专题五 平面向量(历年高考真题集锦)

专题五 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
2019年
1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC u u u r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =
A ．-3
B ．-2
C ．2
D ．3
2.（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,<>=a c ___________.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r
A ．3144A
B A
C -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u r
D ．1344
AB AC +u u u r u u u r 2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
4．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，
1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为
A ．4
B ．–4
C ．94
D ．–
94 6．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，
连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅u u u r u u u r 的值为
A ．85-
B ．81
C ．4
1 D ．
811
7．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m = A ．8- B ．6- C ．6 D ．8
8．（2016年全国III ）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则ABC ∠= A ．30o B ．45o C ．60o D ．120o
9．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=
a ，且()(32)-⊥+a
b a b ，则a 与b 的夹角为
A ．4π
B ．2
π C ．34π D ．π 10．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是
A ．||||||⋅≤a b a b
B ．||||||||--≤a b a b
C ．22()||+=+a b a b
D ．22
()()+-=-a b a b a b 11．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=u u u r a ，
2ΑC =+u u u r a b ，则下列结论正确的是
A ．1=b
B ．⊥a b
C ．1⋅=a b
D ．()4ΒC -⊥u u u r a b
12．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB
A ．
B ． AD 21
C ． BC 2
1 D ．
13．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a b
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
14．(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为
6π，则实数m =
A ．
B
C ．0
D ．
15．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x u r u u r u u r u u r 和1234,,,y y y y u u r u u r u u r u u r 均由
2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r 所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为
A ．2
3π B ．3π C ．6
π D ．0 16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是
A ．1
2(0,0),(1,2)==e e B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e C ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e
17．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值
为1
A ．若θ确定，则||a 唯一确定
B ．若θ确定，则||b 唯一确定
C ．若||a 确定，则θ唯一确定
D ．若||b 确定，则θ唯一确定
18．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =
A ．92-
B ．0
C ．3
D ．152
19．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为
A ．5
B ．52
C ．5
D ．10
20．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014
PB AB =
，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ≥．则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =
21．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB u u u r 同方向的单位向量为
A ．3
455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭
， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r 在CD u u u r 方向上
的投影为
A B C ． D ． 23．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最
大值为
A 1
B
C 1
D 2
24．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥u u u r u u u u r ，121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r ．若12OP <u u u r ，则OA u u u r 的取值范围是
A ．⎛
⎝⎦ B ． ⎝⎦ C ．
⎝ D ．⎝ 25．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；
③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；
上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
26．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于
A ．2
B ．12
C ．0
D ．－1 27．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量
A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a b
B ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b
C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a
D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b
28．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，
则λ=
A ． 14
B ．12
C ．1
D ．2
29．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=k
A ．12-
B ．6-
C ．6
D ．12
30．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=u u u r a ，OB =u u u r b ，则△OAB 的面积
等于
A ．222|||()|-⋅a b a b
B ．222|||()|+⋅a b a b
C ．2221|||()2|-⋅a b a b
D ．2221|||()2
|+⋅a b a b 31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“e ”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，
令mq np =-e a b ，下面说法错误的是
A ．若a 与b 共线，则0=e a b
B ．=e e a b b a
C ．对任意的R λ∈，有()()λλ=e e a b a b
D ．2222
()()||||+•=e a b a b a b
二、填空题
32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，
则λ= ．
33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ．
34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是 ，
最大值是 ．
35．(2017山东)已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60o ，
则实数λ的值是 ． 36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA
u u u r 与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45o ．若OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r （m ，n ∈R ），则m n += ．
37．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222
||||||+=+a b a b ，则m = .
