二次方程、无理方程练习题(含答案)

一 元 二 次 方 程
1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x
2
+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数
是 ；常数项是 。

2、已知方程2(m+1)x 2
+4mx+3m －2=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的取值范围是 。

3、已知关于x 的一元二次方程(2m －1)x 2
+3mx+5=0有一根是x=－1，则m= 。

4、已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2+2x －k 2
－2k+3=0的一个根为零，则k= 。

5、已知关于x 的方程(m+3)x 2－mx+1=0，当m 时，原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程，则m 的取值范围是 。

6、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2
+(m+1)x+m －2=0是一元二次方程，则m 的取值范围是 ；当m= 时，方程是一元二次方程。

7、把方程a(x 2+x)+b(x 2－x)=1－c 写成关于x 的一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项，并求出是一元二次方程的条件。

8、关于x 的方程(m+3)x 2
－mx+1=0是几元几次方程?
9、0.01y 412
=
10、
053
x 0.22=-
11、(x+3)(x －3)=9
12、(3x+1)2
－2=0
13、(x+
2)2=(1+2)2
14、0.04x 2
+0.4x+1=0
15、(
2x －2)2=6
16、(x －5)(x+3)+(x －2)(x+4)=49 17、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x
2
+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数
是 ；常数项是 。

18、已知方程：①2x 2－3=0；②1112=-x ；③0131212
=+-y y ；④ay 2+2y+c=0；⑤(x+1)(x －3)=x 2+5；⑥x
－x 2=0 。

其中，是整式方程的有 ，是一元二次方程的有 。

(只需填写序号)
19、填表：
20、分别根据下列条件，写出一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a ≠0)的一般形式：
(1)a=2，b=3，c=1；
(2)
52
,43,21=
=-=c b a ； (3)二次项系数为5，一次项系数为－3，常数项为－1；
(4)二次项系数为mn ，一次项系数为3m
-
，常数项为－n 。

21、已知关于x 的方程(2k+1)x
2
－4kx+(k －1)=0，问：
(1)k 为何值时，此方程是一元一次方程?求出这个一元一次方程的根；
(2)k 为何值时，此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系 数、常数项。

22、把(x+1)(2x+3)=5x 2+2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ，根的判别式△= 。

23、方程(x 2
－4)(x+3)=0的解是 。

24、(x －5)(x+3)+x(x+6)=145；
25、(x 2－x+1)(x 2
－x+2)=12；
26、ax 2
+(4a+1)x+4a+2=0(a ≠0)。

一元二次方程的解法
1、方程
53
x 0.22-
的解是 。

2、方程3－(2x －1)2
=0的解是 。

3、方程3x 2
－5x=0的解是 。

4、方程x
2+2x －1=0的解是 。

5、设x 2+3x=y ，那么方程x 4+6x 3+x 2
－24x －20=0可化为关于y 的方程是 。

6、方程(x 2－3)2+12=8(x 2
－3)的实数根是 。

7、用直接开平方法解关于x 的方程：x 2－a 2
－4x+4=0。

8、2x 2
－5x －3=0
9、2x 2+
2x=30
10、
)
51
(y 522-=y 11、3x(2－3x)=－1 12、3x 2
－5x=0
13、x
2－2x －3x+6=0
14、3x(3x －2)=－1
15、25(x+3)2
－16(x+2)2=0 16、4(2x+1)2=3(4x 2
－1) 17、(x+3)(x －1)=5 18、3x(x+2)=5(x+2)
19、(1－
2)x 2=(1+2)x
20、
100363)100x 3(12=+
21、25(3x －2)2
=(2x －3)2 22、3x 2
－10x+6=0
23、(2x+1)2
+3(2x+1)+2=0
24、x
2
－(2+2)x+2－3=0
25、abx
2
－(a 4+b 4)x+a 3b 3=0(a ·b ≠0)
26、mx(x －c)+(c －x)=0(m ≠0)
27、abx 2+(a 2－2ab －b 2)x －a 2+b 2
=0(ab ≠0)
28、x 2－a(2x －a+b)+bx －2b 2
=0
29、 解方程：x 2
－5｜x ｜+4=0。

