p
D
-
D ．)D ('p D
p
-
解：
()ED p p
D D p Ep D D
''=-=- 15．设△y=f(x 0+△x)-f(x 0)且函数f(x)在x=x 0处可导，则必有（ ） A ．0
x lim →∆△y=0 B ．△y=0 C ．dy=0 D ．△y=dy
解：因为可导必定连续，而0
x lim →∆△y=0是连续的定义，因此为A
16．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（ ） A ．
00x )x (L B ．dx
)
x (dL C ．0
x x dx )x (dL =
D ．
)dx
)
x (L (dx d 解：因为：总利润变化率=边际利润=该点的导数，所以答案为C 17．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16! B ．15! C ．14! D ．0
解：()
()
()121n n
x
n n =⨯-⨯ ；()()()()1516151421,0f x f x ∴=⨯⨯⨯⨯∴=
18.设f (x )为可微函数，且n 为自然数，则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-∞→)n x (f )x (f 1lim n =（ ）
A.0
B.)x (f '
C.-)x (f '
D.不存在
解：()()n 1lim ()()0f x f x f x f x n →∞⎡
⎤-+=-=⎢⎥⎣⎦
19.设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y '=（ ） A.)x (f ' B.)x (f -' C.-)x (f '
D.-)x (f -'
解：()()()()y f x f x x f x '''''=-=--=--⎡⎤⎣⎦
20.设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ） A.0.25 B.-0.25 C.100 D.-100
解：
()()22
1021024751047510p p ED p p
D p Ep D p p p p
+'=-=---=---- 当5p =时，
()5510251
0.2547510554
ED Ep ⨯+⨯===-⨯- 21已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（ ）
A ．5
B ．3
C ．3.5
D ．1.5
解：因为：边际成本=该点的导数 而(
)2302C Q '=+=+
100Q =时， (
)10022 1.5 3.5C '==+= 22.设f(x)=⎩
⎨⎧<≥+0x ,x 0
x ),x 1ln(, 则=')0(f （ ）
A.0
B.1
C.-1
D.不存在
解：()1
,011,0x f x x x ⎧>⎪
'=+⎨⎪<⎩
()()
()101,01;01
10f f f +-'''∴===∴=
+ 23.设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（ ）
A.)p (S S p '-
B. )p (S S p
' C. )p (S p '
D.
)p (S S
1
' 解：
()ES p p
S S p Ep S S
''== 24.设f (x )=x |x |，则f ′(0)=( ) A.1 B.-1 C.0
D.不存在
解：()22,0
,0
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ ()2,02,0x x f x x x -<⎧'∴=⎨>⎩，
()()()00,00;00
f f f -+'''∴==∴=
25.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5
p
，则需求价格弹性函数为( ) A.
250-p p B.p p -250 C.5
1
p p -250
D.5
1
250-p p
解：15055250505055
ED p p p p p
D p p Ep D p '⎛⎫⎛⎫'=-=--=--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭-- 26.设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012
x 2
++，则生产6个单位产品时的边际成本是（ ）
A.6
B.20
C.21
D.22
解：因为：总成本变化率=边际成本=该点的导数；()21
2020126
C x x x '∴=+=+ 6x =时， ()1
6620216
C '=
⨯+=
27．设函数y =150-2x 2,则其弹性函数Ex
Ey
=（ ） A ．
2
21504x
- B ．
2
21504x
x - C ．
150
242
-x x D ．
150
242
2-x x
解：()()22222
415024150215022150
Ey x x x x y x x Ex y x x x ''==-=-=--- 28.设f (x )=2x ,则f ″(x )=（ ）
A.2x ·ln 22
B.2x ·ln4
C.2x ·2
D.2x ·4
解：()(
)()()()
222ln 2;2ln 22ln 2x
x x x f x f x '''''====
29．设f (x )=arccos(x 2)，则f ＇(x )=（ ） A ．2
11x
--
B ．2
12x
x --
C ．4
11x
--
D ．4
12x
x --
解：()
)2
f x x ''==
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________. 解：001,1,x y == ()1
1
1ln 1;121
x y x x k y x ='''=+=+∴==+= 切线：()121,210y x x y -=-∴--= 2.设函数y =ln x ,则它的弹性函数
Ex
Ey
=_____________. 解：
()11ln ln ln ln Ey x x x y x Ex y x x x x
''===⋅= 3.函数f(x)在点x 0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x 0可导的___________条件. 解：充分必要
4．设某商品的市场需求函数为D=1-
7
P
，P 为商品价格，则需求价格弹性函数为 . 解：117771177
ED p p p p p D p p Ep D p
'⎛⎫⎛⎫'=-=--=--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-- 5．设y=2
x 2e x ，则y ''(0)= . 解：()()2
2
2222
2
2232222x x
x x x x y x
e
x e xe x e x xe x e '
''=+=+⋅=+
()()()()22
2
2
2
22
3
3
2422222104x x x x x x x y x e
x e x e
x e
e
x e x e '
'
''''=+++=++
()002002
y e ''=++= 6. 已知某商品的产量为q 件时总成本为C （q ）=100q+160
q 2(百元)，则q=500件时的边际成
本为___________.
