达标测试华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形同步测评试题(含详细解析)

八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形同步测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH，那么BH
的值为（）
AE
A．1 B C D．2
2、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）
A ．先变大后变小
B ．先变小后变大
C ．一直变大
D ．保持不变
3、下列命题是真命题的是（ ）
A ．有一个角为直角的四边形是矩形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D ．有一组邻边相等的矩形是正方形
4、如图，把一张长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为点B ′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论正确的是 （ ）
A ．∠DA
B ′＝∠CAB ′
B ．∠ACD ＝∠B ′CD
C ．A
D ＝A
E D ．AE ＝CE
5、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，6BC =，BDC ∆面积为21，AB 的垂直平分线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为
（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 6、如图，已知双曲线 (0)k
y x x => 经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F 且交 BC 于 E ，四边形
OEBF 的面积为 2，则()k =
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
7、如图，长方形OABC 中，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上．4OA BC ==，8AB OC ==．点D 在边AB 上，点E 在边OC 上，将长方形沿直线DE 折叠，使点B 与点O 重合．则点D 的坐标为（ ）
A ．()4,4
B ．()5,4
C ．()3,4
D ．()6,4
8、将一长方形纸条按如图所示折叠，255∠=︒，则1∠=（ ）
A ．55°
B ．70°
C ．110°
D ．60°
9、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0)k y x x
=>的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点.C 若菱形OABC 的面积为9，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10、已知锐角∠AOB ，如图．
（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交射线OB 于点D ，连接CD ；
（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接CP ，DP ；
（3）作射线OP 交CD 于点Q ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A ．四边形OCPD 是菱形
B ．CP =2Q
C C ．∠AOP =∠BOP
D ．CD ⊥OP
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）
1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，且顶点B 的坐标是（1，2），如果以O 为圆心，OB 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点P ，那么点P 的坐标是_______．
2、如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 为CD 边上一点，将ADE 绕点A 旋转至ABE '△，连接EE '，若2DE =，则EE '的长等于______．
3、如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点P 为边AB 上一个动点，连接PE ，以PE 为对称轴折叠PBE △得到PFE △，点B 的对应点为点F ，若2AB =，当射线EF 经过正方形ABCD 边的中点（不包括点E ）时，BP 的长为_____________．
4、点P 为边长为2的正方形ABCD 内一点，PBC 是等边三角形，点M 为BC 中点，N 是线段BP 上一动点，将线段MN 绕点M 顺时针旋转60°得到线段MQ ，连接AQ 、PQ ，则AQ PQ +的最小值为______．
5、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．
6、如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且<AM AB ，CBE △由DAM △平移得到，若过点E 作EH AC ⊥，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得
60DHC ∠=︒时，2=BE DM ；②无论点M 运动到何处，都有DM =；③在点M 的运动过程中，四边形CEMD 可能成为菱形；④无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135︒以上结论正确的有______（把所有正确结论的序号都填上）．
7、菱形的性质：
（1）两组对边分别____________，菱形的四条边都____________．
（2）菱形的两组对角____________，邻角____________
（3）菱形的对角线互相____________，并且每一条对角线____________一组对角．
（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有____________条对称轴，其对称轴为两条对角线所在直线，对称中心为其____________的交点．
8、正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________．
9、有一组邻边相等的平行四边形是____________