30、(2x 2－3x －2)a 2+(1－x 2)b 2－ab(1+x 2
)=0
31、mx(m －x)－mn 2－n(n 2－x 2
)=0
32、已知实数a 、b 、c 满足：232+-a a +(b+1)2+｜c+3｜=0，求方程ax 2+bx+c=0的根。

33、已知：y=1是方程y
2
+my+n=0的一个根，求证：y=1也是方程nx 2+mx+1=0的一个根。

34、已知：关于y 的一元二次方程(ky+1)(y －k)=k －2的各项系数之和等于3，求k 的值以及方程的解。

35、m 为何值时方程2x 2-5mx+2m 2=5有整数解?并求其解.
36、若m 为整数，求方程x+m=x
2
－mx+m 2的整数解。

37、下面解方程的过程中，正确的是 ( )
A.x 2=2
B.2y 2=16 解：2=
x 。

解：2y=±4，
∴y 1=2，y 2=－2。

C.2(x －1)2=8
D.x 2=－3 解：(x －1)2=4， 解：31-=x ，x 2
=3--。

x －1=±4， x －1=±2。

∴x 1=3，x 2=－1。

38、
x 2=5；
39、3y 2
=6；
40、2x 2
－8=0；
41、－3x 2
=0。

42、(x+1)2
=3；
43、3(y －1)2
=27；
44、4(2x+5)2
+1=0； 45、(x －1)(x+1)=1。

46、(ax －n)2
=m(a ≠0，m ＞0)；
47、a(mx －b)2
=n(a ＞0，n ＞0，m ≠0)。

48、你一定会解方程(x －2)2=1，你会解方程x 2
－4x+4=1吗?
49、(1)x 2+4x+ =(x+ )2
； (2)x 2－3x+ =(x － )2；
(3)y 2+ y+425
=(y － )2；
(4)x 2+mx+ =(x+ )2。

50、x 2
－4x －5=0；
51、3y+4=y 2
；
52、6x=3－2x 2
；
53、2y 2
=5y －2。

54、1.2x 2
－3=2.4x ；
55、y
2
+y 32－4=0。

56、用配方法证明：代数式－3x 2
－x+1的值不大于1213。

57、若42512=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x ，试用配方法求2
1⎪
⎭⎫ ⎝⎛-x x 的值。

58、2x
2
－3x+1=0； 59、y 2
+4y －2=0；
60、x 2－x 32+3=0；
61、x
2
－x+1=0。

62、4x 2
－3=0；
63、2x 2
+4x=0。

64、4x －5x 2
=－1； 65、y(y －2)=3；
66、(2x+1)(x －3)=－6x ；
67、(x －3)2
－2(x+1)=x －7。

68、m 为何值时，代数式3(m －2)1
－1的值比2m+1的值大2?
69、4x 2
－6x=4；
70、x=0.4－0.6x 2
；
71、1212
+=x x
72、
021
82125.02=-+
y y
73、用公式法解一元二次方程：2x 2
+4x+1=0。

(精确到0.01)
74、2(x+1)
2
=8；
75、y 2
+3y+1=0。

76、x 2+2x+1+3a 2
=4a(x+1)；
77、(m 2-n 2)y 2-4mny+n 2-m 2=0
78、解一元二次方程(x －1)(x －2)=0，得到方程的根后，观察方程的根与原方程形式有什么关系。

你能用前面没
有学过的方法解这类方程吗?
79、方程2x 2
=0的根是x 1=x 2= 。

80、方程(y －1)(y+2)=0的根是y 1= ，y 2= 。

x2的根是。

81、方程x2=
82、方程(3x+2)(4－x)=0的根是。

83、方程(x+3)2=0的根是。

84、3y2－6y=0；
85、25x2－16=0；
86、x2－3x－18=0；
87、2y2－5y+2=0。

88、y(y－2)=3；
89、(x－1)(x+2)=10。

90、(x－2)2－2(x－2)－3=0；
91、(2y+1)2=3(2y+1)。

92、已知2x2+5xy－7y2=0，且y≠0，求x∶y。

93、3(x－2)2=27；
94、y(y－2)=3；
95、2y2－3y=0；
96、2x2－2x－1=0。

97、(2x+1)2=(2－x)2；
2)2－42y=0；
98、(y+
99、(y－2)2+3(y－2)－4=0；
100、abx2－(a2+b2)x+ab=0(ab≠0)。