38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），
则m n - 的值为___．
39．（2015湖北）已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ． 40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___．
41．（2015浙江）已知12,e e 是空间单位向量，1212
⋅=e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，252
⋅=b e ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)x y x y x y R -+-+=∈≥b e e b e e ，则0x =____，0y =_____，=b _____．
42．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2
AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为 ．
43．(2014山东)在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r ，当6A π=时，ABC V 的面积为 ． 44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x u r u u r u u r u u r u u r 和
12345,,,,y y y y y u u r u u r u u r u u r u u r 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233S x y x y x y =⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r 4455x y x y +⋅+⋅u u r u u r u u r u u r ，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．
则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）．
①S 有5个不同的值．
②若⊥a b 则min S 与||a 无关．
③若∥a b 则min S 与||b 无关．
④若||4||>b a ，则0min >S ．
⑤若||2||=b a ，2min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为4
π． 45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则
λ=__． 46．（2014陕西）设20π
θ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则
=θtan _______．
47．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________．
48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60o
，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，
则t =_____． 49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅=u u u r u u u r ．
50．（2013山东）已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角120o ，且|AB u u u r |=3，|AC u u u r |=2，若
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r ，则实数λ的值为_____．
51．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的
夹角为6
π，则||||x b 的最大值等于________． 52．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，
E 为CD 的中点．若·1AC BE =u u u r u u u r ， 则AB 的长为 ．
53．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈
R )，则λμ
= ．
54．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o 45，且||1=a ，|2|10-=a b ||=b ．
55．（2012湖北）已知向量a =（1，0），b =（1，1），则
（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____________；
（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

56．（2012安徽）若平面向量a ，b 满足：23-≤a b ；则⋅a b 的最小值是_____．
57．（2011浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为12
，则α与β的夹角θ的取值范围是 ．
58．（2011江苏）已知1e ，2e 是夹角为π3
2的两个单位向量，122=-a e e ，12k =+b e e ， 若0⋅=a b ，则k 的值为 ．
59．（2011新课标）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量
k a -b 垂直，则k =_____________．
60．（2011安徽）已知向量,a b 满足()()+2⋅-=-6a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的
夹角为 .
61．（2010陕西）已知向量a =（2，-1），b =（-1，m ），c =（-1,2），若（a +b ）∥c ，
则m = ．
三、解答题
62．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．
（1）若∥a b ，求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
专题五 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
答案部分
2019年
1．解析：(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ，则21(3)1t +-=，得3t =，即(1,0)BC =u u u r ，所以(2,3)(1,0)2AB BC ⋅=⋅=u u u r u u u r .故选C.
2.解析
2(2)22⋅=⋅-=-⋅=a c a a a b ，
因为2222(2)459==-⋅+=c a a b b ，
所以||3=c ，所以2cos ,||||3
⋅==a c a c a c .
2010-2018年
1．A 【解析】通解 如图所示，
C
B 11111()()22222=+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB ED DB AD CB AB A
C AB AC 3144=-u u u r u u u r AB AC ．故选A ． 优解 111()222=-=-=-⨯+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB AB AE AB A
D AB AB AC 3144
=-u u u r u u u r AB AC ．故选A ． 2．C 【解析】∵33-=+a b a b ，∴22
(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a a b b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．
3．B 【解析】2
(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．
4．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=o m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．
5．B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即2
0t ⋅+=m n n ， 所以222
1|cos |3
||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n ||4334||3