菱形是特殊的____________，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质．
10、如图，正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点（不含C 、)D ，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，过H 作HG BD ⊥于G ，连接AH ，EH ．下列结论：①AF FH =；②45HAE ∠=︒；③
FH 平分GHC ∠；④2BD FG =，正确的是__（填序号）
．
三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）
1、如图，矩形ABCD ，延长CD 至点E ，使DE CD =，连接AC ，AE ，过点C 作//CF AE 交AD 的延长线于点F ，连接EF ．
(1)求证：四边形ACFE 是菱形；
(2)连接BE ，当4AC =，30ACB ∠=︒时，求BE 的长．
2、如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A ，B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接CF 并延长交DE 延长线于点K ．
(1)根据题意，补全图形；
(2)求∠CKD的度数；
(3)请用等式表示线段AB、KF、CK之间的数量关系，并说明理由．
3、如图，AD//BE，AC平分BAD
∠，且交BE于点C．
(1)作ABE
∠的角平分线交AD于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
(2)根据（1）中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．
4、如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＞AB．
(1)作∠BCD的角平分线交AD于点E，在BC上截取CF＝CD（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接EF，猜想四边形CDEF的形状，并证明你的结论．
5、在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q 均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的
长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．
【详解】
解：如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，
，
∵AD=AB，
∴DM=BE，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∠1=∠2，
∴∠DFG=90°，
在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，
∵DF DC
DG DG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ），
∴∠3=∠4，
∵∠ADC =90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴2∠2+2∠3=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EDG =45°，
∵EH ⊥DE ，
∴∠DEH =90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED +∠BEH =∠AED +∠1=90°，DE =EH ， ∴∠1=∠BEH ，
在△DME 和△EBH 中，
∵1DM BE BEH
DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△DME ≌△EBH （SAS ），
∴EM =BH ，
Rt △AEM 中，∠A =90°，AM =AE ，
∴EM ，
∴BH ，即BH
AE
．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．
2、D
【解析】
【分析】
连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，推出ABCD DEGF S S =矩形，由此得到答案． 【详解】
解：连接AE ，
∵11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，
∴ABCD DEGF S S
=矩形，
故选：D ． ．
【点睛】 此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE 是解题的关键．
3、D
【解析】
【分析】
根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，结合选项进行判断即可．
【详解】
A.有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项为假命题；
B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项为假命题；
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项为假命题；
D.有一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项为真命题．
故选：D．
【点睛】
考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，熟练掌握它们的判定方法是解题的关键．
4、D
【解析】
【分析】
根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．
【详解】
解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BAC=∠CAB′，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAB′，
∴AE=CE，
∴结论正确的是D选项．
故选D.
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
5、C
【解析】
【分析】
连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，根据垂直平分线的性质得到PA PB =，再根据PB PQ AP PQ AQ +=+≥计算即可；