101、(x+2)2－2(x+2)－1=0。

102、x2－3mx－18m2=0；
103、已知一元二次方程ax2+bx+c=0( a ≠0)，当a，b，c满足什么条件时：(1)方程的两个根都为零?(2)方程的两个根中只有一个根为零?(3)方程的两个根互为相反数?(4)方程有一个根为1?
104、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是
A.有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D.不能确定
105、下列一元二次方程中，没有实数根的方程是( )
A.2x2－2x－9=0
B.x2－10x+1=0
4y+4=0
C.y2－2y+1=0
D.3y2+ 3
106、当k满足时，关于x的方程(k+1)x2+(2k－1)x+3=0是一元二次方程。

107、方程2x2=8的实数根是。

108、4(x－3)2=36；
109、(3x+8)2－(2x－3)2=0；
6)=6－y；
110、2y(y－
111、2x2－6x+3=0；
112、2x2－3x－2=0；
113、(m+1)x2+2mx+(m－1)=0
114、2y2+4y+1=0(用配方法)。

115、4(x+3)2－16=0；
2x2=5x；
116、
117、
2x 2=4x －2；
118、(3x －1)
2
=(x+1)2； 119、3x 2
－1－2x=0；
120、
02122=-
+x x (用配方法)。

一元二次方程的根的判别式
1、方程2x
2
+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。

2、关于x 的方程kx 2
+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。

3、方程x 2
+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。

4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2
+4)=0的根的情况是 。

5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2
－1=0有两个不相等的实数根。

6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2
+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。

7、关于x 的一元二次方程mx 2
+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。

8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。

9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0
10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2
+2=0有实根?
11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2
+4)=0没有实数根。

12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2
+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根?
13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2
+1)=0也无实根。

14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2
+bx+c=0根的情况。

15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2
+4mx+2m －1=0。

(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根；
(3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。

16、当一元二次方程(2k －1)x 2
－4x －6=0无实根时，k 应取何值?
17、已知：关于x 的方程x
2
+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以
1y 、
2y 为根的一元二次方程。

18、若x 1、x 2是方程x 2
+
p x+q=0的两个实根，且
23x x x x 22
2121=+
+
，25x 1x 12
221=+求p 和q 的值。

19、设x 1、x 2是关于x 的方程x
2
+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 21+3x 1x 2+x 22=1，
0)x 1(x )x 1(x 2
211=+++
，求p 和q
的值。

20、已知x1、x2是关于x的方程4x2－(3m－5)x－6m2=0的两个实数根，且
2
3
x
x
2
1=
，求常数m的值。

21、已知α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+
β3=0，求证：p=0,q<0
22、已知方程(x－1)(x－2)=m2(m为已知实数，且m≠0)，不解方程证明：
(1)这个方程有两个不相等的实数根；
(2)一个根大于2，另一个根小于1。

23、k为何值时，关于x的一元二次方程kx2－4x+4=0和x2－4kx+4k2－4k－5=0的根都是整数。

24、不解方程判别根的情况
6x(6x－2)+1=0。

25、不解方程判别根的情况x2－0.4+0.6=0；
26、不解方程判别根的情况2x2－4x+1=0；
27、不解方程判别根的情况4y(y－5)+25=0；
28、不解方程判别根的情况(x－4)(x+3)+14=0；
29、不解方程判别根的情况
8
5
4
1
2
1
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-x
x。

30、试证：关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+2(a－2)=0一定有两个不相等的实数根。