=-=-⨯=-n m ．故选B ． 6．B 【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ， 33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r ，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ， ∴25353144848
AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B. 7．D 【解析】由向量的坐标运算得()42m +=-，
a b ， ∵()+⊥a b b ，∴()122(2)0m +⋅=--=a b b ，
解得8m =，故选D ．
8．A
【解析】由题意得112222cos 112||||
BA BC ABC BA BC ⨯+⨯⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以30ABC ∠=o
，故选A ． 9．A 【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=r r r r r r r r ， 即223cos 20a a b b θ--=r r r r
，所以23()cos 2033θ⨯--=，
cos 2θ=
，4
π
θ=，选A ． 10．B 【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，∵||||||cos |||θ⋅=≤|a b a b a b ，
∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||--≥a b a b ，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出2
2
()()+⋅-=-a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ． 11．D 【解析】如图由题意，
(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=u u u r u u u r u u u r r r r r ，故||2b =r ，故A 错误；|2|2||2a a ==r r
， 所以||1a =r ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=o u u u r u u u r r r r r r r
，
所以1a b ⋅=-r r ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ， 且AD BC ⊥u u u r u u u r ，所以()
4C a b +⊥B u u u r r
r ，故选D ．
12．A 【解析】111()()()222
EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r ．
13．A 【解析】由2
()10+=a b ①，2
()6-=a b
②，①-②得1⋅=a b ．
14．B
cos 6π
==
，两边平方化简得18=， 解得m =
15．B 【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r
，若S 的表达式中有0个a b ⋅r r ，
则2222S a b =+r r ,记为1S ,若S 的表达式中有2个a b ⋅r r
,则22222S a b a b =++⋅r r r r ,
记为2S ，若S 的表达式中有4个a b ⋅r r ，则4S a b =⋅r r ，记为3S ，又||2||b a =r r
，
所以222
132242()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ，
222
122()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ，
223()0S S a b -=->r r ，∴321S S S <<，故min 34S S a b ==⋅r r
，设,a b r r 的夹角为θ，
则22min
48||cos 4||S a b a a θ=⋅==r r r r ，即1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，所以3
πθ=．
16．B 【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．
17．B 【解析】由于2222||2t t t +=++g
b a b a b a ，令222()2f t t t =++g b a b a ， 而t 是任意实数，所以可得()f t 的最小值为
222222222222
4(2)44cos 4sin 1444
θθ
--===a b ab a b a b b a a ， 即2
2
||sin 1θ=b ，则知若θ确定，则||b 唯一确定． 18．C 【解析】∵23(23,6)k -=--a b ，(23)-⊥a b c ，
所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=。

解得3k =，选C
19．C 【解析】 因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅，所以BC AC ⊥，所以四边形的面积
为
52
2)4(212|
|||2222=+-⋅+=⋅，故选C ． 20．D 【解析】由题意，设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r
，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，
在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，
||||(||(1))||PB PC PH PB PB a PB ⋅==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0000||||P B PC P H P B a ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r
，
于是00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
≥恒成立，相当于
(||(1))||PB a PB a -+-u u u r u u u r ≥恒成立， 整理得2||(1)||PB a PB a -++u u u r u u u r ≥0恒成立，只需22
(1)4(1)0a a a ∆=+-=-≤
即可，于是1a =，因此我们得到2HB =，即H 是AB 的中点， 故△ABC 是等腰三角形，所以AC BC =．
P 0
P H C
B
A
21．A 【解析】(3,4)AB =-u u u r ,所以||5AB =u u u r ,这样同方向的单位向量是134
(,)555
AB =-u u u r ．
22．A 【解析】=（2,1），=（5,5），则向量在向量方向上的射影为
22
32
5515255)5,5()1,2(cos 2
2=⨯+⨯=
+⋅=
=
AB θ 23．C 【解析】建立平面直角坐标系，令向量,a b 的坐标()()1,0,0,1==a b ，又设
(),x y =c ，代入1--=c a b 1=，
又c 的最大值为圆()()2
2
111x y -+-=上的动点到原点的距离的最大值，
即圆心(1，1)1．
24．D 【解析】因为1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，所以可以A 为原点，分别以1AB u u u r ，2AB u u u u r
所在直线
为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )，
则AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r
＝(a ，b )，即P (a ，b )． 由|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r
|＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.
所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.
由|OP uuu r |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14
，
即0≤1－x 2＋1－y 2＜1
4.
所以7
4
＜x 2＋y 2≤2，即2<≤
所以|OA u u u r |的取值范围是2⎛ ⎝，故选D ． 25．B 【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须
=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前
还强调过，不懂学生做得如何.
