【创新设计】(教师用书)高考数学第一轮复习 第十一篇 概率、随机变量及其分布细致讲解练 理 新人教A版

第十一篇 概率、随机变量及其分布
第1讲 随机事件的概率
[最新考纲]
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式
.
知 识 梳 理
1．频率与概率
(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n
为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 2．事件的关系与运算
(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1.
(2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．
辨 析 感 悟
1．对随机事件概念的理解
(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．(√) (2)“方程x 2
＋2x ＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(√) (3)(2014·广州调研C 项)“下周六会下雨”是随机事件．(√) 2．对互斥事件与对立事件的理解
(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)
(5)(2014·郑州调研B 项)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张，“抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件．(×) 3．对频率与概率的理解
(6)(教材练习改编)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)
(7)(教材习题改编)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率为1
3
.(√)
(8)(2014·临沂调研改编)甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为0.5.(√) [感悟·提升]
两个区别 一是“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件，如(5)中为互斥事件．
二是“频率”与“概率”：频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.
学生用书第179页
考点一 事件的关系与运算
【例1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，
事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )．
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
解析根据互斥与对立的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．
答案 D
规律方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
【训练1】对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
解析设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
答案A与B，A与C，B与C，B与D B与D
考点二随机事件的概率与频率
【例2】某小型超市发现每天营业额Y(单位：万元)与当天进超市顾客人数X有关．据统计，当X＝700时，Y＝4.6；当X每增加10，Y增加0.05.已知近20天X的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700.
(1)完成如下的频率分布表：
近20天每天进超市顾客人数频率分布表
率，求今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率．
解(1)在所给数据中，进超市顾客人数为1 100的有3个，为1 600的有7个，为1 900的有3个，为2 200的有2个．故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为
(2)由已知可得Y ＝4.6＋
10×0.05＝200
X ＋1.1， ∵4.6<Y <10.6，∴4.6<X
200＋1.1<10.6， ∴700<X <1 900.
∴P (4.6<Y <10.6)＝P (700<X <1 900)＝P (X ＝1 100)＋P (X ＝1 400)＋P (X ＝1 600)＝320＋4
20＋
720＝1420＝710
. 即今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率为7
10
.
规律方法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
【训练2】 某市统计的2010～2013年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：
(1)(2)该市男婴出生的概率约是多少？
解 (1)2010年男婴出生的频率为f n (A )＝n A n ＝11 453
21 840
≈0.524.
同理可求得2011年、2012年和2013年男婴出生的频率分别约为0.521,0.512,0.513. (2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.
学生用书第180页
【例3】 (2014·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
求：(1)(2)至少3人排队等候的概率是多少？
审题路线 (1)分别求等候人数为0人、1人、2人的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可求．
(2)思路一：分别求等候人数为3人、4人、5人及5人以上的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可得．
思路二：转化为求其对立事件的概率⇒根据P(A)＝1－P(A)可求．
解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
规律方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
【训练3】一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝5
12，P(A2)＝
4
12
＝
1
3
，P(A3)＝
2
12
＝
1
6
，P(A4)＝
1
12
.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝5
12＋
4
12
＝
3
4
；
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝5
12
＋
4
12
＋
2
12
＝
11
12
.
法二(利用对立事件求概率)
(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－2
12－
1
12
＝
3
4
.
(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－1
12＝
11 12
.
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．
2．从集合角度理解互斥和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
创新突破11——全面突破概率与其它知识的综合问题
【典例】(2013·新课标全国Ⅱ卷)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T的数学期望．
突破1：购进130 t农产品全部售出还是有剩余是解题的关键；
突破2：T 为X 的函数是分段函数；
突破3：由函数求得利润T 不少于57 000元时的X 的范围； 突破4：根据直方图估计概率；
突破5：找出所有的T 的取值，列出分布列，求出数学期望． 解 (1)当X ∈[100,130)时，
T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000.
当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.
所以T ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
800X －39 000，100≤X <130，
65 000，130≤X ≤150.
(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.
由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的分布列为
[反思感悟] (1)本题是一道分段函数、频率直方图、随机事件概率的综合问题，解本题的关键所在是“购进了130 t 该农产品”是否全部售出．考查了考生的逻辑思维能力、数据处理能力．
(2)在频率分布直方图中，纵轴上的数据表示“频率÷组距”，不能与“频率”混淆． (3)可以用频率来估计概率的值． 【自主体验】
(2013·四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分)
乙的频数统计表(部分
)
当n ＝2 100时，的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数X 的分布列及数学期望．
解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；
当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝1
3；
当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝1
6
.
所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为1
6.
(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：
(3)随机变量X 可能的取值为0,1,2,3.
P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫
130×⎝ ⎛⎭⎪⎫23
3
＝827， P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫23
2
＝49， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫23
1＝29
，
P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭
⎪⎫133×⎝ ⎛⎭
⎪⎫23
＝1
27
. 故X 的分布列为
所以E (X )＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝1.
即X 的数学期望为1.
对应学生用书P365
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( )．
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定
解析随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．答案 D
2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
解析对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立．
答案 D
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )．A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
解析由题意知该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.
答案 B
4．(2014·沈阳模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )．
A.1
10
B.
3
10
C.
3
5
D.
9
10
解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3
个球中至少有1个白球的概率是1－110＝9
10.
