2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1课件：第二章 空间向量与立体几何 2.5.3

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1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l
与平面α所成的角等于( )
A.120° B.60° C.30° D.以上均错 解析:直线l与平面α所成的角θ=120°-90°=30°. 答案:C
×) (3)当直线与平面的夹角为0°时,说明直线与平面平行. ( × )
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探究一
探究二
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直线与平面的夹角 【例1】在平面四边形ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面 ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值; (2)平面APC与平面PAB夹角的余弦值. 思维点拨:先利用面面垂直关系,建立空间直角坐标系,再利用线 面角、面面角的向量方法求解.
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解:设AB的中点为D,连接CD,作PO⊥AB于点O. 因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PO⊥平 面ABC.所以PO⊥CD. 由AB=BC=CA,知CD⊥AB. 设E为AC中点,连接OE,则EO∥CD, 从而OE⊥PO,OE⊥AB. 如图,以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系.
∴AB⊥BE,AB⊥BD.
设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),
探究一
探究二
一题多解
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取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1). 设直线AD与平面MBC所成角为θ,
反思感悟本题属于点、线、面的位置关系的判定与空间角的求 解的综合性问题.针对第(1)问,涉及线线垂直的证明一般直接用判 定或性质定理即可.针对第(2)问,涉及线面角的解决要侧重于建系, 用向量的方法解决.
即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
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方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,
取A1B1的中点M,由方法一知∠C1AM是直线AC1与侧面ABB1A1的 夹角.
探究一
探究二
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一题多解
变式训练在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与平面A1B1CD所成 的角.
解:(方法一)如图,连接BC1,与B1C交于点O,连接A1O.由题意可知 A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⫋ 平面BCC1B1,所以A1B1⊥BC1,因为在正方 体ABCD-A1B1C1D1中,BC1⊥B1C,且B1C∩A1B1=B1,所以BC1⊥平面 A1B1CD,故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影,即∠BA1O为A1B与平 面A1B1CD所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
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【做一做1】 已知线段AB=8,AB在平面α内的射影长为4,则直线
AB与平面α所成的角θ为( )
A.30°
B.60° C.90° D.120°
答案:B
【做一做2】 已知直线l的方向向量为s=(1,0,0),平面π的法向量
(1)求证:AB⊥CD; (2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
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思维点拨:在第(1)问中,考查线线垂直问题,要寻求线线垂直的条 件,可以是线面垂直或面面垂直.结合具体条件,利用面面垂直去证 明线线垂直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以 了.在第(2)问中,欲求直线与平面所成角的正弦值,自然联想到借助 于向量解决,建立合适的坐标系之后,求得平面的法向量n,再在直线 上确定一个方向向量,求得这两个向量夹角的余弦值,其绝对值即 为线面角的正弦值.
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探究二
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反思感悟求空间角的两种思路: (1)几何法:利用定义找出空间角,一般都放在某个三角形中,然后 解三角形即可. (2)向量法:一般用向量的坐标法解决,先根据条件建立空间直角 坐标系,再利用线线角、线面角、面面角的向量法夹角公式求解.
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变式训练1已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4 的正方形,长方体的高AA1=3,则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值
等于( )
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
思路点拨:
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解:方法一:如图所示,取A1B1的中点M, 则C1M⊥A1B1,又因为平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,且交线为A1B1,所 以C1M⊥平面ABB1A1,故AM为AC1在平面ABB1A1上的投影,即 ∠C1AM为直线AC1与侧面ABB1A1的夹角.在Rt△AC1M中,
为n=(2,1,1),则直线与平面夹角的正弦值为 .
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”. (1)直线与平面的夹角都是锐角. ( × ) (2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. (
∵底面是边长为4的正方形,AA1=3, ∴A1(4,0,0),B(4,4,3),C1(0,4,0).
答案:C
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夹角的综合计算 【例2】如图,在三棱锥P-ABC 中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.
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(方法二)如图,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,则 由题意可知A1(1,0,1),B(1,1,0).连接BC1,与B1C交于点O,
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(方法三)如图,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,
5.3 直线与平面的夹角
-1-
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直线与平面的夹角
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(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⫋
平面ABD,AB⊥BD,
∴AB⊥平面BCD. 又CD⫋ 平面BCD,∴AB⊥CD.
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(2)解:过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图. 由(1)知AB⊥平面BCD,BE⫋ 平面BCD,BD⫋ 平面BCD,
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变式训练2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为 AA1,B1C的中点,DE⊥平面BCC1B1.
(1)证明:AB=AC; (2)设平面ABD与平面BCD的夹角为60°,求B1C与平面BCD所成 的角的大小.
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2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧
面ACC1A1夹角的正弦值等于( )
解析:如图, 作B1D⊥A1C1,垂足为D,连接AD.
∵ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴B1D⊥平面ACC1A1, ∴∠B1AD为所求的AB1与侧面ACC1A1的夹角.
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∴θ=30°,即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
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4.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC= PA,点O,D分别是 AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.
答案:A
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3.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC= ,则PA与底面
ABC的夹角为 .
解析:取BC的中点O,
因为PO⊥BC,且AO∩BC=O, 所以PO⊥平面ABC,即∠PAO为PA与底面ABC的夹角.
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名师点拨1.直线与平面所成的角用向量来求时,得到的不是线面 角,而是它的余角(或补角的余角).应注意到线面角为锐角(或直角).
2.直线与平面所成角θ的范围是 .可通过直线的方向向量与 平面的法向量的夹角φ求得,关系式:sin θ=|cos φ|或cos θ=sin φ.
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(1)证明:以A为坐标原点, 射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设
B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),
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通题通法求线面角的三个思路: (1)几何法:利用定义在图中作出线面角,然后证明,放在直角三角 形中求角. (2)几何与向量结合法:利用定义在图中找(作)出线面角,然后证明, 转化为向量的夹角计算. (3)向量法:利用线面角θ和直线的方向向量s与平面的法向量n的 夹角<s,n>之间的公式sin θ=|cos<s,n>|计算.
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所以∠BA1O=30°,即A1B与平面A1B1CD所成的角是30°.
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线面角的求法 【典例】 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 a, 求AC1与侧面ABB1A1的夹角.