高中数学 课时达标训练(十五)空间向量的数乘运算 新人教A版选修21

课时达标训练（十五）空间向量的数乘运算
[即时达标对点练]
题组1 空间向量的线性运算
1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则
等于( )
2．如图，在空间平移△ABC 到△A ′B ′C ′，连接对应顶点，设，
＝c ，M 是BC ′的中点，N 是B ′C ′的中点，用向量a 、b 、c 表示向量
等于( )
A ．a ＋12b ＋12c B.12a ＋12b ＋12c
C ．a ＋12b D.12a
3．如图所示，空间四边形OABC 中，
，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，
N 为BC 中点，则等于( )
A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c
C.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c
题组2 向量共线问题
4．下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )
5．已知向量a ，b ，且
＝7a －2b ，则一定共线的三点
是( )
A ．A 、
B 、D B ．A 、B 、
C C ．B 、C 、
D D ．A 、C 、D
7．已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且
，
.求证：四边形EFGH 是梯形．
题组3 向量共面问题
8．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( ) A ．m 、n 、p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线 D ．m 、n 、p 共面 9．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若
，则P 、A 、B 、
C 四点( )
A ．不共面
B ．共面
C ．不一定共面
D ．无法判断是否共面
10．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足.
(1)判断
三个向量是否共面；
(2)判断M 是否在平面ABC 内．
[能力提升综合练]
1．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若＝a ，
＝b ，
＝c ，则下列向量中与
相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2b ＋c
B.12a ＋1
2b ＋c C.12a －1
2
b ＋c
D ．－12a －1
2
b ＋c
2．如图所示，已知三棱锥O ­ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设
，则x ，y ，z 的值分别为( )
A ．x ＝13，y ＝13，z ＝1
3
B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16
C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13
D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13
3．下面关于空间向量的说法正确的是( ) A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行 B ．若向量a ，b 所在直线是异面直线，则a ，b 不共面 C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量不共面
D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量
不共面
4．已知G 为正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则
等于( )
5．有下列命题： ①若，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若
，则A ，B ，C 三点共线；
③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋1
10
e 2，则a ∥b ；
④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2
＝k 3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
6．在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简
，并在图中标出化简结果的向量．
7．如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝
2
3
DD 1.
(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；
(2)若 ，求x ＋y ＋z 的值．
答 案 即时达标对点练
1. 解析：选A
2. 解析：选D
3. 解析：选B 由向量加法法则可知
＝
＝－
2
3a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12
c .
4. 解析：选C 由可知，
共线，又因为
有一个公共点B ，
故A ，B ，C 三点共线．
5. 解析：选A ∵
＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2
，
∴A 、B 、D 三点共线． 6.
∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩
⎪⎨⎪⎧1＝6λ，
k ＝6λ，∴k ＝1.
答案：1
7. 证明：∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，
∴四边形EFGH 是梯形．
8. 解析：选D 由于(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，
即m ＋n ＝2p ，即p ＝12m ＋1
2n ，又m 与n 不共线，所以m ，n ，p 共面．
9.
由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面． 10.
(2)由(1)知向量
共面且它们有共同的起点M ，又A ，B ，C 三点不共线，
∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．
能力提升综合练
1. 解析：选A ＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋1
2
b
＋c .
2.
3. 解析：选D 可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B ，C 都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A 不正确，可用反证法证明D 是正确的．
4.
5. 解析：根据共线向量的定义，若，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故
①错；
且
有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4(－e 1＋1
10
e 2)＝
－4b ，所以a ∥b .故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
6. 解：∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，
7.
解：(1)证明：∵ABCD ­A 1B 1C 1D 1是平行六面体，
∴x ＋y ＋z ＝1
3.。