解：因为：边际成本=该点的导数， ()10080q C q '=+ ()500
500100106.2580
C '∴=+
= 7.设f(x)在x=a 处可导，则=--→h
)
a (f )h 2a (f lim 0h ___________.
解：()0
(2)()
lim
2h f a h f a f a h
→--'=-
8.曲线y=sinx 在点π=3
2
x 处的切线方程为___________.
解：()0023
2221
,sin sin cos ,cos
3332
x x y y x x k y ππππ=
'''=
====∴===- 切线
121223
232y x y x π
π⎛⎫
∴-
=--∴=-++ ⎪
⎝⎭
9．若f(x)在x=x 0处可导，且.__________)x ('f ,3h
)
h 5x (f )x (f lim
0000h ==+-→则
解：由已知得：()()003
53,5
f x f x ''-=∴=- 10. 设f(x)=⎩⎨⎧≥<-1|x |,
01
|x |,x 12,则'-f (1)=_____.
解：()2,11
0,1
x x f x x --<<⎧⎪'=⎨
>⎪⎩ ()1212f -'=-⨯=-
11.设y=cos 2x 1+，则'y =_____.
解：(
)2
1y x '
'
''==-=-+
sin 2x =-=
12.已知某产品的产量为g 时，总成本是C(g)=9+800
g 2
，则生产100件产品时的边际成本
MC|g=100=_____. 解：()()100
21001
0,100800400
4004
g g g
C g MC C =''=+
=∴==
=
13.设⎩⎨⎧>≤-=0
x ,x 0
x ,e 1)x (f 2x ，则-
'f (0)=___________。

解：(),0
2,0
x e x f x x x ⎧-<'=⎨>⎩ ()001f e -'∴=-=-
14.设y=f(secx),f ′(x)=x ，则
4
x dx
dy π==___________。

解：()()2
211
,sec sec 2
2
f x xdx x c y f x x c ==+∴==
+⎰
()212s e c s e c s e c s e c t a n s e c t a n
2dy y x x x x x x x dx ''∴
==⋅⋅=⋅⋅=⋅
22
4
1s e c t a n 12442x dy dx πππ==⋅=⨯=⎛ ⎝⎭
15．设f(x)=,0x ,
00x ,1x 1⎩⎨⎧
≤>-+则='+
)0(f _____。

解：(
)00,0
x f x x >'=<⎩
(
)102f +'=
= 16．设
y=x
ln x
2,则y '=_______。

解：()()()ln ln ln ln 22
ln ln ln 122ln 22ln 22ln 2ln ln ln x x x x x x x x
x x x x x x y x x x ''''⎛⎫--⎛⎫'==⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
17．曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程是_____。

解：()0000
0,1,,1x
x
x x y y e e k y e ='''
====∴===
切线：()10,1y x x y x -=-∴=+
18．设某商品的需求量Q 对价格P 的函数关系为Q=75-P 2，则P=4时的边际需求为_____。

解：边际需求=该点的导数，因此：(
)2
752,4;248Q p p p Q '''=-=-==-⨯=-
19.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=-00012
x ,
x ,x
e )x (
f x ，则)(f 0'=___________。

解：()()()()2
22
2200001010lim lim lim lim 02x
x x x x x x e e x f x f e x f x x x x
---→→→→-'----'====-
2
20002lim lim 12x x x x e x
e e x
--→→====
20.设f (x )=x
x 2
-，则)(f 1'=___________ 解：
()2,22,2x
x x
f x x x x
-⎧<⎪⎪=⎨
-⎪>⎪⎩
()()22
22222,1,121x x f x f x x x ''-⎛⎫⎛⎫''<==-=-∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21.设某商品市场需求量D 对价格p 的函数关系为D (p )=1600p
⎪⎭
⎫
⎝⎛41，则需求价格弹性是
___________。

解：1111600ln ln ln 4444116004p
p
ED p p
D p p Ep D
⎛⎫
'=-=-
⋅=-= ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪
⎝⎭
22.已知某工厂生产x 个单位产品的总成本函数C(x)=1100+
2x 1200
1
，则生产900个单位产品时的边际成本是___________.
