【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：第一章1.6三角函数模型的简单应用(含答案)

第一章三角函数
1.6 三角函数模型的简单应用
A级基础巩固
一、选择题
1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()
A．60B．70
C．80 D．90
解析：因为T＝2π
160π＝1
80
，所以f＝1
T
＝80.
答案：C
2．与图中曲线对应的函数解析式是()
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B.
答案：C
3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为
辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin t 2
(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()
A ．[0，5]
B ．[5，10]
C ．[10，15]
D ．[15，20]
解析：因为10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<5
2π此时F (t )＝50＋
4sin t
2
是增函数，即车流量在增加．
答案：C
4．一种波的波形为函数y ＝－sin π
2x 的图象，若其在区间[0，
t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：函数y ＝－sin π
2
x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.
答案：C
5．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距
离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2πt ＋π6，那么单摆来回
摆动一次所需的时间为( )
A ．2π s
B ．π s
C ．0.5 s
D ．1 s
解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，
所以T ＝2π|ω|＝2π
2π＝1 s ，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
答案：D 二、填空题
6．用作调频无线电信号的载波以y ＝a sin(1.83×108πt )为模型，其中t 的单位是秒，则此载波的周期为__________，频率为____________．
解析：T ＝2π
ω
＝
2π
1.83×108
π
≈1.09×10－8(s)， f ＝1
T
＝9.17×107(Hz)． 答案：1.09×10－8 s 9.17×107 Hz
7．已知某种交变电流I (A)随时间t (s)的变化规律可以拟合为函
数I ＝52sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
100πt －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s 内
往复运动的次数是________________．
解析：周期T ＝1
50 s ，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复
运动的次数为25.
答案：25
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三
角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6（x －6）(A ＞0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－18
2
＝5，
所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6（x －6），
当x ＝10时，
y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6×4＝20.5 答案：20.5 三、解答题
9．交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E
＝2203sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
100πt ＋π6来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 解：(1)当t ＝0时，E ＝2203sin π
6＝1103(伏)，
即开始时的电压为1103伏． (2)电压的最大值为2203伏．
当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1
300秒时第一次取得这个最大值．
10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：
f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12
t ＋π3，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解：(1)因为f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12
t ＋π3，又≤t <24，
所以π3≤π12t ＋π3<7π
3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.
当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12t ＋π3＝1；
当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12
t ＋π3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．
由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12
t ＋π3，
故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12
t ＋π3<－1
2.
又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π
6，即10<t <18.
故在10时至18时实验室需要降温．
B 级 能力提升
1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为点(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是点(6，0)，则f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π8x －π4
B ．f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π4x －π4
C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π8x ＋π4
D ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4x ＋π4
解析：由题意知A ＝3，1
4
T ＝6－2＝4，所以T ＝16，
故T ＝2πω＝16，所以ω＝π
8，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，
因为最高点为(2，3)，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8×2＋φ＝3，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋φ＝1，又0＜φ＜π.
所以φ＝π
4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8x ＋π4.
答案：C
2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)
＋B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到
最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f (x )＝________．
解析：由题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝8，
－A ＋B ＝4，
解得A ＝2，B ＝6.
周期T ＝2×(7－3)＝8，所以ω＝2πT ＝π
4
.
所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫πx 4＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，所以8＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
3π4＋φ＋6.
所以sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
3π4＋φ＝1，
结合|φ|＜π2可得φ＝－π
4
.
所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
πx 4－π4＋6.
答案：2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
πx 4－π4＋6
3．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．
设某人的血压满足函数式P (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)．
(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)函数p (t )的最小正周期为 T ＝2π
|ω|
＝2π160π＝1
80 min.
(2)此人每分钟心跳的次数即频率为：f ＝1
T ＝80.
(3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg. p (t )min ＝115－25＝90 mmHg. 即收缩压为140 mmHg.
舒张压为90 mmHg ，比正常值稍高．。