1211点、线、面之间的位置关系-平面的表示方法讲解
点线面之间的位置关系的知识点汇总
点线面之间的位置关系的知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。
2 公理4：平行于 c ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；D C BAα LA ·α C ·B·A· α P · α Lβ 共面=>a ∥2⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
(完整word版)点线面之间的位置关系的知识点总结,推荐文档
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。
2 公理4：平行于 c ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；D CBAα LA ·α C ·B·A · α P· αLβ 共面直线=>a ∥c2⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
点、直线、平面之间的位置关系(知识梳理)
的位置关系-@>% )一平面1.平面的概念平面是一个只描述而不加定义的最基本的原始概念,常见的桌面㊁黑板面㊁海面都给我们以平面的形象.立体几何里所说的平面就是从这样一些物体中抽象出来的.但是几何里所说的平面是无限延展的.2.平面的基本性质三个公理及公理2的三个推论如下:公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.公理2:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.二空间两条直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系(1)相交直线:在同一平面内,有且仅有一个公共点.(2)平行直线:在同一平面内,没有公共点.(3)异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.(4)异面直线所成的角:如图51所示,直线a ,b是异面直线,经过空间一点O ,分别引直线a 'ʊa ㊁b 'ʊb ,相交直线a ',b '所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ,b 所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角,则称这两条异面直线互相垂直.abαabαOOaa b图512.平行公理与等角定理(1)平行公理(公理4):平行于同一直线的两条直线相互平行.(2)等角定理:空间中如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.三直线和平面、平面和平面的位置关系1.一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：(1)直线在平面内 有无数个公共点;(2)直线和平面相交 有且只有一个公共点;(3)直线和平面平行 没有公共点.2.两个平面的位置关系只有两种(1)平行 没有公共点;(2)相交 有一条公共直线.四直线和平面平行的判定与性质1.直线和平面平行的判定定理(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.(2)判定定理的符号表示:a⊄α}⇒aʊαb⊂αaʊb2.直线和平面平行的性质定理(1)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和两平面的交线平行.(2)性质定理的符号表示aʊαa⊂βαɘβ=b}⇒aʊb五平面与平面平行的判定与性质1.平面与平面平行的判定定理(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.(2)判定定理的符号表示:a⊂αb⊂αaɘb=A aʊβbʊβüþýïïïïïï⇒αʊβ2.平面与平面平行的性质定理(1)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(2)性质定理的符号表示:αʊβγɘα=a γɘβ=b }⇒a ʊb 六直线和平面垂直的判定与性质1.直线和平面垂直的定义如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 和平面α互相垂直,记作l ʅα,直线l 叫作平面α的垂线,平面α叫作直线l 的垂面.2.直线和平面垂直的判定(1)直线和平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与这个平面垂直.判定定理的符号表示:a ⊂αb ⊂αa ɘb =P l ʅal ʅbüþýïïïïïï⇒l ʅα(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,即a ʊba ʅα}⇒b ʅα3.直线和平面垂直的性质(1)直线和平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.性质定理的符号表示:a ʅαb ʅα}⇒a ʊb(2)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.(3)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直;过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.(4)如果一条直线与两个平面都垂直,那么这两个平面平行.七平面与平面垂直的判定与性质1.两个平面垂直的定义(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所形成的空间图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱,两个半平面叫作二面角的面.(2)二面角的平面角:在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ,以O 为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线O A 和O B ,则射线O A 和O B 所成的角øA O B叫作二面角α-l -β的平面角.(3)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角(4)两个平面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理(1)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.(2)判定定理的符号表示:a ⊂αa ʅβ}⇒αʅβ3.两个平面垂直的性质定理(1)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(2)性质定理的符号表示:αʅβ,αɘβ=l b ⊂α,b ʅl}⇒b ʅβ。