解：边际成本=该点的导数 ()()1900
0,900 1.5
600600600
x C x x C ''=+
=∴== 23.设直线l 与x 轴平行，且与曲线y=x-lnx 相切，则切点是___________. 解：直线l 与x 轴平行，0k ∴=， 设切点()00,x y 0
00
1
11
1,1,10x x y k y x
x x =''=-
∴==-
∴-= 00001,ln 1ln11x y x x ∴==-=-= 则切点是()1,1
24．设某商品市场需求函数为2
10p
D -
=，则p =3时的需求价格弹性是______________. 解：
133
,3;22020317102
ED p p p ED D p p Ep D p Ep ⎛⎫'=-=--==== ⎪--⎝
⎭- 25.已知某商品的成本函数为C(q )=20 -10q+q 2(万元),则q =15 时的边际成本为___________. 解：边际成本=该点的导数
()()0102210,15;152151020C q q q q C ''=-+=-==⨯-=
26.设2)x 2(f x lim 0x =→, 则=→x
)
x 4(f lim 0x ___________.
解：2)
x 2(f x
lim
0x =→ 设：2,0,0x t x t =→→
()()0
0022(4)
lim
lim 2lim 2122
x t t f t f t f x t x t
→→→===⨯= 27.设1)1(f =' 则⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--∞→)1(f )x 11(f x lim x =___________.
解：设
11
,,,0t x x t x t
=∴=→∞→ ()()()()
()00111
1
lim (1)(1)lim 11lim 11x t t f t f x f f f t f f x t t
→∞→→--⎡⎤'--=--==-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
28．设f ′(0)=1，则=--→t
t f t f x 2)
()3(lim
_______.
解：()0
(3)()
lim
202122t f t f t f t
→--'==⨯=
29.曲线y=cos 4x 在x=
4
π
处的切线方程是___________.
解：()4
433001,cos ,4cos cos 4cos sin 444x y y x x x x ππ''=====⋅=-⋅⎝⎭
3
34
4cos sin 414422x k y π
ππ=
⎛'
==-=-⨯⨯=- ⎝⎭
切线：111,4444y x y x ππ⎛
⎫-
=-⨯-∴=-++ ⎪⎝
⎭ 30.设函数f (x )=⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+000)
1ln(2x x x
x ，则f '(0)=___________. 解：()()()
()()222
000
ln 1ln 100lim
lim lim
10
x x x x x f x f x
f x x
x →→→++-'====-
31.设y =x sin x ，则y ''=___________.
解：()sin sin sin cos y x x x x x x x '''=+=+
()()()s i n c o s c o s c o s
c o s s
i n 2c o s s i n
y x x x
x
x
x x x x x x x '''''=++=++-=- 32．已知函数y =3
e x ，则其弹性函数
Ex
Ey
=________. 解：()3332333x x Ey x x y e x x x x Ex y e
'
'===⋅=
33．设函数f (x )=sin x +e -x ，则f ＂(x )=________. 解：()()()sin cos x
x
f x x e x e --'''=+=-
()()()
cos sin x x f x x e x e --''''=-=-+
34.抛物线y = x 2上点(2,4)处的切线方程是___________. 解：002
2,4,24x x y y x k y =''
===∴==
切线：()442,44y x y x -=-∴=-
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 1.设y=x 5x ，求dy.