【详解】
连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，
∵6BC =，BDC ∆面积为21， ∴1212
BC DH =， ∴7DH =，
∵MN 垂直平分AB ，
∴PA PB =，
∴PB PQ AP PQ AQ +=+≥，
∴当AQ 的值最小时，PB PQ +的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ BC ⊥时，AQ 的值最小， ∵AD BC ∥，
∴7AQ DH ==，
∴PB PQ +的值最小值为7；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．
6、B
【解析】
【分析】 利用反比例函数图象上点的坐标，设()k F a a ，，则根据F 点为AB 的中点得到2()k B a a
，．然后根据反比例函数系数k 的几何意义，结合OAF OCE OABC OEBF S S S S =++矩形四边形，即可列出11222
B B x y k k ⋅=++，解出k 即可．
【详解】 解：设()k F a a
，， ∵点F 为AB 的中点， ∴2()k B a a
，． ∵OAF OCE OABC OEBF S S S S =++矩形四边形， ∴11222B B x y k k ⋅=++，即211222
k a k k a ⋅=++， 解得：2k =．
故选B ．
【点睛】
本题考查反比例函数的k 的几何意义以及反比例函数上的点的坐标特点、矩形的性质，掌握比例系数k 的几何意义是在反比例函数(0)k
y k x
=≠图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与
坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解答本题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．
【详解】
解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=(8-x)2，
∴x=3，
3,4，
∴D()
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
8、B
【解析】
【分析】
从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．
【详解】
解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，221180
∠+∠=︒，
255∠=︒，
170∴∠=︒．
故选：B ．
【点睛】
本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．
9、B
【解析】
【分析】
根据题意，可以设出点C 和点A 的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k 的值，本题得以解决．
【详解】
解：设点A 的坐标为()0a ，
，点C 的坐标为k c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， ∴点D 的坐标为22a c k c +⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 菱形OABC 的面积为9，
9k a c
∴⋅=①， 点D 在反比例函数(0)k
y x x =>的图象上，
22a c k k c +∴
⋅=②， 解得，3k =，
故选：B ．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐
标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10、A
【解析】
【分析】
根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．
【详解】
解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠
∴OP 垂直平分线段CD
∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP
故选项C ，D 正确；
由作图可知，CD CP PD ==
∴PCD ∆是等边三角形，
∴60CPD ∠=︒
∵OP 垂直平分线段CD
∴30CPQ ∠=︒
∴CP =2QC
故选项B 正确，不符合题意；
由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，
故选：A
【点睛】
本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．
二、填空题
1、0）
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．
【详解】
由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，
∵OB
∴OP
∴点P0）．
故答案为：0）．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．
2、
【解析】
【分析】
在正方形ABCD中，BE′＝DE＝2，所以在直角三角形E′CE中，E′C＝8，CE＝4，利用勾股定理求得EE′的长即可．
【详解】
解：在正方形ABCD中，∠C＝90°，
由旋转得，BE′＝DE＝2，
∴E ′C ＝8，CE ＝4，
∴在直角三角形E ′CE 中，
EE
故答案为
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质与勾股定理的知识，正确的利用旋转和正方形的性质得出直角三角形边长并正确的应用勾股定理是解题的关键．
3、11
【解析】
【分析】
分EF 经过正方形ABCD 另三边三种情况求解即可
【详解】
解：①EF 经过CD 边中点O 时，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA ，90C B ∠=∠=︒，
∵点O 是CD 边中点，点E 是BC 边中点， ∴11,22
OC CD EC BC ==．
∵CE=CO =1，
∴45CEO ∠=︒， 由折叠得11(180)((18045)67.522
FEP BEP CEO ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴22.5FPE BPE ∠=∠=︒．
∴45FPB FPE BPE ∠=∠+∠=︒，
作FG ⊥AB 于G ，作EH ⊥FG 于H ，如图，