空间点线面的位置关系及直线、平面的判定与性质
空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理： 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(即可以确定一个平面) (公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；) 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面平行的判定定理和性质定理∵∴∵＝∴2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗？4．平面与平面平行的判定定理和性质定理∵＝ 提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 5．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 突破点 一1.点共线问题,一般转化为证明这些点的某两个平面点公共点,再根据公理3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．）证明这些点都在这两个平面的交线上.2.线共点问题 ，证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这点，把问题转化为证明点再直线上。
3.证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其他元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
点线面的位置关系
点线面的位置关系在几何学中，点、线和面是基本的几何元素。
它们之间的位置关系是我们研究几何学的基础。
本文将详细探讨点线面之间的位置关系，并从几何学的角度解释这些关系。
一、点与线的位置关系在平面几何中，点是最简单的几何元素。
它没有长度、面积和方向。
而线则是由无数个点组成的，具有长度但没有宽度。
点与线之间有以下几种位置关系：1. 点在线上：当一个点正好在一条线上时，我们说这个点在这条线上。
这意味着点与线上的所有点重合。
2. 点在线的两侧：如果一个点不在一条线上，并且离线的两侧距离都不为零，则我们说这个点在这条线的两侧。
3. 点在线的延长线上：如果一个点不在一条线上，并且它在这条线的延长线上，则我们说这个点在线的延长线上。
延长线是指将线无限延长的线段。
二、点与面的位置关系与点与线的位置关系类似，点与面之间也有几种不同的位置关系：1. 点在面上：当一个点正好在一个平面上时，我们说这个点在这个平面上。
这意味着点与面上的所有点重合。
2. 点在面的上方或下方：如果一个点不在一个平面上，并且它在这个平面的上方或下方，则我们说这个点在这个平面的上方或下方。
3. 点在面的边界上：如果一个点在一个平面的边界上，则我们说这个点在这个平面的边界上。
三、线与面的位置关系线与面之间的位置关系也是几何学中重要的内容，它们之间有以下几种位置关系：1. 线在面上：当一条线正好在一个平面上时，我们说这条线在这个平面上。
这意味着线上的所有点都在这个平面上。
2. 线与面相交：如果一条线与平面有一个或多个公共点，则我们说这条线与这个平面相交。
3. 线平行于面：如果一条线与平面上的所有点都不相交，则我们说这条线平行于这个平面。
4. 线垂直于面：如果一条线与平面的交点为一点，并且与平面上的所有其他点都垂直，则我们说这条线垂直于这个平面。
综上所述，点线面之间的位置关系是几何学的重要内容，它们的不同位置关系可以通过几何学的方法进行判断和描述。
通过研究这些位置关系，我们可以更好地理解几何学的基本概念，并应用于实际生活和工作中。
点线面之间的位置关系的知识点总结
点线面之间的位置关系的知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。
2 公理4：平行于c ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；D CBAα LA ·α C ·B·A·α P· αLβ 共面直线=>a ∥c2⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
点线面的位置关系和判定方法
点线面的位置关系和判定方法在几何学中，点、线段和平面是最基本的图形元素，它们之间的位置关系和判定方法对于几何问题的解决至关重要。
本文将探讨点线面的位置关系以及相应的判定方法。
一、点与线段的位置关系和判定方法1. 点在线段上的情况：一个点可以在线段的两端点之间，也可以在线段上，或者在线段外。
要判断一个点是否在线段上，可以使用如下方法：（1）距离判定法：计算点到线段两个端点的距离，如果两个距离之和等于线段长度，那么点就位于线段上。
（2）向量判定法：将线段的两个端点视为向量A和向量B，将点与线段的一个端点视为向量C。
如果向量C可以表示为向量A与向量B的线性组合，且系数的和等于1，那么点就位于线段上。
2. 点在线段的延长线上的情况：当一个点在线段的延长线上时，意味着可以无限延长线段，点位于线段的一侧。
判定方法如下：（1）向量判定法：同样将线段的两个端点视为向量A和向量B，将点与线段的一个端点视为向量C。
如果向量C可以表示为向量A与向量B的线性组合，且系数的和大于1，那么点在线段的延长线上。
3. 点在线段的左侧或右侧的情况：若点位于线段的左侧（或右侧），则该点与线段的两个端点所形成的线段组合为逆时针（或顺时针）方向。
判定方法如下：（1）向量叉积法：将线段的一个端点与点构成的向量记为向量A，将线段的一个端点与线段另一端点构成的向量记为向量B。
计算向量A和向量B的叉积，若叉积大于0，则点在线段的左侧；若叉积小于0，则点在线段的右侧；若叉积等于0，则点在线段上。