26．C 【解析】22
,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=r r r r Q 正确的是
C ．
27．C 【解析】 2
2
2
2
||||||||2||||2||||||+=-⇒++=-+a b a b a ab b a a b b ，则
||||0=-≠ab a b ，所以,a b 不垂直，A 不正确，同理B 也不正确； ||||=-ab a b ，则cos ,1>=-<a b ，所以,a b 共线，故存在实数λ，
使得λ=b a ，C 正确；若=b a ，则1λ=，此时||2|0||||+=≠=-a b a |a b ， 所以D 不正确．
28．B 【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=
12
29．D 【解析】 ∵2(5,2)k -=-a b ，由(2)0⋅-=a a b ，得(2,1)(5,2)0k ⋅-=，
∴1020k +-=，解得12k =． 30．C 【解析】 三角形的面积S=
1
2
||sin ,<>a ||b a b ，而
=
11
||||||||sin ,22
a b a b a b =<>． 31．B 【解析】若a 与b 共线，则有==0mq np -e a b ，故A 正确；
因为pn qm =-e b a ，而=mq np -e a b ，所以有≠e e a b b a ， 故选项B 错误，故选B ． 32．
1
2
【解析】2(4,2)+a b =，因为(1,)λ=c ，且(2)+∥c a b ， 所以124λ⨯=，即1
2
λ=．
33．222|2|||4||4441421cos 6012+=++=+⨯+⨯⨯⨯=o
a b a b ab ，
∴|2|+=a b
34．4,,a b r r
的夹角为θ，由余弦定理有：
a b -==r r
，
a b +==r r
则：
a b a b ++-=r r r r
令y =
[]21016,20y =+，
据此可得：(
)
(
)
max
min
4a b a b
a b a b
++-==++-==r r r r
r r r r
，
即a b a b ++-r r r r
的最小值是4
，最大值是35
221212112122)()λλλ-⋅+=⋅-⋅-=e e e e e e e e ，
12||2-===e ，
12||λ+===e e
∴2cos60λ==o
，解得：3
λ=
． 36．3【解析】由tan 7α=
可得sin 10
α=
，cos 10α=，由OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r
得22OC OA mOA nOB OA
OC OB mOB OA nOB
⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，即cos(45)45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪=++o o o
cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++o o
所以4531cos(45)102102
m n αα+++===++o
o 所以3m n +=．
37．－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-
38．9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r
，
所以OA OB •=u u u r u u u r 93||||)(2
22===•+=+•OA OB OA OA AB OA OA ．
39．1
【解析】由题意()ln(())==-=-f x x x f x x x ，
+=
x ，解得1a =．
40．1 2
由题意可令01023x y =++b e e e ，其中3,1,2i i ⊥=e e ，
由12⋅=b e 得0022y x +
=，由252⋅=b e ，得005
22
x y +=，解得01x =，02y =
∴||==b
41．2-【解析】由222
||||||+=+a b a b 得⊥a b ，则20m +=，所以2m =-．
42．90o
【解析】由1()2
AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，
所以AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为90o
．
43．1
6【解析】∵cos AB AC AB AC A ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，∴由cos tan AB AC A A ⋅=uu u r uuu r ，
得23AB AC ⋅=uu u r uuu r ，故ABC V 的面积为11||||sin 266
AB AC π=u u u r u u u r ．
44．②④【解析】S 有下列三种情况：
22222
1S a a b b b =++++r r r r r ， 222
2S a a b a b b b =+⋅+⋅++r r r r r r r ， 2
3S a b a b a b a b b =⋅+⋅+⋅+⋅+r r r r r r r r r
∵2222
12232()||0S S S S a b a b a b a b -=-=+-⋅=-=-≥r r r r r r r r ，
∴min 3S S =，
若a b ⊥r r ，则2
min 3S S b ==r ，与||a r 无关，②正确； 若a b r r P ，则2
min 34S S a b b ==⋅+r r r ，与||b r 有关，③错误；
若||4||b a >r r ，则2222
min 34||||cos ||4||||||||||0S S a b b a b b b b θ==⋅+≥-⋅+>-+=r r r r r r r r ，
④正确；
若2min ||2||,8||b a S a ==r r r ,则2222min 348||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=r r r r r r
∴1cos 2θ=
， ∴3
π
θ=，⑤错误． 45
||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，
∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1
sin θλθλ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得2
5λ=
得||λ= 46．
12
【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴2
2sin cos cos θθθ=， ∵(0,)2πθ∈，∴1
tan 2
θ=．
47．2【解析1】(4,22)c m m =++r
因为cos ,||||c a c a c a ⋅=⋅r r r r r
r ，cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅r r r r r r ，所以||||||||