设FH=x ，则BG=EH=FH=x ，
∵45BPF ∠=︒，
∴PG ＝FG=x +1，
∴BP =2x +1，
由勾股定理得1)PF x =+，
由折叠得PB=PF ，
∴211)x x +=+，
解得x =
∴12BP =>，
∴点P 在AB 外，不符合题意；
②EF 经过AD 边中点O '，如图，
此时，190452
FEP BEP ∠=∠=⨯︒=︒，
∴BP=BE =1；
③EF 经过AB 中点O ''，如图，
∵O ''B=BE ，
∴45EO B ''∠=︒．
由折叠得90PFE B ∠=∠=︒，
设PF=x ，则,O P PB x ''==，
1x +=，
∴1，即1，
综上，BP 的长为11，
故答案为：11．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．
4【解析】
【分析】
如图，取,BP PC 的中点,E F ，连接EF ，,EM AM ，PM ，证明BMN EMQ ≌，进而证明Q 在EF 上
运动， 且EF 垂直平分PM ，根据AQ PQ AQ MQ AM +=+≥，求得最值，根据正方形的性质和勾股定理求得AM 的长即可求得AQ PQ +的最小值．
【详解】
解：如图，取,BP PC 的中点,E F ，连接EF ，,EM AM ，PM ，
将线段MN 绕点M 顺时针旋转60°得到线段MQ ，
MN MQ ∴=，60NMQ ∠=︒ PBC 是等边三角形，
PB BC ∴=,60PBC ∠=︒
,E F 是,BP PC 的中点，M 是BC 的中点
BM BE ∴=
BEM ∴是等边三角形
BME ∴∠60=︒，BM BE =
NMQ BME ∴∠=∠
BME NME NMQ NME ∴∠-∠=∠-∠
即BMB EMQ ∠=∠
在BMN △和EMQ 中，
BM EM BMN EMQ MN MQ =⎧⎪∠-⎨⎪=⎩
∴BMN EMQ ≌
60MEQ MBN ∴∠=∠=︒
又60EMB ∠=︒
MEQ EMB ∴∠=∠
EQ BC ∴∥
,E F 是,BP PC 的中点
EF BC ∴∥
Q ∴点在EF 上 M 是BC 的中点，PBC 是等边三角，
PM BC ∴⊥
EF PM ∴⊥ 又11,22
EP PB EM EB PB === EP EM ∴=
EF ∴垂直平分PM
QP QM ∴=
AQ PQ AQ MQ AM ∴+=+≥
即AQ PQ +的最小值为AM
四边形ABCD 是正方形，且2AB =
AM ∴==
+
∴AQ PQ
【点睛】
本题考查了正方形的性质等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，根据以上知识转化线段是解题的关键．
5、20
【解析】
【分析】
先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．
【详解】
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，
∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，
∴∠DAD′=90°-70°=20°，
即α=20°．
故答案为20．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6、①②④
【解析】
【分析】
由正方形性质、三角形性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及全等三角形的判定及性质，对结论推理论证即可．
【详解】
由题意得AM BE =
∴AB EM =
∵四边形ABCD 是正方形，EH AC ⊥
∴EM AD =，90AHE =︒∠，45MEH DAH EAH ∠=∠=∠=︒
∴EH AH =
∴()MEH DAH SAS ≅△△
∴MHE DHA ∠=∠，MH DH =
∴90MHD AHE ∠=∠=︒，DHM △为等腰直角三角形
∴DM
故②正确
当60DHC ∠=︒时，604515ADH ∠=︒-︒=︒
∴Rt ADM △中，DM =2AM
即DM =2BE
故①正确
∵CD //EM ，AD //DM
∴四边形CEMD 是平行四边形
∵DM AD >，AD CD =
∴DM CD >
∴四边形CEMD 不可能为菱形
故③错误
∵点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合）且<AM AB
∴45AHM BAC ∠<∠=︒
∴135CHM ∠>︒
故④正确
综上所述①②④正确
故答案为：①②④．
【点睛】
本题为四边形内的综合问题，熟悉正方形、三角形、平行四边形、菱形以及全等三角形的等知识点的性质是解题的关键．
7、 平行 相等 相等 互补 垂直 平分 两 对角线
【解析】
略
8、8
【解析】
【分析】
正方形边长相等设为a ，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积．
【详解】
解：设边长为a ，对角线为4 24a =+28a ∴=
故答案为：8．
【点睛】
本题考察了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．
9、 菱形 平行四边形
【解析】
略
10、①②④
【解析】
【分析】
连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．可证ADF CDF ∆∆≌，进而可得FHC FCH ∠=∠，由此可得出FH AF =；再由FH AF =，即可得出45HAE ∠=︒；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =，证明AOF FGH ≌，即可得出OA GF =，进而可得2BD FG =；过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，由于F 是动点，FN 的长度不确定，而FG OA =是定值，即可得出FH 不一定平分GHC ∠．
【详解】
解：如图，连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．
∵BD 为正方形ABCD 的对角线
∴45ADB CDF ∠=∠=︒，AD CD =
在ADF 和CDF 中
45AD CD ADB CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴()ADF CDF SAS ∆∆≌
∴AF FC =，DCF DAF ∠=∠
∵90AFL ∠=︒，90ALH LAF ∠+∠=︒ ，ALH FHC ∠=∠
∴90LHC DAF ∠+∠=︒
∵DCF DAF ∠=∠，90FCD FCH ∠+∠=︒
∴FHC FCH ∠=∠
∴FH FC =
∴AF FH =