答案 D
5．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )．
A ．0.09
B ．0.20
C ．0.25
D ．0.45
解析 由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45. 答案 D 二、填空题
6．(2014·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝1
6，则出现奇数点或2点的概率为________．
解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝2
3.
答案 23
7．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)． 解析 ∵P (A )＝152，P (B )＝13
52
，
∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝7
26.
答案
726
8．(2014·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．
解析 记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A ，B ，C .则A ，B ，C 彼此互
斥，由题意可得P (B )＝0.03，P (C )＝0.01，所以P (A )＝1－P (B ＋C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案 0.96 三、解答题
9．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是5
12，求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？
解 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为
A ，
B ，
C ，
D ，则事件A ，B ，C ，D 彼此互斥，所以有 P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512
，
P (D ＋C )＝P (D )＋P (C )＝5
12
，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23
，解得P (B )
＝14，P (C )＝16，P (D )＝14
. 故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，14
.
10．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2，t <94，2，94≤t <102，4，t ≥102.
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X
的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)．
解 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8
100＝0.3，所以用A 配方
生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10
100＝0.42，所以用B 配方生产的
产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42， 即X 的分布列为
X 的数学期望E (X )
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·大连模拟)某城市2013年的空气质量状况如下表：
其中污染指数＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2013年空气质量达到良或优的概率为( )． A.35 B.1180 C.119 D.56
解析 由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.
答案 A
2．(2014·漳州调研)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是7
10的事件是( )．
A ．至多有一张移动卡
B ．恰有一张移动卡
C ．都不是移动卡
D ．至少有一张移动卡
解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件． 答案 A
二、填空题
3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．
解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为14
32＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.
答案 32 0.437 5 三、解答题
4.如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查， 调查结果如下：
(1)(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为：
(3)设121212L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；
同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P (B 2)＞P (B 1)，
∴乙应选择L 2.
学生用书第182页 [最新考纲]
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知 识 梳 理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3．古典概型的概率公式
P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
.
辨 析 感 悟
1．古典概型的意义
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)
(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1
3.(√)
2．古典概型的计算
(4)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，则事件
A 的概率为
A
I
.(√) (5)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为
2
2
的概率是0.2.(×) (6)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(√) [感悟·提升]
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定义．
2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集，故
P (A )＝
A I ＝m
n
，如(4)；根据古典概型概率公式计算，如(5)、(6)．
考点一 简单古典概型的概率
【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解 从6道题中任取2道有n ＝C 2
6＝15(种)取法．
(1)记“所取的2道题都是甲类题”为事件A ，则A 发生共有m ＝C 2
4＝6种结果．
∴所求事件概率P (A )＝m n ＝615＝2
5
.
(2)记“所取的2道题不是同一类题”事件为B ，事件B 包含的基本事件有C 14C 1
2＝8(种)，则事件B 的概率为P (B )＝8
15
.
规律方法 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
学生用书第183页
【训练1】分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解 (1)从5张卡片中任取两张，共有n ＝C 2
5＝10种方法．
记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A ，则A 包含基本事件m ＝C 12C 1
2－1＝3个． 由古典概型概率公式，P (A )＝m n ＝
3
10
. (2)从6张卡片中任取两张，共有n ＝C 2
6＝15个基本事件，
记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝C 1
1(C 1
2＋C 1
3)＋(C 12C 1
2－1)＝8， ∴所求事件的概率P (B )＝m n ＝
8
15
. 考点二 复杂的古典概型的概率
【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝15的外部或圆上的概率．
解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x ，y )共有n ＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型． (1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，记为B .
∵事件B 包含的基本事件数m ＝C 13C 1
3＝9. ∴P (B )＝936＝14，则P (B )＝1－P (B )＝34，
因此，两数中至少有一个奇数的概率为3
4
.
(2)点(x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝15的内部记为事件C ，则C 表示“点(x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝15上或圆的外部”．
又事件C 包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个．
∴P (C )＝836＝29，从而P (C )＝1－P (C )＝1－29＝7
9.
∴点(x ，y )在圆x 2＋y 2
＝15上或圆外部的概率为79
.
规律方法 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．
(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式
P (A )＝1－P (A )求解．
【训练2】 某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2
)如下表所示：
(1)以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解 (1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为
P ＝36＝12
.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，
D )，(A ，
E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C ，D )，(C ，E )，(D ，
E )，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝310
.
考点三 古典概型与统计的综合问题
【例3】 (2013·广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． (1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
审题路线 (1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值．(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数．(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式计算．
解 (1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30.则x ＝1
6(17＋19＋20＋21＋25＋30)
＝22，
故样本均值为22.
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名， 故优秀工人的频率为26＝1
3
.
该车间12名工人中优秀工人大约有12×1
3＝4(名)，
故该车间约有4名优秀工人．
(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件总数为C 14C 1
8＝32，所有基本事件的总数为C 2
12＝66.
由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝1633.
所以恰有1名优秀工人的概率为16
33
.
学生用书第184页
规律方法 (1)算．
(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这 都是得分的重点．
【训练3】 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 解 (1)由题意知苹果的样本总数n ＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是20
50
＝0.4.
(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x 个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x )个． ∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15， ∴5∶15＝x ∶(4－x )，解得x ＝1. 即重量在[80,85)的有1个．。