解：两边取对数：5ln ln 5ln x y x x x ==
两边对x 求导：()()()ln 5ln 5ln y x x x x '''=+ 11
5ln 55ln 5y x x x y x
'=+⋅=+ ()()55l n 55l n 1x
y x y x x '∴=+=+
2．设y=
x arctan x
1x
22
++，求y '. 解：()()()()
()()()
2222
2
2
22212121221
arctan 111x x x x x x x
y x x
x x '
'+-++-⋅''=
+=
+
+++ ()()()
2
2
2
2
2
2
2222213111x x x x x x -+-=
+
=
+++
3.设x
cos x sin x
cos x sin y +-=
，求y ′
解：()()()()()
2
sin cos sin sin cos sin cos sin cos x x x cosx x x x x y x x ''-+--+'=+ ()()()()
()
2
cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x ++---=
+
()()()
()
22
22222
2
sin cos cos sin sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x
x x x x ++-+++-+==
++ ()
2
2
sin cos x x =
+
4.设).1(y ,x y x
1'=求
解：两边取对数：11ln ln ln ln x
x y x x x x
==
= 两边对x 求导：()()2
22
1
ln 1
ln ln 1ln ln x x x x x x x x y x x x ⋅-⋅''
-⋅-'=
==
1
22
1ln 1ln x x x y y x x x
--'==⋅ ()21l n 11111y -'∴=⨯= 5.设y=
.y ,x
11
)5(求+ 解：()1
1y x -=+ ()2
11y x -'=-+ ()()()3
3
12121y x x --''=-⨯-+=+
()()()4
4
23161y x x --'''=⨯-+=-+ ()()()()5
5
4641241y x x --=--+=+
()
()()()()
66
56
120
245112011y
x x x --=⨯-⨯+=-+=-
+
6．设y='.113
3
3
y x x
求-+
解：两边取对数：()()33
11ln ln 1ln 133
y x x ==+-- 两边对x 求导：
()()()()()333333111111ln ln 1ln 111333131y x x x x x x
'''''⎡⎤⎡⎤=
+--=⋅+-⋅-⎣⎦⎣⎦+- ()()
()2222
333311133113131x x y x x y x x x x '=⋅-⋅-=++-+- ()()()()
232326*********x x x x x y y x x x -++'==-+-
22662211x x y y x x '∴==--
7．设y=arctane x
-ln
.y ,e
1e x
2x '+求
解：arctan ln arctan ln x x x x y e e e e ⎡=--=-+⎣
()1
arctan ln 12
x
x y e x e =-+
+ ()
()()()()()2222221
111112211211x
x
x x x x x x e y e x e e x e e e e '''''=-+⋅+=-+⋅++++ ()22222221111111
x x x x x
x x x x
x e e e e e e e e e e -++-=-+==++++ 8.设y ,x x 232
1
x arcsin
y 2'-+--=求
解：)21322x y x x '-⎛
⎫''=+- ⎪⎝⎭
()
112222x x -=
-=
11x --=
=
=
9．设y=x
cos arc e )x 1(ln x
-,求0x |y ='。

解：()()1111ln 1ln arccos ln 1ln ln arccos 2222x x y x e x x e x ⎡⎤=--=-+-⎣⎦ ()111
l n 1l n a r c c o s 222
y x x x =-+-
()()[]()()111111
11
l n 1l n a r c c o s 1a r c c o s
2222122a r c c o s
y x x x x
x x
x ''''''=
-+-=-+-⎡⎤⎣⎦- (
)1112122a r c c y x x '=-
++-
()()1111
1021022a r c c o s 02
2
y ππ
'=-
++=
=-⨯
10．设.y ,x
x
y x 4
tan π=
'=
求
解：()22
2
