高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修4
1.平面向量的数量积.(重点)
2.平面向量的数量积的几何意义.(难点)
3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 向量数量积的定义及性质
阅读教材P103～P104“例1”以上内容，完成下列问题.
1.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cos θ＝a·b
|a||b|
.
(5)|a·b|≤|a||b|.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.( )
(2)两个向量的数量积是向量.( )
(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0.( )
【解析】(1)×.因向量的夹角包括180°，直线的倾斜角不包括180°.
(2)×.因两个向量的数量积没有方向，不是向量. (3)√.由数量积的定义可知. 【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理2 向量的数量积的几何意义及运算律
阅读教材P 104例1以下至P 105例2以上内容，完成下列问题. 1.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念
如图2­4­1所示：OA →＝a ，OB →
＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos
θ.
|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影.
图2­4­1
(2)数量积的几何意义：
a ·
b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的
乘积.
2.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).
(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).
已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π
3，则a 在b 方向上的投影为________.
【解析】 向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝3
2.
【答案】 3
2
[小组合作型]
与向量数量积有关的概念
(1)以下四种说法中正确的是________. ①如果a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；
②如果向量a 与b 满足a·b<0，则a 与b 所成的角为钝角； ③△ABC 中，如果AB →·BC →
＝0，那么△ABC 为直角三角形； ④如果向量a 与b 是两个单位向量，则a 2
＝b 2
.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b ＝－12，则a 在b 方向上的投影为________，b 在a 方向上的投影为________.
(3)已知等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →
＝________.
【精彩点拨】 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.
【自主解答】 (1)由数量积的定义知a·b ＝|a||b|cos θ(θ为向量a ，b 的夹角). ①若a·b ＝0，则θ＝90°或a ＝0或b ＝0，故①错； ②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；
③由AB →·BC →
＝0知B ＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由a 2
＝|a|2
＝1，b 2
＝|b|2
＝1，故④正确. (2)设a 与b 的夹角为θ，则有
a·b ＝|a|·|b|cos θ＝－12，
所以向量a 在向量b 方向上的投影为|a|·co s θ＝a·b |b|＝－125＝－12
5
；向量b 在向量a 方向上的投影为|b|·cos θ＝
a·b |a|＝－12
3
＝－4. (3)如图，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D.
因为AB ＝AC ， 所以BD ＝1
2BC ＝2，
于是|BA →|cos ∠ABC ＝|BD →| ＝12|BC →|＝1
2
×4＝2. 所以BA →·BC →＝|BA →||BC →
|cos ∠ABC ＝4×2＝8. 【答案】 (1)③④ (2)－
12
5
－4 (3)8
1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.
2.求平面向量数量积的方法：
(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
[再练一题]
1.给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零
向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④
|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b>0，
则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长.
其中正确的是________.
【解析】由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；
若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④，应有|a||b|≥a·b；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；
当a与b的夹角为0时，也有a·b>0，因此⑦错；
|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错.综上可知①②⑥正确.
【答案】①②⑥
数量积的基本运算
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积.【导学号：00680054】
【精彩点拨】(1)当a∥b时，a与b夹角可能为0°或180°.(2)当a⊥b时，a与b 夹角为90°.(3)若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b|·cos θ(θ为a，b夹角)求值.
【自主解答】设向量a与b的夹角为θ，
(1)a∥b时，有两种情况：
①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|＝20；
②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝－|a||b|＝－20.
(2)当a⊥b 时，θ＝90°， ∴a·b ＝0.
(3)当a 与b 夹角为135°时，
a·b ＝|a||b|cos 135°＝－10 2.
1.求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；
③求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ.
2.非零向量a 与b 共线的条件是a·b ＝±|a||b|.
[再练一题]
2.已知正三角形ABC 的边长为1，求：
图2­4­2
(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →； (3)BC →·AC →.
【解】 (1)AB →与AC →
的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →
|cos 60°＝1×1×12＝12.
(2)AB →与BC →
的夹角为120°，
∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12. (3)BC →与AC →
的夹角为60°，
∴BC →·AC →＝|BC →||AC →
|cos 60°＝1×1×12＝12
.
与向量模有关的问题
已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；
(2)|(a ＋b )·(a －2b )|. 【导学号：70512035】 【精彩点拨】 利用a ·a ＝a 2
或|a |＝a 2
求解.
【自主解答】 由已知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a 2
＝|a |2
＝16，
b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2 3.
(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.
2.利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
[再练一题]
3.题干条件不变，求|a－b|.
【解】因为|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角θ＝120°.
所以|a－b|＝a－b2＝a2－2a·b＋b2
＝42－2×4×2×cos 120°＋22＝27，
所以|a－b|＝27.
[探究共研型]
平面向量数量积的性质
探究1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
【提示】a⊥b⇔a·b＝0.
探究2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
【提示】当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a ＝a2＝|a|2或|a|＝a·a.
探究3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
【提示】|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|.
cos θ＝a·b
|a||b|
.
已知|a|＝3，|b|＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求
当m 为何值时，c 与d 垂直？
【精彩点拨】 由条件计算a·b ，当c⊥d 时，c·d ＝0，列方程求解m . 【自主解答】 由已知得a·b ＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d ，知c·d ＝0，
即c·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m a 2
＋(5m －9)a·b －15b 2
＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即m ＝29
14
时，c 与d 垂直.
1.已知非零向量a ，b ，若a⊥b ，则a·b ＝0，反之也成立.
2.设a 与b 夹角为θ，利用公式cos θ＝a·b
|a||b|
可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π].
[再练一题]
4.若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________. 【解析】 设a 与b 夹角为θ，因为|a|＝3|b|， 所以|a|2
＝9|b|2
.
又|a|＝|a ＋2b|，所以|a|2
＝|a|2
＋4|b|2
＋4a·b
＝|a|2
＋4|b|2
＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2
＋12|b|2
cos θ， 即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2
cos θ，故有cos θ＝－13.
【答案】 －1
3
1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝8，∠C ＝60°，则BC →·CA →
＝( ) A.20 B.－20 C.20 3
D.－20 3
【解析】 BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos 120°＝5×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－20.
【答案】 B
2.设e 1，e 2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是( ) A.e 1·e 2＝1 B.e 1·e 2＝－1 C.|e 1·e 2|＝1
D.|e 1·e 2|<1
【解析】 e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝±1. 【答案】 C
3.在△ABC 中，AB →＝a ，BC →
＝b ，且b ·a ＝0，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形
D.无法确定
【解析】 在△ABC 中，因为b ·a ＝0，所以b ⊥a ，故△ABC 为直角三角形. 【答案】 C
4.已知|a |＝4，e 为单位向量，a 在e 方向上的投影为－2，则a 与e 的夹角为________. 【导学号：00680055】
【解析】 因为a 在e 方向上的投影为－2， 即|a |cos 〈a ，e 〉＝－2，
所以cos 〈a ，e 〉＝－2|a |＝－1
2，〈a ，e 〉＝120°.
【答案】 120°
5.已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b ). 【解】 (a ＋2b )·(a －3b ) ＝a ·a －a ·b －6b ·b ＝|a |2
－a ·b －6|b |2
＝|a |2
－|a |·|b |cos θ－6|b |2
＝62
－6×4×cos 60°－6×42
＝－72.。