31、若a＞1，则关于x的一元二次方程2(a+1)x2+4ax+2a－1=0的根的情况如何?
32、若a＜6且a≠0，那么关于x的方程ax2－5x+1=0是否一定有两个不相等的实数根?为什么?若此方程一定有两个不相等的实数根，是否一定满足a＜6且a≠0?
33、.a为何值时，关于x的一元二次方程x2－2ax+4=0有两个相等的实数根?
34、已知关于x的一元二次方程ax2－2x+6=0没有实数根，求实数a的取值范围。

35、已知关于x的方程(m+1)x2+(1－2x)m=2。

m为什么值时：(1)方程有两个不相等的实数根?(2 )方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?
36、分别根据下面的条件求m的值：
(1)方程x2－(m+2)x+4=0有一个根为－1；
(2)方程x2－(m+2)x+4=0有两个相等的实数根；
(3)方程mx2－3x+1=0有两个不相等的实数根；
(4)方程mx2+4x+2=0没有实数根；
(5)方程x2－2x－m=0有实数根。

37、已知关于x的方程x2+4x－6－k=0没有实数根，试判别关于y的方程y2+(k+2)y+6－k=0的根的情况。

38、m为什么值时，关于x的方程mx2－mx－m+5=0有两个相等的实数根?
39、已知关于x的一元二次方程
)0
(0
5
6
2
2≠
=
+
-p
q
px
x
(p≠0)有两个相等的实数根，试证明关于x的一元二
次方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根。

40、已知一元二次方程x2－6x+5－k=0的根的判别式∆=4，则这个方程的根为。

41、若关于x的方程x2－2(k+1)x+k2－1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A.k≥－1
B.k＞－1
C.k≤－1
D.k＜-1
42、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0，c≠0)无实数根，试判断方程
2=
+
-
c
a
x
c
b
x
的根的情况。

一元二次方程根与系数的关系
1、如果方程ax
2
+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；21
11x x + ；
x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。

4、如果关于x 的一元二次方程x
2
+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值
为 。

5、如果关于x 的方程x 2
+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x 2
+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2
+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x 2
－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2
－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx
2
－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，
(x 1+x 2)
2
1x x ⋅= 。

11、已知方程3x 2
+x －1=0，要使方程两根的平方和为913
，那么常数项应改为 。

12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。

13、若α
、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。

(其中二
次项系数为1)
14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2
=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x 2
+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x 2
－3x+k=0的两根立方和为0，则k=
17、已知关于x 的方程x 2
－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1
、x 2
，且43x 1x 121
-=+，则m= 。

18、关于x 的方程2x
2
－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，
一个负根；当m 时，方程有一个根为0。

19、若方程x 2－4x+m=0与x 2
－x －2m=0有一个根相同，则m= 。

20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2
+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为 。

21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2
－3x+2=0的两根之间的关系是 。

22、已知方程5x 2
+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。

23、已知2+
3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

24、证明：如果有理系数方程x
2
+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A 、B 均为有理数)，
那么另一个根必是A －B 。

25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大? 26、已知x 1和x 2是方程2x
2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 31x 2+x 1x 32
27、已知x 1和x 2是方程2x 2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
28、已知x 1和x 2是方程2x
2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(x 21－x 22)2
29、已知x 1和x 2是方程2x
2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 1－x 2
30、已知x 1和x 2是方程2x 2
－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
31、已知x 1和x 2是方程2x
2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 51·x 22+x 21·x 52
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+
6和2－6。

33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

34、造一个方程，使它的根是方程3x
2
－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。

35、方程x 2
+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。

36、已知关于x 的方程2x
2
－(m －1)x+m+1=0的两根满足关系式x 1－x 2=1，求m 的值及两个根。

37、α
、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根，并且满足
1009
1)1)(1(=
---βα，求m 的值。

38、已知一元二次方程8x 2
－(2m+1)x+m －7=0，根据下列条件，分别求出m 的值：
(1)两根互为倒数； (2)两根互为相反数； (3)有一根为零； (4)有一根为1；
(5)两根的平方和为641。

39、已知方程x
2
+mx+4=0和x 2－(m －2)x －16=0有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。