tan tan sec tan x x x x x x x y x x ''-⋅⋅-'==
()2
2
2
2
224
2
sec tan
21
8221644
44
2
216
16
4x y πππ
π
π
πππππ
ππ
π=
-⋅
-⨯
---'
=
=
=
=
⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭
11．设x
arctan e y =求y '
解：(
2
1
11e y e
e
x '
'
'=⋅=⋅⋅
==
++
12．设2
tan
ln x
y =，求y ′. 解：2cos 111112tan 222sin tan sin cos sin cos
22222
x x x y x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13.设y = xarctanx-ln 2x 1+，求y ''(1) 解：(
)arctan arctan y x x x x '
'''=+
)22
1arctan 11y x x x x ''=+⋅
++ ()2222
1arctan 2arctan arctan 11121x x x y x x x x x x x
x '=+
-⋅=+-=++++ 14．设',)(ln y x y x 求=
解：两边取对数：()()ln ln ln ln ln x
y x x x == 两边对x 求导：()()[]ln ln ln ln ln y x x x x '''=+
()()()()1111l n l n l n l n l n l n l n l n l n l n x y x x x x x y x x x x
''=+⋅=+⋅=+
()()()11ln ln ln ln ln x
y x y x x x x
⎡
⎤⎡⎤'∴=+=+⋅⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
15.设y=ln(arctan(1-x)), 求y '. 解
()()()()()()()
221111arctan 11arctan 1arctan 1arctan 12211y x x x x x x x x -'''=
-=⋅⋅-=⎡⎤⎣⎦----++-16．设y=x
arc e cot -，求y ′.
解：
2
1
11arc arc arc e y e
arc e x ---'
'⎡'=-=⋅
=⎣++
17．设y=x ln 12+，求y '.
解(
)2
11ln 2ln ln y x x x x '''⎡⎤=
+=⋅=
=
⎣⎦
18.设y =5ln tan x ，求y '. 解：()()ln tan ln tan ln tan 21cos 15
ln 5ln tan 5ln 5tan 5ln 5tan sin cos x
x x x y x x x x x
'''=⋅=⋅=⋅⋅ l n t a n
5l n 5
s i n c o s
x y x x '∴=
19.求函数f(x)=x x
2sin e +x arctan x 的导数.
解：()()(
)
(2
2
2
2
sin sin sin x
x e x e x f x x x x ''⎡⎤-'⎣⎦
''=
+⋅
22
4sin 2sin cos 1sin 1x x e x e x x x x -'
=+⋅
+
24
sin sin 2sin x x e x e x x -=+ 20．求a 的值，使得函数f (x )=⎪⎩⎪
⎨⎧=≠--111)
1(3sin x a x x x 在x =1处连续.
解：()1f a = ()()1,10,sin3131x x x x →∴-→∴-- ()()()1
11sin 3131lim lim
lim 311
x x x x x f x x x →→→--∴===--
x =1处连续. ()()1
lim 1x f x f →∴= 3a ∴=
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1．设y=lntanx+ln(e x+)
e
1x2
+，求y'.
解：(
)
1
tan tan x
y x e x '
' '=
)2
2
c o s1
1
s i n c o s
x x
x
e e
x x
⎛⎫'
=⋅+⎪
⎭
2
1
2
s i n c o s
x x
e e
x x
⎛⎫
=⎪
⎭
1
1
s i n c o s
x x
x x
⎛⎫
=
22
2s i n c o s s i n
x x
x x x
==+
2.设
x
1
x
arctan
2
y
-
=，求y′
解：
2
11
22
1
1
11
x y
x x
x
''
⎛⎫'=⋅=⋅ ⎪
-
⎝⎭
+
+-
()()
()
()
()
22
1111
1
111
x x x x x x x x
x x x x
'
'-----+ -
==
-
+--
===
3．设y=x2(lnx-1)-(1-x2)lnx,求
e
x
dx
dy
=
.