二、点与平面的位置关系和判定方法1. 点在平面上的情况：一个点可以位于平面上，也可以位于平面外部。
判定方法如下：（1）向量法：选择平面上的三个非共线点A、B、C，将点与这三个点分别构成向量。
如果点与向量A、B、C共面，那么点就位于平面上。
2. 点在平面的一侧或另一侧的情况：当一个点在平面的一侧时，意味着通过该点可以画出与平面垂直的直线。
判定方法如下：（1）点法向量法：选择平面上的一个点P，计算向量AP与平面的法向量N的点积。
点线面的位置关系知识点
点线面的位置关系知识点在几何学中，点、线和面是三个基本的几何概念，它们之间存在着一系列的位置关系。
这些位置关系的理解对于解决几何问题以及应用几何知识有着重要的意义。
本文将介绍点线面的位置关系的几个重要知识点。
一、点与直线的位置关系1. 在直线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们可以说这个点在直线上。
例如，点A在直线AB上。
2. 在直线的两侧：如果一个点既不在直线上，也不在直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的两侧。
例如，点C在直线AB的两侧。
3. 在直线的延长线上：如果一个点不在直线上，但位于直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的延长线上。
例如，点D在直线AB的延长线上。
4. 平行于直线：如果一条直线与给定直线没有任何交点，我们可以说这条直线平行于给定直线。
例如，直线CD平行于直线AB。
二、点与平面的位置关系1. 在平面上：当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点在平面上。
例如，点A在平面P上。
2. 不在平面上：如果一个点既不在平面上，也不在平面的延长线上，我们可以说这个点不在平面上。
例如，点B不在平面P上。
3. 在平面的延长线上：如果一个点不在平面上，但位于平面的延长线上，我们可以说这个点在平面的延长线上。
例如，点C在平面P的延长线上。
4. 垂直于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都垂直，我们可以说这条直线垂直于给定平面。
例如，直线EF垂直于平面P。
三、直线与平面的位置关系1. 相交于一点：当一条直线与平面有且仅有一个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一点。
例如，直线L与平面P相交于点A。
2. 平行于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都平行，我们可以说这条直线平行于给定平面。
例如，直线M平行于平面P。
3. 包含于平面：当一条直线上的所有点都位于给定平面上时，我们可以说这条直线被包含于给定平面中。
例如，直线N被包含于平面P 中。
4. 相交于一条线：当一条直线与平面有无穷多个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一条线。
点线面的位置关系
点线面的位置关系点、线、面是几何学中的基本概念，它们之间存在着重要的位置关系。
通过研究它们的位置关系，我们可以更好地理解和应用几何学知识。
本文将详细探讨点、线、面的位置关系，并对其应用进行讨论。
一、点、线、面的定义1. 点：几何学中最基本的元素，没有大小和形状，只有位置。
可以用坐标表示，例如(x, y)。
2. 线：由无数个点按照一定规律连接而成，具有长度但没有宽度。
可以用两个点的坐标表示，例如(1, 2)和(3, 4)之间的线段。
3. 面：由无数个线按照一定规律连接而成，具有长度和宽度。
可以用多边形的边界来表示，例如三角形、矩形等。
二、点、线、面的位置关系1. 点与线的位置关系：a. 在线上：如果一个点恰好在一条线上，则称该点在线上。
b. 在线内：如果一个点在一条线的两个端点之间，则称该点在线内。
c. 在线外：如果一个点既不在线上，也不在线内，则称该点在线外。
2. 点与面的位置关系：a. 在面上：如果一个点恰好在一个面上，则称该点在面上。
b. 在面内：如果一个点在一个面的边界之内，则称该点在面内。
c. 在面外：如果一个点既不在面上，也不在面内，则称该点在面外。
3. 线与线的位置关系：a. 相交：如果两条线有公共的一个或多个点，则称这两条线相交。
b. 平行：如果两条线的方向相同，但没有公共的点，则称这两条线平行。
c. 重合：如果两条线有无数个公共的点，则称这两条线重合。
4. 线与面的位置关系：a. 相交：如果一条线与一个面有公共的一个或多个点，则称这条线与该面相交。
b. 平行：如果一条线的方向与一个面平行，且线上没有与该面有公共的点，则称这条线与该面平行。
c. 重合：如果一条线与一个面重合，即线上的所有点都在该面上，则称这条线与该面重合。
5. 面与面的位置关系：a. 相交：如果两个面有公共的一条或多条线段，则称这两个面相交。
b. 平行：如果两个面的法向量平行，则称这两个面平行。
c. 重合：如果两个面有无数个公共的点，则称这两个面重合。
点、线、面之间的位置关系
点、线、面之间的位置关系在数学几何学中，点、线、面都是我们研究的基本要素，它们之间的位置关系是我们探索空间几何性质的关键所在。
本文将从点、线、面的定义入手，分析它们之间的位置关系。
一、点的定义与位置关系点是最基本的几何要素，是空间中不具有长度、宽度和高度的对象。
我们通常用大写字母表示点，如A、B、C等。
点没有固定的位置，可以在空间中随意移动。
点与点之间的位置关系有以下几种情况。
1. 共点关系当两个或多个点在空间中重合时，它们被称为共点。
共点的点在数轴上只有一个坐标，无法用直线连接。
2. 在一条直线上如果两个点A、B之间可以通过一条直线连接，则称它们共线，即A、B两点在同一条直线上。
在数学中，我们可以通过两点确定一条直线。
3. 不共线关系若三个或三个以上的点不在同一条直线上，则它们被称为不共线。
不共线的点可以构成一个平面或空间。
二、线的定义与位置关系线是由无数个点在空间中按照一定规律排列组成的，是没有宽度和厚度的。
用小写字母表示线，如ab、cd等。
线与线之间的位置关系有以下几种情况。
1.相交关系当两条线在空间中有一个公共点时，称它们相交。
相交的线可以形成一个交点，交点有无数个。
2. 平行关系若两条线在平面内无交点，它们被称为平行线。
平行线的特点是始终保持平行的距离。
3.一条线与一平面的位置关系当一条线与一个平面有一个并且仅有一个交点时，称该线与该平面相交，交点是唯一的。
