高中数学人教版 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程

高中数学人教版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
选择题
双曲线的焦距为（）
A.?
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】，方程化为标准方程为，
焦距为.
选择题
设双曲线的两个焦点为，，一个顶点是，则双曲线的方程为（）
A.?
B.
C. D.
【答案】A
【解析】双曲线的两个焦点为，，一个顶点是，所以，所以双曲线的方程为，故选A.
选择题
平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（）
A.椭圆?
B.线段?
C.双曲线?
D.两条射线
【答案】D
【解析】由题意可知，，
，因此点的轨迹是两条射线，故选D.
选择题
已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（）
A．? ? B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，结合的条件，可知，故选C．
选择题
过双曲线左焦点的弦长为，则△（为右
焦点）的周长是（? ）
A．? B．? C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线的标准方程可得，
由双曲线的定义可得：，
，∴，即，
．△（为右焦点）的周长是：
，故选D．
选择题
双曲线右支上一点到直线的距离，则（）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】由题意可知成立，且，解方程组可得.
选择题
已知双曲线与轴交于两点，点，则△面积的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意两点的坐标为，
因此，
当且仅当，即时等号成立．故最大值为.
选择题
已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）
A. B.? ?C.? ? D.
【答案】B
【解析】设双曲线方程为，，将
代入双曲线方程，整理得，由韦达定理得，则．又，所以
，所以双曲线的方程是．故选B.
填空题
已知点，动点满足条件．记动点的轨迹方程为? ．
【答案】
【解析】由，结合双曲线定义可知动点的轨迹为以为焦点的双曲线右支，双曲线中
，轨迹方程为.
填空题
已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为_____________．
【答案】
【解析】由题意，得，，
则，则．
填空题
、是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则△的面积为．
【答案】
【解析】∵、是双曲线的两个焦点，∴，∴，设，，∵点是双曲线上一点，且，∴①，
②，由②①2得，
∴△的面积，故答案为．
解答题
求以椭圆的焦点为焦点，且过点的双曲线的方程.
【答案】
【解析】由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在轴上．设双曲
线的标准方程为．根据题意得解得
或（不合题意舍去），∴双曲线的方程为．
解答题
已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且，，求该双曲线的方程．【答案】
【解析】依题意知，双曲线的焦点在轴，，由双曲线的定义得：，∴，①∵，∴，代入①式
∴，又，∴，∴该双曲线的方程为
.
解答题
已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在双曲线上，为左，右焦点，且，试求△的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）椭圆方程可化为，焦点在轴上，且，
故设双曲线方程为，则有解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）因为点在双曲线上，且，所以点在双曲线的右支上，
则有，故，，
又，因此在△中，
，所以，。