解：()()()()()
2222
(ln1)ln11ln1ln dy
y x x x x x x x x dx
⎡⎤
''
'' '
==-+---+-
⎢⎥
⎣⎦()()()
22
11
2ln12ln1
x x x x x x
x x
⎡⎤
=-+⋅--+-⋅
⎢⎥
⎣⎦
11
2ln22ln4ln
x x x x x x x x x
x x
=-++-+=-
11
4ln 4x e
x e
dy y e e e dx
e e
=='
∴
==-=- 4．设y=
.y ,1|x |,x 1x
1ln 21x
1x
arcsin 2'<+-+-求
解：()()11
ln 1ln 12
2y x x =
--+
(
)(
)
()()2
arcsin arcsin 1111
112121x x y x x x x
'
'
⋅
'''=
+⋅
--⋅+-+
()()
11
2121x x =
-
-+
111211x x ⎛⎫=
-+ ⎪-+⎝⎭
()()
2
11111211x x x x x ++-=-⋅--+ ()()3322
2222
1arcsin 1arcsin 1111x x x x
x
x x x =
+-=---- 5.设.y ,1|x |0,x 11x 11ln 21x x arccos y 22
'<<-+--+=求
解：(
(arccos 11
ln 1ln 122
x y x =+--+
(
)
2
arccos arccos 111122x x x x y x ''⋅-⋅'
''=+-+
))2211x x ⎡⎤⎡⎤
''=
--⎥⎥⎦
⎦
)
)2arccos 22x x x x ⎡⎤⎡⎤=---⎥⎥⎦⎦
2arccos x x =-
2cos arc x x ⎡⎤=-
211arccos x x
+=
-
+
()222arccos 2arccos 11x x x x x
=-
=
--- 22arccos arccos x x
x x =-
=- 6．设y=x(arc sinx)2+,1|x |,x 2
x arcsin x 122
<--求y ′。

解：
()())()22arcsin arcsin arcsin arcsin 2y x x x x x x x ''
''⎡⎡⎤
''=+++
-⎣⎦⎣
()())2
2
sin 2arcsin arcsin 21arcsin 2
arc x x x x x x
''=+⋅⋅
+-+())()2
2
arcsin 2arcsin 2arcsin 22arcsin x x x x x x =+⋅+
-+-=
7．设().y ,x ,x x y '-≠++-+=求13
1
-2x arctan 3
111x ln
612
2 解：()()2
211ln 1ln 166y x x x =
+--++
()()2111l n 1l n a r 36
y x x
x =
+--
++
(
)()22211111
113161
1y x x x x x x '
'''=⋅+-⋅-++⋅+-++
()(
)22
1(21)1441316113
x x x x x x -=
-+-++-++
()()()()()()()
2222
2121121131344131616121x x x x x x x x x x x x --=
-+=-+++-++-+-+-+ ()()()()
()
()()
2222
3
212113122222133
61161x x x x x x x x x x x x x x x -+--+++-+-+--++==
+-++
()33
61
1
61x x =
=++ 8．设y=ln tan
2
x
-cosx ln tan x, 求y ' 解：()()11tan cos ln cos tan 2tan tan 2x y x tanx x x x x '⎛⎫⎡⎤'''=-⋅+⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()2c o s
112sin ln tan cos tan 2tan sin cos 22x x x x x x x x x '⎛⎫⎡⎤'=⋅⋅--⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2
11cos 1
sin ln tan cos 2sin cos sin cos 22x x x x x x x x =⋅+⋅-⋅⋅ 11sin ln tan sin ln tan sin sin x x x x x x
=+⋅-=⋅ 9．设x x y ln cos 2=，求y ″.