4.两平行线与一平面的位置关系若两条平行线与一个平面没有交点，它们被称为平面上的平行线。
平面上的平行线具有相同的斜率，但不会相交。
三、面的定义与位置关系面是由无数个点和线按照一定规律组成的，是有长度、宽度和厚度的。
用大写字母表示面，如ABC、DEF等。
面与面之间的位置关系有以下几种情况。
1.共面关系若两个或两个以上的面在空间中可以重合，它们被称为共面。
共面的面在数学中可以用判别式等方式表示。
2. 平行关系若两个面之间没有交点，它们被称为平行面。
高中数学空间点线面之间的位置关系讲义
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1 平面含义：2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
二、三个公理：三、空间直线、平面之间的位置关系D C BA α四、等角定理：五、异面直线所成的角1.定义：2.范围：3.图形表示4.垂直： 六、典型例题1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα∉⇒∈A l A l ,//（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）（A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：1、平行关系与平行关系互推；2、垂直关系与垂直关系互推；线面平行线面平行面面平行定线面平面面平行面面平行3、平行关系与垂直关系互推。
以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。
线线平行传递性：b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫； 面面平行传递性：γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫；线面垂直、线面垂直⇒线面平行：ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥；线面垂直线面垂面面垂直性质定理两平面面面垂直两平面内分别垂直于交线的面面垂线面垂直⇒线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；线面垂直⇒面面平行：βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ；线面垂直、面面平行⇒线面垂直：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //； 线线平行、线面垂直⇒线面垂直：αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行⇒面面垂直：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //。
备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。
符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂；αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂；ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫；③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭；βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫；④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα； ⑤线面垂直:,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭；,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭；βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a ba //； ⑥面面垂直：二面角900;βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；二、立体几何中的重要方法1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角） ⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形； ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系． 注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ；③三线三角公式12cos cos cos θθθ=．注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解； ②垂面法：作面与二面角的棱垂直； ③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法． 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线面距离、点面距离；⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：d=．3、证明平行、垂直的理论途径：①证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；（2）转化为两直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行．②证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行．③证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直．④证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直．⑤证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直．。
点,线,面的位置关系(向量法的应用)
