辅助教师分析国小学生小数学习迷思概念及教学策略支援

輔助教師分析國小學生小數學習迷思概念及教學策略支援系統
目錄
1、緒論 (5)
1.1研究動機 (6)
1.2研究目的 (7)
1.2.1建構具有小數迷思概念之題庫 (8)
1.2.2結構化呈現小數學習迷思概念 (8)
1.2.3協助教師抉擇適性化教學策略 (9)
2文獻探討 (10)
2.1診斷教學 (10)
2.2電腦輔助測驗 (12)
2.3小數迷思概念 (16)
2.4概念構圖 (26)
2.5機器學習與決策樹技術 (27)
2.6適性化課後輔導 (29)
2.6.1課後輔導 (29)
2.6.2同儕交互指導教學 (29)
2.6.3家庭協助教育： (30)
2.6.4自學輔導o r熟練學習o r精熟學習(m a s t e r y l e a r n i n g)
31
3、研究方法及研究工具 (32)
3.1研究流程 (32)
3.2研究對象及限制 (34)
3.3建構具小數迷思概念飲題庫產生器 (35)
3.4依答題結果建構迷思概念圖 (40)
3.5依教師經驗以決策樹支援教學策略 (41)
3.6A s s o c i a t i o n r u l e (41)
3.7資料搜集與分析 (41)
4系統實作與實驗結果 (43)
4.1系統功能說明 (43)
4.2教師出題模組 (45)
4.3小數迷思模版 (45)
4.4學生答題模組 (54)
4.5迷思概念結構模組 (54)
4.6決策支援模組 (54)
4.7實驗結果 (54)
5實驗結果 (55)
5.1成績群組分布 (55)
5.2迷思結構分佈 (56)
5.3適性化課後輔導決策支援 (66)
6結論 (71)
7參考文獻 (72)
表格1國民小學三至六年級小數迷思概念表 (25)
表格2自動題庫產生器範例一 (36)
表格3自動題庫產生器範例二 (36)
表格4新湖國小數學科教材版本 (37)
表格5三年級小數迷思模版 (47)
表格6四年級小數迷思模版 (50)
表格7五年級小數迷思模版 (53)
表格8六年級小數迷思模版 (53)
表格9小數迷思診斷測驗成績 (55)
表格10小數迷思診斷測驗成績高、中、低組人數.. 56表格11總數302筆資料決策樹分類前後對照表 (66)
表格12「家庭協助」分類路徑 (68)
表格13「同儕交互指導」分類路徑 (69)
表格14「自學輔導」分類路徑 (69)
表格15「課後輔導」分類路徑 (70)
圖1決策樹示意圖 (28)
圖2實驗流程圖 (33)
圖3康軒版小數教材編排 (39)
圖4本研究預計使用之小數迷思概念圖 (40)
圖5系統功能說明 (43)
圖6系統學生介面 (44)
圖7教師出題模組 (45)
圖8t h40329學生原始迷思概念結構分佈圖 (57)
圖9t h40329學生切割後迷思概念結構分佈圖 (58)
圖10t h40430學生原始迷思概念結構分佈圖 (59)
圖11t h40430學生切割後迷思概念結構分佈圖 (60)
圖12t h40404學生原始迷思概念結構分佈圖 (62)
圖13t h40404學生切割後迷思概念結構分佈圖 (63)
圖14t h40204學生原始迷思概念結構分佈圖 (64)
圖15t h40204學生切割後迷思概念結構分佈圖 (65)
圖16適性化教學策略專家決策樹 (67)
1、緒論
迷思概念(m i s c o n c e p t i o n)指的是指在某一特定概念中，對某事件或某現象，所持有的一些有別於目前所公認的想法[52]，其形成的原因可能源自於學生日常生活經驗的自我學習所得，也可能來自於學生對老師機械式敎學的一知半解[2]。

在學生學習的過程產生迷思概念時，教師若能適時做教學策略的調整，即能有效澄清學生的學習迷思並調整錯誤的概念。

診斷教學法(d i a g n o s t i c t e a c h i n g)即是協助教師解決學生迷思概念的教學策略之一，近幾年來許多相關研究[8][20][23]指出診斷教學能有效的解決學生迷思概念，其主要的理論是假設當學生所處的學習環境時，其要求掌握的資訊量超過能力負荷時，學生將就趨向發展出合理但過於簡化的解題策略[43]，因而產生學習迷思。

依據診斷教學法的理論基礎，教師可將含有迷思概念的佈題融入至題目(i t e m)或答案選項(c h o i c e)中，經由行間巡視或由學生發表的答案內容(r e s p o n s e)來診斷學生可能具有的迷思概念。

因此在診斷教學中，教師就所瞭解學生所犯的錯誤，在教學中設計活動有機會呈現出來[6]，使學生能夠以自覺的方式發現認知有誤，並產生認知上的不平衡，進而以認知調整的需求來導正其迷思概念。

