2009年上海市下学期高考模拟试题汇编(数学-05立体几何)

2009年上海市下学期高考模拟试题汇编(数学-05立体几何)
上海市2009年高考模拟试题汇编
立体几何
一、填空、选择题
1、（2009上海青浦区）如图，用一平面去截球所得截面
的面积为π2cm 2
，已知 球心到该截面的距离为 1 cm ，则该球的体积是
cm 3. π34
2、（2009上海八校联考）已知一个球的球心O 到过球面
上A 、B 、C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若3AB BC CA ===，则球的体积为________________。

323
π
3、（2009上海十校联考）如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则
关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；
③有12个面；④表面积为2
3a ；⑤体积为3
6
5
a ．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）
理第11题
①②⑤
4、（2009上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面
积
是………………………………
………（ ）
A ．10π
B ．11π
C ．12π
D ． 13 C
二、解答题
1、（2009上海十四校联考）如图，三棱锥P —ABC 中，
PA ⊥平面ABC ，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E 是PC 的中点。

（1）求异面直线AE 和PB 所成角的大小； （2）求三棱锥A —EBC 的体积
解：（1）取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF//PB ， 所以∠AEF 就是异面直线AE 和PB 所成角或其补角；
………
……3分
∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA ⊥平面ABC ，
俯视正(主)侧(左)
3
2
分）
易得相关点的坐标分别为：()2,0,0A -，()130P ,-，()1
2,0,3A -，
()2,0,0B .得()3,3AP =，()1
4,0,3A B =-，
（9分） 设1A B 与AP 的夹角为θ，异面直线1
A B 与AP 所成的角为α， 则1
123cos 0A B AP A B AP
θ⋅==>⋅，得23arc αθ==即异面直线1
A B 与
AP
所成的角为
23
arc .
（12分）
3、（2009上海奉贤区模拟考）在直
三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠AB C=90°, AB=BC=1.
(1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的
大小；
(2)若直线A 1C 与平面ABC 所成角为45°, 求三棱锥A 1-ABC 的体积. （1）因为11
BC
B C ，所以∠BCA （或其补角）即为异面直线
11
B C 与AC 所成角 -------(3分)
∠AB C=90°, A B=BC=1，所以4BCA π∠=， -------(2分)
即异面直线1
1
B C 与AC 所成角大小为4
π。

-------(1分)
（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，1
A A ABC ⊥平面，所以1
A CA ∠即为
直线A 1C 与平面ABC 所成角，所以1
4
ACA π
∠=。

-------(2分)
Rt ABC
∆中，AB=BC=1得到2AC =1Rt
AA C
∆
中，得到1
2AA AC ==
------(2分) 所以11
23
6
ABC
ABC S AA -==
1A V
-------(2分)
4、（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体
1
111D C B A ABCD -中，（如图）
E
是棱1
1
D C 的中点，F 是侧面
D
D AA 11的中心．
（1） 求三棱锥EF D A 1
1
-的体积； 求EF 与底面1
1
1
1
D C B A 所成的角的大
小．（结果用反三角函数表示） （1）3
1
11311111=
⋅⋅==--F D A E EF
D A V V
．
（2）取1
1
D A 的中点G ，所求的角的大小等于GEF ∠的大小，
GEF
Rt ∆中2
2tan =
∠GEF ，所以EF 与底面1
1
1
1
D C B A 所成的角的大小
是2
2
arctan
．
5、（2009闵行三中模拟） 5．（本题满分12分）如图，在
棱长为
B
C D A 1
B 1
C 1 F
E
D 1 D1
C1
A1
B1
C
D
E
2的正方体11
1
1
ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与
平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF. ∵ EF ⊥平面ABCD ，
∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. (4)
分
由题意，得EF =11
1.2
CC =
∵
1
1, 5.
2
CF CB DF ==∴=…………………………..8分
∵ EF ⊥DF ， ∴ 5
tan 5
EF
EDF DF ∠==……………..10分
故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是5arctan 5
….12分
6、（2009上海普陀区）已知复数1
cos z x i
=+，2
1sin z
x i
=+⋅（i 是
虚数单位），且1
2
5
z z
-=.当实数
足条
()
2,2x ππ∈-时，试用列举法表示满件的x 的取值集合P .
解：如图，设BC 中点为D ，联结
AD
、OD
.
由题意，2OB OC ==,60BOC ∠=︒,所
以
OBC
△为等边三角形，
故2BC =，且3OD =E
D1C1A1
B1
B C
D
F O
C
B
第19题图
又1
332
ABC
S
BC AD AD =
⋅=⇒=△，
所以226
AO AD OD -=而圆锥体的底面圆面积为2
4S OC
ππ
=⋅=,
所以圆锥体体积146
3
ABC V S AO =⋅⋅=
△.
7、（2009上海十校联考）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的
正方形，PD ⊥底面ABCD ，且2PD =． （1） 若点E 、F 分别在棱PB 、AD 上，且4PE EB =，4DF FA =，求证：EF ⊥平面PBC ；
（2） 若点G 在线段PA 上，且三棱锥G PBC -的体积为14，试求线段PG 的长．
【解】（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向建立空间直角坐标系． …… 1分
则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2P ， 因为
4PE EB
=，
4DF FA
=，所以
4,0,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
442,,555E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， …… 3分
则420,,55EF ⎛
⎫=-- ⎪
⎝
⎭，
()
1,0,0BC =-，
F
E
D A
P
()1,1,2PB =--． …… 5分
EF BC ⋅=，0EF PB ⋅=，即EF 垂直于平面PBC 中两条相交直线，
所
以
EF ⊥
平
面
PBC
．
…… 7分 （2）()1,0,2PA =-，可设()01PG PA λλ=≤≤，
所以向量
PG
的坐标为
(),0,2λλ-，
…… 8分
平面PBC 的法向量为420,,55
EF ⎛⎫=--
⎪⎝
⎭
． 点
G
到平面
PCE
的距离
4
52555
PG EF
d EF
λ⋅===
． …… 10分
PBC
∆中，1
BC =，
5
PC =，
6
PB =，所以
5PBC S ∆=
． …… 12分
三棱锥
G PBC
-的体积
115133234
5PBC V S d λ∆=⋅=⋅==
，所以
34
λ=
． …… 13分
此时向量PG 的坐标为33,0,42⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，3
54
PG =PG 的长为3
54
…… 14分
8、（2009重点九校）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒
∠=，PA 垂直于底面ABCD ，
N
M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。