点,线,面的位置关系(向量法的应用)点、线、面的位置关系是向量法在几何学中的应用之一。
向量是具有方向、大小和起点的量，可以用来描述空间中的几何对象。
在考虑点、线、面的位置关系时，向量可以提供方便的分析工具。
首先，我们来分别介绍点、线、面的定义和表示方法。
点是空间中的一个位置，没有长度、宽度和高度。
点可以用坐标表示，例如在直角坐标系中，点P的坐标可以用元组(x, y, z)表示，其中x、y、z分别表示点P在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
线是由无数点构成的一维图形，可以用起点和终点或参数方程表示。
例如，直线AB可以表示为矢量形式AB=rB - rA，其中rA和rB分别是线段的起点和终点的位置矢量。
面是由无数点构成的二维图形，可以由三个或更多个点确定。
平面ABC可以用参数方程表示为rA + s(rB - rA) + t(rC - rA)，其中rA、rB和rC分别是平面上的三个点的位置矢量，s和t为参数。
点、线、面的位置关系可以通过向量的点积、叉积以及向量的几何解释来研究。
1. 点与直线的位置关系：- 点P是否在直线AB上可以通过向量PA与向量AB的点积判断，若PA·AB=0，则点P在直线上。
- 点P到直线AB的距离可以通过求向量PA与向量AB的叉积的模长除以向量AB的模长得到，即d=|(PA×AB)/|AB||。
- 点P在直线AB上的投影可以通过直线AB上一点C的位置矢量rC与向量AB的叉积得到，即P=rC+(PA×AB)/|AB|^2·AB。
2. 点与平面的位置关系：- 点在平面上的条件是点P到平面上的任意一点Q的向量PQ与平面的法向量n的点积为零，即PQ·n=0。
- 点到平面的距离可以通过求点P到平面上一点Q的向量PQ与平面的法向量n的点积除以向量n的模长得到，即d=|(PQ·n)/|n||。
3. 线与平面的位置关系：- 直线与平面是否相交可以通过直线上一点A的位置矢量rA与平面的法向量n的点积判断，若rA·n=0，则直线与平面平行或在平面上。
空间几何中的点线面的位置关系
空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。
它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。
本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。
一、点与线的位置关系1.1 点在直线上当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。
点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。
1.2 点在直线上的延长线上当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。
点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。
1.3 点在线段上当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。
点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。
1.4 点在线段的延长线上当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。
点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。
二、点与面的位置关系2.1 点在平面上当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。
点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
2.2 点在平面上的延长线上当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。
点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。
2.3 点在平面外当一个点不在平面上时，称该点在平面外。
点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。
三、线与面的位置关系3.1 线在平面上当一条线位于平面内时，称该线在平面上。
线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。
3.2 线平行于平面当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。
平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。
3.3 线与平面相交于一点当一条线与平面上的某个点相交时，称该线与平面相交于一点。
线与平面相交于一点的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都相交于同一点。
四、面与面的位置关系4.1 平行面当两个面的法向量平行时，称这两个面为平行面。
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例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传 递性等 新疆
王新敞 奎屯
复习引入
有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成 立呢？
例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一 条？
到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定 点的线段的一条垂直平分线？
…………
复习引入 平静的湖面、海平面、……，真的很平吗？
一个平面把空间分成两部分． （3）一个平面的面积为20 cm2．
（√ ） （×）
（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各
点都在这个面内，那么这个面是平面． （√ ）
课堂练习：
2．观察（1）、（2）、（3）三个图形， 模型说明它们的位置关系有什么不同，并用字 母表示各个平面．
(1)
(2)
(3)
课堂练习：
如：三角形、梯形、平行四边形都是平面图
形；三棱锥为空间图形 .