依診斷教學理論，當學生學習過程中產生迷思概念時，若能針對學生的迷思進行修正的工作，即時有效地澄清學生的迷思概念，不同教師對於使用適性化的教學策略類型的選擇方式不一，影響教師選擇教學策略類型的因素皆來自於教師本身的教學經驗及專業素養，另外在面對不同背景及學習特性的學生時也會影響教學策略類型的抉擇結果，教師依據學生不同的迷思結構分佈狀況及不同學習背景進行重點補救或適性化的輔導，以解決學生的迷思概念。

因此，如何設計一個具有分析迷思概念之能力的題庫，以及針對不同教師及不同特質的學生，在人數眾多或大班級教學環境中分析各種可能的迷思分佈狀況，並提出適性化的教學策略，將是一項重大的挑戰。

1.1研究動機
在平日生活環境中，數學與我們生活密不可分，而生活中牽涉到「小數」的部分也有許多（例如10.5公分、1.5公斤、成績統計、計算機的使用等等……），「小數」是因應人類生活的需要所產生的，所以在日常生活中是相當普遍的，這些都是在生活中與外界溝通需要使用的數學語言與工具，所以具備正確且完整的小數概念是必要的。

「小數」在數的發展過程中扮演了一個重要的角色，更在小學數學課程中有其相當的份量[11]。

我國九年一貫數學領域之課程綱要於2003年11月14日由教育部正式發布，並從2005年8月1日（九十四學年度）起自一年級及七年級的學生同步逐年實施。

現今九年一貫數學教材大網歷經多次改版，包含九十學年度第一學期實施的暫行綱要及目前實施的現行綱要，復加以一綱多本的前提下，各學校每年所採用的教材內容不盡相同，使得國民小學數學教學及出現教材銜接上的問題[1]，更導致教師在教學及補救教學時難以了解學生的迷思概念結構分佈狀況，對於班級與個別學生在不同迷思概念發生次數與比率以及班級學生發生個別迷思概念的人數等皆難以掌握，進而造成提供適合輔導的困難。

對於國民小學生來說，小數概念抽象且複雜，根據相關研究結果或評量報告，發現學生在小數學習方面表現並不理想[11]。

許多學生在學習小數的知識時偏向程序性的瞭解或以記憶性的居多，而忽略概念性的理解，以致於日後學習計算時遇到學習障礙，因為只有熟記算則，不理解算則背後的原理，所以無法掌握計算的結果[10]，造成學習小數迷思概念產生。

因此，倘若教師無法在教學過程中即時發現學生的迷思概念並適時加以輔導，將使得日後具有相依性質的章節教學時將更加困難，為了不使學生的迷思影響後來的學習成效，教師需要立即且詳細地分析學生的迷思概念。

然而，教師在分析學生迷思概念之前，必須收集許多資料，在面對愈來愈多的教學資訊時，產生的「i n f o r m a t i o n o v e r l o a d i n g資訊過荷[41]現象，將使得許多研究學者所提出的教學理論難以推行，這使得以電腦科技輔助傳統教室教學漸漸成為趨勢，許多工具及系統，如m a c h i n e l e a r n i n g[42]與d e c i s i o n t r e e[42]應普遍應用在實際的教學環境中，藉其優點，可減輕教師負擔，教師可經學生在網路系統上的輔助瞭解學生學習狀況，並調整教學策略，以達到適性化教學，其原則是以適應學生的個別差異，運用個別化的教學方式，然而無論是智力因素或非智力因素的個別差異，實施適性教學時都應該先廣泛的收集學生個人的背景資料，評估學生的知識與技能水準，調整教學，讓學生作好下一個階段學習的準備[78]。

因此，為使小數迷思診斷教學活動能順利進行，教師將面臨以下三個困難：
1.教室人數過多，教師難以經由行間觀察法掌握個別學生的學習時產生的迷思概念。

2.針對不同學生之迷思概念，教師無法掌握其迷思形成的結構，亦無法分析或統計全班同學共有的迷思分佈情況。

3.教師面對不同的迷思概念時會有不同的教學策略，教師將如何針對不同迷思狀況抉擇適性化教學策略已以改善迷思狀況。

本研究將提出一套以資訊科技輔助教師進行診斷教學，並以機器學習的技術協助教師依據不同學生的迷思分佈及結構選擇適當的教學策略以協助修正其迷思概念。

1.1研究目的
基於以上研究動機，本計畫將以國民小學數學科教材中之小數教學為研究題材，提供具有支援學生學習迷思概念之題庫，經由學生以電腦或紙筆測驗後之結果，分析迷思概念之結構，並協助教師進行適性化的補救教學。