故①正确；
∵90AFH ∠=︒，AF FH =
∴AFH 是等腰直角三角形
∴45HAE ∠=︒
故②正确；
连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =
∵90AFO GFH GHF GFH ∠+∠=∠+∠=︒
∴AFO GHF ∠=∠
在AOF 和FGH 中
90AFO GHF AOF FGH AF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴()AOF FGH AAS ∆∆≌
∴OA GF =
∴22BD OA GF ==
故④正确．
过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，F 是动点
∵FN 的长度不确定，而FG OA =是定值
∴FN 不一定等于FG
FH ∴不一定平分GHC ∠
故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质得到∠ADC ＝90°，求得AE ＝AC ，EF ＝CF ，根据平行线的性质得到∠EAD ＝∠AFC ，求得AE ＝EF ＝AC ＝CF ，于是得到结论；
（2）由直角三角形的性质可求AB ＝2，BC ＝
(1)
证明：四边形ABCD 是矩形，
90ADC ∴∠=︒，
AF CE ∴⊥，
又CD DE =，
AE AC ∴=，EF CF =，
EAD CAD ∴∠=∠，
//AE CF ，
EAD AFC ∴∠=∠，
CAD CFA ∴∠=∠，
AC CF ∴=，
AE EF AC CF ∴===，
∴四边形ACFE 是菱形；
(2)
解：4AC =，30ACB ∠=︒，90ABC ∠=︒，
1
2
2
AB AC ∴==，BC ， 2CD AB DE ===，
BE ∴
【点睛】
本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
2、 (1)见解析
(2)45°
(3)KF2+CK2=2AB2，见解析
【解析】
【分析】
（1）按题意要求出画出图形即可；
（2）过点D作DH⊥CK于点H，由轴对称的性质得出DA=DF，∠ADE=∠FDE，由正方形的性质得出∠ADC=90°，AD=DC，证出∠EDH=45°，由直角三角形的性质可得出结论；
（3）连接AC，由轴对称的性质得出AK=KF，∠AKE=∠CKD=45°，由正方形的性质得出∠B=90°，∠BAC=45°，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出结论．
(1)
如图，
(2)
过点D作DH⊥CK于点H，
∵点A关于DE的对称点为点F，
∴DA=DF，∠ADE=∠FDE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
∴DF=DC，
∵DH⊥CK，
∴∠FDH=∠CDH，∠DHF=90°，
∴∠ADE+∠FDE+∠FDH+∠CDH=90°，
∴∠FDE+∠FDH=45°，
即∠EDH=45°，
∴∠CKD=90°-∠EDH=45°；
(3)
线段AB、KF、CK之间的数量关系为：KF2+CK2=2AB2．证明：连接AC，
∵点A关于DE的对称点为点F，
∴AK=KF，∠AKE=∠CKD=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠BAC=45°，
在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC，
在Rt△AKC中，∠AKC=90°，
∴AK2+CK2=AC2，
∴KF2+CK2=2AB2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据角平分线定义和平行线性质证明∠BAC=∠ACB，∠AFB=∠CBF，再根据三角形的等角对等边证得AF=AB=BC，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可．
(1)
解：如图，射线BF即为所求作的角平分线；
(2)
解：∵AC平分∠BAD，BF平分∠ABE，
∴∠BAC=∠FAC，∠ABF=∠CBF，
∵AD∥BE，
∴∠ACB=∠FAC，∠AFB=∠CBF，
∴∠BAC=∠ACB，∠AFB=∠ABF，
∴A B=BC，AB=AF，
∴BC=AF，又AF∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCF是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图-作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
4、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【小题1】
解：如图，射线CE，线段CF即为所求．
【小题2】
结论：四边形CDEF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DEC=∠ECF，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠ECF，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD，
∵CF=CD，
∴DE=CF，
∵DE∥CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵CD=CF，
∴四边形CDEF是菱形．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5、 (1)见解析
(2)4
(3)4
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC 交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD 的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
(1)
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
(2)
如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
(3)
如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=1
2×PF×PH-1
2
×PF×TM-1
2
×QH×CN=1
2
×8×8-1
2
×8×4-1
2
×6×3=7．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．。