C′
D
C
A
B
讲解范例 例1 将下列符号语言转化为图形语言：
（1） A ， B ， Al ， Bl ；
（2）a ，b ，a // c ，b c p ，
c 新疆 王新敞 奎屯
说明：画图的顺序：先画大件（平面），再 画小件（点、线）
(1)一个平面：水平放置和直立；
当平面是水平放置的时
D
候，通常把平行四边形的 A 锐角画成45°，横边画成
邻边的2倍长，如图
C B
讲解新课 (2) 直线与平面相交，如图
l
D
C
A
P B
讲解新课
（3）两个相交平面： 画两个相交平面时，若一个平面的一部分
被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成 虚线或不画
与平面、平面与平面的关系.
虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言.
a （表示平面 外的直线 a ），
a （平面 外的直线 a ）表示 a 或
a A 新疆 王新敞 奎屯
a
a
A
讲解新课
5.平面图形与空间图形的概念
如果一个图形的所有点都在同一个平面内， 则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形 .
3．如图所示，用符号表示以下各概念：
①点A、B在直线a上 A a, B a ；
②直线a在平面内
a , ；
点C在平面内 C ；
③点D不在平面内
D, ；
直线b不在平面内 b ．
bD C
A B a
小结 ：
平面的概念； 平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语 言和符号语言之间关系的转换.
A
A
点 A 在平面 内新疆 王新敞 奎屯
A
A
点 A 不在平面 内新疆 王新敞 奎屯
讲解新课
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形
A ab
符号语言
文字语言（读法）
直线与平面无公共点或相交于一点
统称为直线在平面外！ a b A
直线 a 、b 交于 A 点新疆 王新敞 奎屯
a
a
直线 a 在平面
内 新疆
（即 新疆 王新敞 奎屯
＝l）
讲解范例
例 3 在平面 内有 A,O, B 三点，在平面 内有
B,O,C 三点，试画出它们的图形 新疆 王新敞 奎屯 C O B A
课堂练习：
1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的
打“×”
（1）可画一个平面，使它的长为4cm，宽为
2cm．
（×）
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，
讲解新课 3.平面的表示方法：
D A
C
B
②一般用一个希腊字母 、 、 ……来表示，
还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面
，平面 AC 等新疆 王新敞 奎屯
讲解新课
4.空间图形是由点、线、面组成的
空间图形的基本元素是点、直线、平面 从运动的 新疆 王新敞 奎屯
观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平 面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字 和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.
王新敞
奎屯
a
a A
a a A
直线 a
与平面
无公共点 新疆
王新敞
奎屯
直线 a 与平面 交于点 A 新疆 王新敞 奎屯
l
l 平面 、 相交于直线 新疆 王新敞 奎屯
讲解新课
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平
面的关系；
“ ”、“ ”的符号只能用于直线与直线、直线
讲解新课 1．平面的两个特征： ①无限延展 ②平的（没有厚度）
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最 基本的属性 新疆
王新敞 奎屯
常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面 的局部形象.
一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分 成两部分 新疆
王新敞 奎屯
讲解新课
2．平面的画法： 通常画平行四边形来表示平面
复习引入
在初中，我们主要学习了平面图形的性质 平面图 新疆 王新敞 奎屯
形就是由同一平面内的点、线所构成的图形 平面图形 新疆 王新敞 奎屯
以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形， 空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形
新疆 王新敞
奎屯
当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些 平面图形的基本性质，在空间仍然成立新疆
规定： 直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字 母表示， 点用一个大写的英文字母表示， 平面则用一个小写的希腊字母表示.
讲解新课
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形
符号语言
文字语言（读法）
Aa
A a
点 A 在直线 a 上新疆 王新敞 奎屯
Aa
A a
点 A 不在直线 a 上新疆 王新敞 奎屯
讲解范例
例2 将下列文字语言转化为符号语言：
（1）点 A 在平面 内，但不在平面 内；
（2）直线 a 经过平面 外一点 M ；
（3）直线 l 在平面
内，又在平面
内
（即平面
新疆
王新敞
奎屯
和
相交于直线 l ） 新疆 王新敞 奎屯
解：（1） A ， A ；
（2） M a ， M ；
（3） l ， l