c a c b
c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r
r r r r ， 又||2||b a =r r
，所以2c a c b ⋅=⋅r r r r
即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ⇒=
【解析2】由几何意义知c r 为以ma r ，b r
为邻边的菱形的对角线向量，
又||2||b a =r r
，故2m =
48．2【解析】g b c =[(1)]t t •+-b a b =2
(1)t t •+-a b b =
112t t +-=1
12t -=0,解得t =2. 49．2【解析】在正方形中，12
AE AD DC =+u u u r u u u r u u u r ,BD BA AD AD DC =+=-u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r ,
所以222
2111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．
50．712
【解析】向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o
，且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 所以
1cos120323
2
AB AC AB AC ⋅=⋅=-⨯⨯=-o
u u u v u u u v u u u v u u u v ．由AP BC ⊥u u u v u u u v 得， 0AP BC ⋅=u u u v u u u v ，即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，
所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ,即493(1)0λλ---=,解得7
12
λ=．
51．2
【解析】
||||x ==
=
b
==
||
||
x b 的最大值为2． 52．
1
2
【解析】因为E 为CD 的中点，所以1122BE BC CE AD DC AD AB =+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．
AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r
，因为·
1AC BE =u u u r u u u r ， 所以22111·()()1222
AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-⋅+=-+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
即2111cos60122AB AB -+=o u u u r u u u r ，所以211024AB AB -+=u u u
r u u u r ，解得12
AB =u u u r ．
53．4【解析】 如图建立坐标系，
则()1,1a =-r ，()6,2b =r ，()1,3c =-r
由c a b λμ=+r r r ，可得1
2,2
λμ=-=-，∴4λμ=
54．b
=r
222(2)1044cos 4510a b a b b b ︒
-=⇔-=⇔+-=r r r r r r
b ⇔=r
55．
（Ⅰ）⎝⎭
（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为
(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x
y >
，解得10
10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
故1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =．即与2+a
b
同向的单位向量的坐标为⎝⎭
． （Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，
则()
32,11,0cos 35
θ--=
==--g g b a a b a a
．
56．9
8
-【解析】2223494a b a b a b -≤⇔+≤+r r r r r r g
2294449448
a b a b a b a b a b a b +≥≥-⇒+≥-⇔≥-r r r r r r r r r r r r g g g g
57．5[,]66
ππ
【解析】如图，向量α与β在单位圆O 内，因|α|=1，|β|≤1， 且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为1
2
，故以向量α，β为边的
三角形的面积为
1
4
，故β的终点在如图的线段AB 上（α∥AB ， 且圆心O 到AB 的距离为12），因此夹角θ的取值范围为5[,]66
ππ
．
58．
54
【解析】由题意知1212(2)()0k ⋅=-+=a b e e e e ,即22
112122220k k +--=e e e e e e ， 即22cos 2cos 2033k k ππ+--=，化简可求得5
4
k =．
59．1【解析】向量a +b 与向量k a -b 垂直，∴()()0k +⋅=a b a -b ，
化简得(1)(1)0k -⋅⋅+=a b ，易知0⋅≠a b ，故1k =． 60．
3
π【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意有()()22
+2⋅-=+⋅-2a b a b a a b b cos θ=-7+2=-6，所以1cos 2θ=，因此0θπ≤≤，所以3
π
θ=．
61．－1【解析】(1,1),()//12(1)(1)0m m +=-+⨯--⨯-=由得a b a a c ，
所以m =－1．
62．【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a
，(3,=b ，∥a b ，
所以3sin x x =．
若cos 0x =，则sin 0x =，与2
2
sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．
于是tan 3
x =-
． 又[0,]x π∈，所以56
x π=
． （2
）π(cos ,sin )(3,3cos ())6
f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666
x +
∈，
从而π1cos()6x -≤+≤
. 于是，当ππ
66x +
=，即0x =时，()f x 取到最大值3；
当π6x +=π，即5π6
x =时，()f x 取到最小值-
专题五
平面向量
第十四讲 向量的应用
2019年
1.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE
交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB
AC
的值是 .
