高考数学总复习系列 第三章基本初等函数 必修1

第三章、基本初等函数
一、基础知识（必会）
1．指数函数及其性质：形如=aa>0, a1的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，∞），当01时，=a 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2．分数指数幂：n m n m
n n n m n m n n a a a a
a a a a 1,1,,1====--。

3．对数函数及其性质：形如=ogaa>0, a1的函数叫做对数函数，其定义域为（0，∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。

当01时，=oga 为增函数。

4．对数的性质（M>0, N>0）；
1）a=M=ogaMa>0, a1；
2）ogaMN= oga M oga N ；
3）oga （N M
）= oga M- oga N ；4）oga Mn=n oga M （万能恒等式）
5）oga =n 1
oga M ；6）aoga M=M; 7 oga b=a b c c log log a,b,c>0, a, c1
5 函数=x a
（a>0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[)0,a -和(]a ,0。

（请同学自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a0
【证明】 设f=bcbc1 ∈-1, 1，则f 是关于的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f-1>0且f1>0（因为-10，
f1=bcbca=1b1c>0，
所以fa>0，即abbcca1>0
例 2 （06） （柯西不等式）若a1, a2,…,an 是不全为0的实数，b1, b2,…,bn ∈R ，则（∑=n i i a 12）·（∑=n i i b 12）≥∑=n i i i
b a 1
2，等号当且仅当存在R ，使ai=, i=1, 2, …, n 时成立。

【证明】 令f= （∑=n i i a 12
）2-2∑=n i i i b a 1∑=n i i
b 12=∑=-n i i i b x a 1
2)(, 因为∑=n i i a 12>0，且对任意∈R, f ≥0，
所以△=4∑=n i i i
b a 1-4（∑=n i i a 12）∑=n i i b 12≤0
展开得（∑=n i i a 12）∑=n i i b 12≥∑=n i i i
b a 12。

等号成立等价于f=0有实根，即存在，使ai=, i=1, 2, …, n 。

***注释：根据许多省市的2022年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就即可，不需深入做题。

例3（10全国卷） 设, ∈R, =c, c 为常数且c ∈0, 2]，求u=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值。

【解】u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11=xy x y y x 1++≥xy 12·
x y y x ⋅ =xy 1
2
令=t ，则0
44)(22c y x =+t 1.42c 42
c ⎥⎦⎤ ⎝⎛4,02c 42c 42c 24c 42c 24c 2c 42c 24c p q .34342t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t p q ⎪⎭⎫ ⎝⎛==34912.251±=x p q 0，所以p q =.251±
例5 （经典例题）对于正整数a, b, ca ≤b ≤c 和实数, , , w ，若a=b=c=70w ，且w z y x 1111=
++，求证：ab=c
【证明】 由a=b=c=70w 取常用对数得ga=gb=gc=wg70 所以w 1ga=x 1g70, w 1gb=y 1g70, w 1gc=z 1g70， 相加得w 1gagbgc=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++z y x 111g70，由题设w z y x 1111=++， 所以gagbgc=g70，所以gabc=g70
所以abc=70=2×5×7
若a=1，则因为ga=wg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1
又a ≤b ≤c ，且a, b, c 为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7
所以ab=c
例6 （经典例题） 已知1, ac1, a1, c1 且ogaogc=2ogb ，求证c2=acogab
【证明】 由题设ogaogc=2ogb ，化为以a 为底的对数，得
b x
c x x a a a a a log log 2log log log =+，
因为ac>0, ac1，所以ogab=ogacc2，所以c2=acogab
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。

3．指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。

值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。

例7 （经典例题）解方程：34 5 =6
【解】 方程可化为x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛653221=1。

设f= x
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛653221, 则f 在-∞,∞上是减函数，因为f3=1，所以方程只有一个解=3
例8 （经典例题） 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==++312x y y x y x y x （其中, ∈R ） 【解】 两边取对数，则原方程组可化为.3lg )(lg 12lg )(⎩⎨⎧=+=+glx y y x y x y x ①②
把①代入②得2g=36g ，所以[2-36]g=0
由g=0得=1，由2-36=0, ∈R 得=6，
代入①得g=2g ，即=2，所以2-6=0
又>0，所以=2, =4
所以方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==24;11221
1y x y x
例9 已知a>0, a1，试求使方程oga-a=oga22-a2有解的的取值范围。

【解】由对数性质知，原方程的解应满足
⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-00)(22222a x ak x a x ak x ①②③
若①、②同时成立，则③必成立， 故只需解⎩⎨⎧>--=-0)(2
22ak x a x ak x
由①可得2=a12， ④
当=0时，④无解；当0时，④的解是=k k a 2)1(2+，代入②得k k 212
+>
若1，所以0，则2<1，所以0<<1
综上，当∈-∞,-1 ∪0, 1时，原方程有解。