(1)求证：DM PB ⊥；
（2）求BD 与平面ADMN 所成的角； 解:
（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =，
所以PB AN ⊥。

由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥， 又90BAD ︒
∠=，即BA AD ⊥，
∴ ⊥AD 平面PAB ，所以PB AD ⊥ ， ∴
⊥PB 平面ADMN ，
∴DM
PB ⊥。

(5)
分
（2）连结DN ，
因为⊥BP 平面ADMN ，即⊥BN 平面ADMN ， 所以BDN ∠是BD 与平面ADMN 所成的角，
在Rt ABD ∆中，2222
BD BA AD =+=，
在Rt PAB ∆中，222
PB PA AB =
+=122
BN PB ==， 在Rt BDN ∆中, 2
1
sin ==∠BD BN BDN ， 又π≤∠≤BDN 0，
故BD 与平面ADMN 所成的角是6π。

…… 12分 备注：（1）、（2）也可以用向量法：
（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示（图略）
由22====BC AB AD PA ，得(0,0,0)A ，1(0,0,2),(2,0,0),(1,,1),(0,2,0)2P B M D 因为3(2,0,2)(1,,1)2PB DM ⋅=-- 0= ， 所
以
DM
PB ⊥。

…… 5分
（2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0= 所以PB AD ⊥，又DM PB ⊥ ，
故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量。

设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-。

则||1
sin |cos ,|2
||||
4444BD PB BD PB BD PB θ⋅=<>==
=
+⨯+，
又[0,]2πθ∈，故6πθ=，即BD 与平面ADMN 所成的角是6
π。

M
A
D
O
因此
BD
与平面
ADMN
所成的角为6
π
， …… 12分
9、(2009闸北区) 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ABCD ⊥底面，2OA =，M 为OA 的中点．
（Ⅰ）求四棱锥O ABCD -的体积； （Ⅱ）求异面直线OB 与MD 所成角的大
小．
解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形
ABCD
的面积4
=S ，……………………………2分 所以
，
求
棱
锥
ABCD
O -的
体
积
3
82431=
⨯⨯=V ………………………………………4分
（Ⅱ）方法一（综合法） 设线段AC 的中点为E ，连接ME ，
则
EMD
∠为异面直线OC 与
MD
所成的角（或其补
角） ………………………………..1分 由已知，可得5
,3,2===MD EM DE ， 2
2
2
)5()3()2(=+
DEM
∆∴为直
角
三
角
形 ……………………………………………………………….2分
3
2tan ==
∠∴EM
DE
EMD ， …………………………………………
…………………….4分
3
23arctan
=∠∴EMD ．
所以，异面直线OC 与MD 所成角的大小
3
23arctan
． …………………………..1分
方法二(向量法)
以AB,AD,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系， 则
)
0,2,0(),1,0,0(),0,2,2(),2,0,0(D M C O , …………………………………
…………………2分
)2,2,2(-=，
)
1,2,0(-=， ………………………………………………
………………………………..2分
设异面直线OC 与MD 所成角为θ，
5
15cos ==
θ．………………………………..
…………………………3分 ∴
OC
与MD 所成角的大小为
5
15arccos
．……………………………………………1分。