40、已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2
－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍， 求a 的值。

41、已知方程x 2
+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b 、c 的值。

42、设：3a 2－6a －11=0，3b 2－6b －11=0且a ≠b ，求a 4－b 4
的值。

43、试确定使x 2
+(a －b)x+a=0的根同时为整数的整数a 的值。

44、已知一元二次方程(2k －3)x 2
+4kx+2k －5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求 当k 取何整数时，方程有两个整数根。

45、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m －2)x+1=0的两根，求(1+m α+α2)(1+m β+β2
)的值。

46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2
+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。

，
47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。

48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。

求a的整数值。

49、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。

50、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。

(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
(2)若α2+β2=6时，求m的值。

51、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。

52、关于x的方程
2
2n
4
1
mx
2
x+
-
=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。

(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，
表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。

54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?
56、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。

求
证：对任意实数k，方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根。

57、(1)方程x2－3x+m=0的一个根是
2，则另一个根是。

(2)若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足。

58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x2+3x+1=0；
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x2－2x－1=0；
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
－2x2+3=0；
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
2x2+5x=0。

62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。

63、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。

64、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1－4)(x2－4)；
(2)x13x24+x14x23；
(3)
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
1
2
2
13
1
3
1
x
x
x
x
；
(4)x13+x23。

65、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。

66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。

67、以2，－3为根的一元二次方程是( )
A.x 2+x+6=0
B.x 2+x －6=0
C.x 2－x+6=0
D.x 2－x －6=0
68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( ) A.3x 2－2x+3=0 B.3x 2+2x －3=0 C.3x 2－6x －9=0 D.3x 2+6x －9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( ) A.x 2+2x －3=0 B.x 2－2x+3=0 C.x 2+2x+3=0 D.x 2－2x －3=0 70、以－3，－2为根的一元二次方程为 ，
以213-，21
3+为根的一元二次方程为 ，
以5，－5为根的一元二次方程为 ，
以4，41
为根的一元二次方程为 。

71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。

72、已知方程2x
2
－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根
分别是： (1)a+1.b+1
(2)
b a a b 2,2 73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ，面积为27
cm 2
，求这个直角三角形斜边的长 。

74、在解方程x
2
+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。

这
个方程的根应该是什么?
75、关于x 的方程x 2
－ax －3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。

76、若分式1322+--x x x 的值为0，则x 的值为 ( )
A.－1
B.3
C.－1或3
D.－3或1
77、若关于y 的一元二次方程y 2
+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( ) A.m=0且n ≥0 B.n=0且m ≥0C.m=0且n ≤0 D.n=0且m ≤0
78、已知x 1，x 2是方程2x 2
+3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(2x 1－3)(2x 2－3)； (2)x 13x 2+x 1x 23。

79、已知a
2
=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，求(a －1)(b －1)的值。

80、如果x=1是方程2x 2
－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。

81、已知m 2+m －4=0，04112=-+n n ，m ，n 为实数，且
n m 1≠，则n m 1+= 。

82、两根为3和－5的一元二次方程是
( )
A.x 2－2x －15=0
B.x 2－2x+15=0
C.x 2+2x －15=0
D.x 2+2x+15=0
83、.设x 1，x 2是方程2x 2
－2x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x 12+2)(x 22+2)； (2)(2x 1+1)(2x 2+1)；
(3)(x 1－x 2)2。

84、.已知m ，n 是一元二次方程x 2
－2x －5=0的两个实数根，求2m 2+3n 2+2m 的值。

85、已知方程x 2
+5x －7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。

86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b 2
=9ac 。

87、.已知关于x 的一元二次方程x 2
+mx+12=0的两根之差为11，求m 的值。

88、已知关于y 的方程y 2
－2ay －2a －4=0。

(1)证明：不论a 取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a 为何值时，方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x 2
－10x+21+a=0。

(1)当a 为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么? 90、已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