解：()
()()2
2
2
1
cos ln cos ln 2cos cos ln cos y x x x x x x x x x
'
'''=⋅+⋅=⋅+⋅
()22cos cos 2cos sin ln sin 2ln x x
x x x x x x x
=⋅-⋅+=-⋅+ ()()()2
2
2
cos cos sin 2ln sin 2ln x x x x y x x x x x
''
-⋅⎡⎤''''=-+⋅+
⎢⎥
⎣
⎦
()2
22cos sin cos sin 2cos 22ln x x x x x x x x x -⋅-⎡
⎤=⋅⋅++⎢⎥⎣
⎦ 2222
sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2ln 2cos 2ln x x x x x x
x x x x x x x x --=-⋅-+=---
10.设y = x 2x ,求y ''
解：两边取对数：2ln ln 2ln x y x x x == 两边对x 求导：
()()()ln 2ln 2ln 11
2ln 22ln 2y x x x x y x x x y x
'''
=+'=+⋅=+ ()()222ln 2x
x
y x x x
''∴==+⋅
()()()()()22222
2ln 22ln 22ln 22ln 2x x x x
y x x x x x x x x x
''''=+⋅++=⋅++⋅+⋅
()2
21222ln 2x x y x x x -''∴=++⋅
11．设1
1
2
-=
x y ，求)2("y 解：()()()
()
()
222
2
2
2
2
2
1111022111x x x
x
y x
x
x
'
'-----'=
=
=
---
()()()()()()()()()
222222224422212121221111x x x x x x x x y x x ''⎡⎤'-------+⋅--⎢⎥⎣⎦''==-- ()()()
()()
2
22
22
24
332
22
121822862111x
x x x x x y x
x x ⎡⎤---+⎡⎤-+++⎣⎦
⎣⎦''=
==--- ()()
2
3262226
22721y ⨯+''==- 12.设y=cot 2x
+tan x
2, 求y ' . 解
：
3
2221111222cos cos y x -''⎛⎫'=+⋅=⋅⋅- ⎪⎝⎭⎝
⎭2
1=
13．设y =ln(1+x +),0(11
arcsin
)22>+++x x
x x 求y ′.
解：
1
1
1
y x
x
'
'⎛⎫
'=++ ⎪
+
⎝⎭
)
()
2
2
1
012
1
x x
x
⎡⎤
⎡⎤'
=++-⎥
⎢⎥
+⎥
⎣⎦
⎦
)
()2
1
122
1
x
x
⎡⎤
=+
⎢⎥
+
⎣⎦
==
11
x
+-
==
14．设y=lncos x
x
x
1
+
+，求y'.
解
：
(
11
c o
11
cos cos
y x
x x x
x x
''
'
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
'==⋅-+
⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22
1111
tan tan
x x x x
⎛⎫
=-⋅-+=+
⎪
⎝⎭
15.设y=arctan1
2-
x-
x
1
ln(x+1
2-
x),求y'.
解：
(
)
((()
2
111
ln ln
1
y x x
x x
⎡⎤
''
'⎛⎫
⎢⎥'=⋅-⋅++
⎪
⎢⎥
⎝⎭
+⎣⎦
(
)(
(
2
22
111
1ln
11
x x x
x x x
⎡⎤'
'
=---+++
⎢⎥+-
⎣⎦
(
)
2
2
1
ln11
x x
x
⎡⎤'
=+-
⎢⎥
⎣⎦
(
2
1
ln1
x x
x
⎡⎤
=+⎥
⎦
(
2
1
ln x
x
=
(
(
22
11
ln ln
x x
x x
=+=
16．求函数f(x)=2
1x
x x+
+的二阶导数.
解：设：()()
121212
,,
x
y x y f x y y f x y y
''''
''
===+∴=+
对
1
y两边取对数：
1
ln ln ln
x
y x x x
==两边对x求导：()()
1
ln ln ln
y x x x x
''
'
=+
1
1
11
ln ln1
y x x x
y x
=+⋅=+()()()
11
ln1ln1
x x
y x x y x x
'
'
∴==+=+⋅()()()()()2
1 1
1
ln1(ln1)ln1ln1ln1
x x x x x x y x x x x x x x x x x x
x
-
'
'
''=+++=⋅+++=++⋅
)2
2
12
y x x
''
'==+==
()
22
x x
y
'
''==
()
22
3
22
11
1
x x
x
+-
===
+
()()2
1
12
ln1
x x
f x y y x x x
-
''''
''=+=++
五、应用题（本题9分）
六、证明题（本题5分）
1.证明函数
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
≠
-
+
=
x
,
2
1
x
,
x
1
1
x
)x(f
，在点x=0连续且可导.
证：()()
1
10
2
f=
而：(
)
0000
1111
1
lim lim
x x x x
x
f x
x
→→→→
+-
===
1
2
x x →→===
()()0
lim 0x f x f →∴= 0x ∴=处连续
（2）()()(
)
001
020lim
lim 0
x x x f x f x f x x →→→--'===-
011x x x →→→+=
==
0111
8x x x x →→→-+====-。