2.（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，
123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
的最小值是________，最大值是
_______.
3.（2019天津理14）在四边形ABCD 中，,
23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，
点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r
.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，
1AB AD ==． 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uur
AE BE 的最小值为
A ．
21
16
B ．
32
C ．
25
16
D ．3
E D
C
B
2．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3
π，向量b 满足2
430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是 A
1
B
1
C ．2
D
．2
3．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD
相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+的最大值为
A ．3 B
． C
D ．2
4．（2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值是
A ．2-
B ．32-
C ．4
3
- D ．1- 5．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，
AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅u u u r u u u r ，2·
I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r
＝，则 O
A
B
C
D
A ．1I <2I <3I
B ．1I <3I <2I
C ．3I < 1I <2I
D ．2I <1I <3I
6．（2016四川）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ，DA DB ⋅u u u r u u u r
=
DB DC ⋅u u u r u u u r =DC DA ⋅u u u r u u u r =-2，动点P ，M 满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u u
u r ，则2BM u u u u u r 的最大值
是 A ．
434 B ．49
4
C
．374+ D
．374+
7．(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o
，则BD CD ⋅u u u r u u u r
＝
A ．232a -
B ．23
4
a - C ．234a D ．232a
8．（2015新课标）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r
，则
A ．1433
AD AB AC =-+u u u r u u u
r u u u r B ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r
C ．4133A
D AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．4133
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r
9．（2015福建）已知AB AC ⊥u u u r u u u r ， 1
AB t
=u u u r ， AC t =u u u r ，若点P 是ABC ∆所在平面内一
点，且4AB AC
AP AB AC
=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
10．（2015四川）设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r
．若点,M N 满足
3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r ，则AM NM ⋅=u u u u r u u u u r
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
11．（2015湖南）已知点,,A B C 在圆2
2
1x y +=上运动，且AB BC ⊥．若点P 的坐标为
(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r
的最大值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．（2014安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,a b ，||||1==a b ，0⋅=a b ，点Q
满足)OQ =+u u u r a b ．曲线{|cos sin ,02}C P OP θθθπ==+u u u r
a b ≤≤，区域 {|0||,}P r PQ R r R Ω=<<u u u r
≤≤．若C ΩI 为两段分离的曲线，则
A ．13r R <<<
B ．13r R <<≤
C ．13r R ≤<<
D ．13r R <<< 13．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD
?o ，点,E F 分别在边,BC DC
上，BE λBC =，DF μDC =.若1AE AF
?u u u r u u u r
，2
3
CE CF
?-
u u u r u u u r ，则λμ+= A ．
12 B ．23 C ．56 D ．712
14．（2012天津）在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=u u u r u u u r ，
(1)AQ AC λ=-u u u r u u u r
，R λ∈．若2BQ CP ⋅=-u u u r u u u r
，则λ=
A ．
13 B ．23 C ．4
3
D ．2
15．(2012安徽)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，
将向量OP uuu r 绕点O 按逆时针旋转34
π
后得向量OQ uuu r
，则点Q 的坐标是
A ．(-
B ．(-
C ．(2)--
D ．(2)- 16．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ
αβββ
⋅=
⋅o ．若平面向量,a b 满足||||0>…a b ，a 与b 的夹角(0,)4π
θ∈，且a b o 和b a o 都在集合{|}2
∈n
n Z 中，则a b o = A ．
12 B ．1 C ．32 D ．5
2
17．（2011山东）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v (λ∈R )，1412
A A A A μ=u u u u v u u u u v (μ∈R )，且11
2λμ
+=，则 称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割 点(0,0)A ，(1,0)B ，则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上
D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 二、填空题
18．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，，(2,0)B ，E ，F 是y 轴上的两个
动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r
的最小值为______．
19．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：
22
50x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r
≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．
20．（2017天津）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r
，
AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r ()λ∈R ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r
，则λ的值为___________．
21．（2016年浙江）已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有
||||+…ae be ，则⋅a b 的最大值是 ．
22．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r
．
若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r
，则x =
；y = ．
23．（2015天津）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ∥,2AB =,1BC =,60ABC ∠=o
．