91、已知方程x
2
+ax+b=0的两根为x 1，x 2，且4x 1+x 2=0，又知根的判别式∆=25，求a ，b 的值。

92、已知一元二次方程8y
2
－(m+1)y+m －5=0。

(1)m 为何值时，方程的一个根为零?(2)m 为何值时 ，方程的两个根
互为相反数?(3)证明：不存在实数m ，使方程的两个相互为倒数。

93、当m 为何值时，方程3x 2
+2x+m －8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个 根小于－2?
94、已知2s 2+4s －7=0，7t 2
－4t －2=0，s ，t 为实数，且st ≠1。

求下列各式的值：
(1)t st 1+；; (2)t s st 3
23+-。

95、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根，且x 12+x 22+(x 1+x 2)2=3，52
22221=+x x ，求m 和n 的值。

二次三项式的因式分解（用公式法）
1、如果x 1、x 2是一元二次方程ax
2
+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax 2+bx+c= 。

2、当k 时，二次三项式x
2
－5x+k 的实数范围内可以分解因式。

3、如果二次三项式x 2
+kx+5(k －5)是关于x 的完全平方式，那么k= 。

4、4x 2
+2x －3
5、x 4－x 2
－6
6、6x 4－7x 2
－3
7、x+4y+4
xy (x>0,y>0)
8、x2－3xy+y2
9、证明：m为任何实数时，多项式x2+2mx+m－4都可以在实数范围内分解因式。

10、分解因式4x2－4xy－3y2－4x+10y－3。

11、已知：6x2－xy－6y2=0，求：y
3
x
6
2
y
6
x
4
-
-
的值。

12、6x2－7x－3；
13、2x2－1分解因式的结果是。

14、已知－1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么，ax2+bx+c可以分解因式
为。

15、3x2－2x－8；
16、2x2－3x－2；
17、2x2+3x+4；
18、4x2－2x；
19、3x2－1。

20、3x2－3x－1；
21、2
2x2－3x－2。

22、方程5x2－3x－1=0与10x2－6x－2=0的根相同吗?为什么?二次三项式2x2－3x－4与4x2－6x－8 分解因式的结果相同吗?把两个二次三项式分别分解因式，验证你的结论。

23、二次三项式2x2－2x－5分解因式的结果是( )
A.
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
-
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
-
2
11
1
2
11
1
x
x
B.
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
-
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
-
2
11
1
2
11
1
2x
x
C.
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
+
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
+
2
11
1
2
11
1
x
x
D.
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
+
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
+
2
11
1
2
11
1
2x
x
24、二次三项式4x2－12x+9分解因式的结果是( )
A.
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
2
3
4x
B.
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
2
3
x
C.
2
2
3
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
x
D.
2
2
3
4⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
x
25、2x2－7x+5；
26、4y2－2y－1。

27、5x2－7xy－6y2；
28、2x2y2+3xy－3。

29、9y2+24y+16；
30、4x2－12xy+9y2。

31、已知二次三项式2x2+(1－3m)x+m+3分解因式后，有一个因式为(x－1)。

试求这个二次三项式分解因式的结果。

32、对于任意实数x，多项式x2－5x+7的值是一个( )
A.负数
B.非正数
C.正数
D.无法确定正负的数
一元二次方程的应用
1、某商亭十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率 是 。

2、某商品连续两次降价10%后的价格为a 元，该商品的原价应为 。

3、某工厂第一季度生产机器a 台，第二季度生产机器b 台，第二季度比第一季度增长的百分率是 。

4、某工厂今年利润为a 万元，比去年增长10%，去年的利润为 万元。

5、某工厂今年利润为a 万元，计划今后每年增长m%，n 年后的利润为 万元。

6、一个两位数，它的数字和为9，如果十位数字是a ，那么这个两位数是 ；把这个两位数的个位数
字与十位数字对调组成一个新数，这个数与原数的差为 。

7、甲、乙二人同时从A 地出发到B 地。

甲的速度为akm/h ，乙的速度为bkm/h(其中a>b)，二人出发5h 后相距 km 。

8、现有浓度为a%的盐水mkg ，加入2kg 盐后，浓度为 。

9、A 、B 两地相距Skm 。

(1)从A 地到B 地，甲用5h ，乙用6h ，则甲的速度比乙的速度快 km/h ；(2)若甲的速度为akm/h ，乙的速度比甲的速度的2倍还快1km/h ，则乙比甲早到 h 。