动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE BC λ=u u u r u u u r ，19DF DC λ
=u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r 的
最小值为 ．
24．（2015江苏）设向量(cos ,sin cos )666k k k k πππ
=+a (0,1,2,,12)k =⋅⋅⋅，
则∑=+⋅12
1)(k k k a a 的值为 ．
25．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、
DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=u u u r u u u r
，则λ的值为________．
26．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0),A B C -动点D 满
足||1CD =，则||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的最大值是 ．
27．（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在
边CD 上，若AB AF =u u u r u u u r g AE BF u u u r u u u r
g 的值是 ．
28．（2012山东）如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()1,0，此
时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动。

当圆滚动到圆心位于()1,2时，
OP 的坐标为 ．
29．（2010湖南）在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==u u u v u u u u vu u u v u u u v
则AD BE ⋅=u u u v u u u v
______． 三、解答题
30．（2015广东）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量22
(
22
=-m ，(sin ,cos )x x =n ， (0,)2
x π
∈．
（1）若⊥m n ，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为
3
π
，求x 的值． 31．（2014山东）已知向量()(),cos2,sin 2,m x x n ==a b ，函数()f x =⋅a b ，且
()y f x = 的图像过点312π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
（Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()
y g x =
的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1， 求()y g x =的单调递增区间．
32．（2014辽宁）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r
，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（Ⅰ）a 和c 的值；
（Ⅱ）cos()B C -的值．
33．（2013江苏）已知(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，0βαπ<<<．
(1) 若||-=
a b ⊥a b ；
(2) 设(0,1)=c ，若+=a b c ，求α，β的值．
34．（2013湖南）过抛物线2
:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的
直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D ．以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l ．
（I ）若120,0k k >>，证明：2
2FM FN p ⋅<u u u u r u u u r ；
（II ）若点M 到直线l 的距离的最小值为
，求抛物线E 的方程．
35．（2013辽宁）设向量)
(),sin ,cos ,sinx ,0,.2x x x x π⎡⎤
=
=∈⎢⎥⎣⎦
a b
（I ）若||||=a b ，求x 的值；
（II ）设函数()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值．
36．（2012江西）已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足
||()2MA MB OM OA OB +=⋅++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
．
（1）求曲线C 的方程；
（2）动点000(,)(22)Q x y x -<<在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l 。

问：是否
存在定点(0,)(0)P t t <，使得l 与,PA PB 都相交，交点分别为,D E ，且QAB ∆ 与PDE ∆的面积之比是常数？若存在，求t 的值．若不存在，说明理由．
37．（2011安徽）设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y x 2
=上运动，点Q 满足
λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足λ=,
求点P 的轨迹方程．
38．（2010江苏）在平面直角坐标系xoy 中，点(1,2)A --、(2,3)B 、(2,1)C --．
（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值．
专题五 平面向量
第十四讲 向量的应用
答案部分
2019年
1.解析 设()2
AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u r
r ，
1()(1)3
AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC
μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214
λμ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，
所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13
EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ，
221131266()()()43233
AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r
221322AB AB AC AC -+⋅+u u u
r u u u r u u u r u u u r ， 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322
AB AC =u u u
r u u u r ，
所以22
3AB AC
=u u u r u u u r
，所以AB AC =. 2.解析：正方形ABCD 的边长为1，
可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，0AB AD ⋅=u u u
r u u u r ，
123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++u u u r u u u r
2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++,
由于(1,2,3,4,5,6)
i i λ=2，3，4，5，取遍1±，
可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，
可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=，可得所求最小值为0； 由13564λλλλ-+-=，24564λλλλ-++=，
可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为25
3.解析 因为AB BE =，//AD BC ，30A ∠=o ，所以在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=o ，
又3AB =，所以2AE =，所以25
BE AD =-u u u r u u u r .
因为AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，所以25
AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r .
又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r ，
所以()
22
272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2272cos 55
AB AB AD A AD -+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r 732
12523251525-+⨯⨯-⨯=-. 2010-2018年
1．A 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，
y
B
A D
E
C。