10、浓度为a%的酒精mkg ，浓度为b%的酒精nkg ，把两种酒精混合后，浓度为 。

11、 某工程，甲队独作用a 天完成，乙队独作用b 天完成，甲、乙两队合作一天的工作量为 ，甲、乙两队合作m 天的工作量为 ；甲、乙两队合作完成此项工程需 天。

12、某钢铁厂一月份的产量为5000t ，三月份上升到7200t ，求这两个月平均增长的百分率。

13、某项工程需要在规定日期内完成。

如果由甲去做，恰好能够如期完成；如果由乙去做，要超过规定日期3天才能完成。

现由甲、乙合做2天，剩下的工程由乙去做，恰好在规定日期完成。

求规定的日期。

14、A 、B 两地相距82km ，甲骑车由A 向B 驶去，9分钟后，乙骑自行车由B 出发以每小时比甲快2km 的速度向A 驶去，两人在相距B 点40km 处相遇。

问甲、乙的速度各是多少?
15、有一件工作，如果甲、乙两队合作6天可以完成；如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需几天完成?
16、甲、 乙二人分别从相距20km 的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行。

相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1km ，结果甲到达B 地后乙还要30分钟才能到达A 地。

求乙每小时走多少km?
17、一桶中装满浓度为20%的盐水40kg ，若倒出一部分盐水后，再加入一部分水，倒入水的重量是倒出盐水重量的一半，此时盐水的浓度当15%，求倒出盐水多少kg?
18、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和剩息共1320元，求这种存款方式的年利率。

19、甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相等，又知每小时甲、乙二人一共做了35个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件?
20、某商店将甲、乙两种糖果混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价=
212
211m m m a m a ++(元/千克)，其中m 1、m 2分别为甲、乙两种糖果的质量(千克)，a 1、a 2分别为甲、乙两种糖果的单价(元/千克)。

已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为16元/千克，现将10千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌均匀)销售，售出5
千克后，又在混合糖果中加入5千克乙种糖果，再出售时，混合糖果的单价为17.5元/千克。

问这箱甲种糖果有多少千克?
21、某农户在山上种了脐橙果树44株，现进入第三年收获。

收获时，先随意采摘5株果树上的脐橙，称得每株果树上的脐橙质量如下(单位：千克)：35，35，34，39，37 (1)根据样本平均数估计，这年脐橙的总产量约是多少?
(2)若市场上的脐橙售价为每千克5元，则这年该农户卖脐橙的收入将达多少元?
(3)已知该农户第一年卖脐橙的收入为5500元，根据以上估算，试求第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增长率。

22、客机在A 地和它西面1260km 的B 地之间往返，某天，客机从A 地出发时，刮着速度为60km/h 的西风，回来时，
风速减弱为40km/h ，结果往返的平均速度，比无风时的航速每小时少17km 。

无风时，在A 与B 之间飞一趟要多少时间?
23、一块面积是600m 2
的长方形土地，它的长比宽多10m ，求长方形土地的长与宽。

24、一个三角形铁块的一条边的长比这条边上的高少50cm ，又知这个三角形铁块的面积是1800 cm 2
，求三角形铁块的这条边的长度和这条边上的高。

25、已知一个直角三角形的两条直角边长的差为3cm ，斜边长与最短边长的比为5∶3，求这个 直角三角形的面积。

26、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm 的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800 cm 2。

求原正方形钢板的面积。

27、一个菱形水池，它的两条对角线长的差为2m ，水池的边长都是5m 。

求这个菱形水池的面积 。

28、一块长方形木板长40cm ，宽30cm 。

在木板中间挖去一个底边长为20cm ，高为15cm 的 U 形孔，已知剩下的木
板面积是原来面积的65
，求挖去的U 形孔的宽度。

29、已知两个数的和为17，积为60，求这两个数。

30、两个连续正整数的平方和为265，求这两个数的和。

31、两个连续奇数的积为195，求这两个数。

32、一个三位数，它的百位上的数字比十位上的数字大1，它的个位上的数字是十位上的数字
的3倍，且个位上
数字的平方等于十位与百位上数字和的3倍，求这个三位数。

33、三个连续偶数，最大数的平方等于前两数的平方和，求这三个数。

34、一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和为9，这两个数字的积等于这个两位 数的21
，求这个两
位数。

35、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字 与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位 置后得到的两位数。

36、某村粮食产量，第一年为a 千克，以后每年的增长率都为x ，则第二年的粮食产量为 千 克，第三年的粮食产量为 千克，这三年的粮食总产量为 千克，
37、某厂制造一种机器，原来制造一台机器需m 元，改进技术后，连续两次降低 成本，平均每次下降的百分率为x ，则第一次降低成本后，制造一台机器需 元，第二次 降低成本后，制造一台机器需 元。

38、某工厂在两年内将机床年产量由400台提高到900台。

求这两年中平均每年的增长率。

39、某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率.
40、某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?
41、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年 平均每年的增长率是多少?
42、某村1999年的蔬菜产量在1997年的基础上增加了44%，求这两年中，平均每年增长的百分率。

43、小张将自己参加工作后第一次工资收入400元钱，按一年定期存入银行，到期后，小张支取了200元钱捐给希望工程，剩下的200元钱和应得的利息全部按一年定期存入银行。

若存款年利率保持不变，到期后可得本金和利息共212.16元。

求这种存款方式的年利率。

(只要设 未知数、列方程，不需解答) 44、12和75的比例中项是 。

45、求(x+2)∶(x －1)=(x+4)∶4中的x 。

46、一个直角三角形的两条直角边长的比为5∶12，斜边长为26cm ，求这个直角三角形的面积 。

47、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。

已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm 3，求长方形铁皮的长与宽 。

48、一个容器里装满了40升酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，用水注满；第二次又倒出同样 多的混合液体后，再用水注满，此时，容器内的溶液中含纯酒精25%。

求第一次倒出的酒精的升数。

49、在长度为m 的线段AB 上取一点C ，使AC 是AB 、BC 的比例中项。

求AC 的长。

50、一个形如等腰三角形的钢制屋梁，其底边长与腰长的比为8∶5，屋梁构成的等腰三角形的 面积为48cm
2
，求
这个屋梁的周长。

51、如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4厘米，BC=10厘米，点P 从点B 出发，沿BC 以1厘米／秒 的速度向点C 移动。

问：经过多少秋后点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1?
52、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm ，大正方形的面积比小正方 形的面积的2倍还多4cm 2，求大、小两个正方形的边长。

53、某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。

为了扩 大销售，增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。

经调查发现，如果每台电视机每降价 10元，平均每天可多售出5台。

专卖店降价第一天，获利30000元。

问：每台电视机降价多少 元?
54、某公司向工商银行贷款30万元，这种贷款要求公司在两年到期时，一次性还清本息，利 息是本金的12%。

该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余9.6万元。

若经营期间每年与上一年相比资金增长的百分数相同，试求这个百分数。

可化为一元二次方程的分式方程
1、如果关于x 的方程2
=+nx x m
是分式方程，那么m 、n 的取值范围是 。

2、方程x
2x x
=-的解是 。

3、当m= 时，方程3x m
3
x 1x -=
--无解。

4、若方程x x
x m +=
-+22
x x 有解x=2，则m= 。

5、m= 时，方程12x 1
2x m 5--=-+会产生增根。

6、方程2x x 22
x 42
2
2
+=+的实数解是 。

7、用换元法解方程71x 1)
6(x 1x 1)2(x 22-++=++，设y= 。

于是原方程变形的 。

8、用换元法解方程
07)x 1(x 29x 1x 2
2=++-+
，所设的辅助未知数y= ，则原方程化为关于y 的方程。