本研究提出以下三個研究目的，以解決上述三種教師在進行適性化輔導國小學生小數迷思概念時所面對的問題。

1.1.1 建構具有小數迷思概念之題庫
現今教師分析學生迷思概念的方式，大部分是利用學期末的時段以紙筆測驗卷的結果進行分析，可以使用古典測驗理論(T e s t T h e o r y)[51]或現代測驗理論(I t e m R e s p o n s e T e s t-I R T)的測驗卷[79]，無論使用哪一種，皆將焦點專注在評鑑學生的學習成效，或是學生依試題難度及鑑別度所得到的不同反應，仍然無法即時反應每一位學生之迷思概念。

除了紙筆式的測驗方式之外，目前對於迷思概念的分析皆採用目前常見的行間觀察或將解題過程錄影後再詳細分析或訪談的方法，這些方式雖然有效，但是也將大量增加教師的教學負擔。

本研究將建構出具有結構化迷思概念題目及誘答題的線上評量卷，將國小學生及數學課中的小數迷思概念，依不同結構分散在題目選項當中，並提供視窗化界面協助教師佈題並獲得試後分析結構時之需求。

1.1.2 結構化呈現小數學習迷思概念
以往測驗結束後，教師只看得到學生整體與個別的總成績、平均分數、排名，對於學生詳細具體的錯誤迷思狀況並無法掌握，而錯誤迷思種類可能不只一種而是同時存在，甚至有其相依性質，迷思發生的比率也難掌握，以致於測驗後的教學策略不容易適性化，針對關鍵問題來加以輔助學習。

本研究將採用「概念圖」[16]的理論及技術以改善以往測驗難以掌握學生學期狀況與錯誤迷思，將學生依前一節所述迷思概念題庫作答之答案收集後，對於班級所有學生及個別學生都提供教師一個圖型化的迷思架構圖，在架構圖上對於小數相關迷思概念可看到迷思概念之分類、相依性質與相互階層關係，提供教師更進一步了解其迷思概念可能的形成原因或關鍵因素，以作為優先選擇或按排輔導迷思進度與順序的參考。

1.1.3 協助教師抉擇適性化教學策略
許多數學補救教學只採取單一的教學策略，即是反覆練習作業單，這是目前我國數學科補救教學的課程與教學的重要問題之一，事實上各種錯誤類型分析和解題策略才應是數學科補救教學的主要方向和重點[35]。

教師在了解學生的迷思概念架構或形成原因後，面對不同的學生的迷思概念，教師會依其專業知識及經驗決定使用不同教學策略，而為了協助教師能在最快的時間內做出正確的決擇
本研究將利用機器學習中的「決策樹」[64]技術，記錄並學習種子教師的決策過程，形成專家決策樹，將全班學生及個别學生的迷思概念資料配合教師抉擇的教學策略類型，產生決策關連規則，將把全部學生分為四類：（1）同儕交互指導（2）測驗練習（3）家庭協助（4）教室課後輔導，然而，最後將學生分類的目的是期望教師能再同一時間將不同類別的學生同時進行輔導，達成不同類型學生相同時間分別做不同的教學，針對不同教學者分成四類，（1）同儕交互指導即是同學指導（2）測驗練習即是自我學習（3）家庭協助即是家長兄長指導（4）教室課後輔導即是任課教師指導。

以供日後其它教師在進行同一教學內容時，面對學生類似的迷思結構及背景狀況時，可迅速獲得適當的教學建議及參考。

2 文獻探討
2
本研究的相關文獻部分，將依建構理論、診斷教學、電腦適性化測驗理論、小數迷思與認知衝突、概念構圖、機器學習與決策樹等方面來進行論述：
2.1診斷教學
診斷是利用資料來決定所該做的事項，以改進情境、行動或成就。

診斷的目的不是給予等第，而是根據實況給予建議事項。

診斷適當內容程度和檢閱學生學習型態，教師必須對於學習環境敏感；環境對學習有幫助，也有所阻礙，致使學習成功，也能導致失敗。

因此診斷教學需考慮或改善環境[20]。

依據陳海泓提出診斷教學有三種形式[20]：
（1）正式診斷教學：
是將診斷項目與規定標準加以比較。

設計良好的測驗是正式診斷教學最普遍使用的工具。

其優點是給予每個學生所需的資料，其缺點是浪費時間；並且，其資料的蒐集和教師使用之間，也因必須批改和紀錄資料，通常會延擱時間，簡單的正式診斷教學可以瞭解一般學習的困難處、成就的最高點、和開始所需的新學習。

（2）非正式診斷教學：
是診斷教學的核心，廣泛的需要每個學生或每一情境的資料。

它的資料可透過團體的回饋或敏銳的觀察而獲得。

教師利用敏銳的觀察通常能獲得一些有用的資料，決定該以哪一程度教學、何時繼續、何時回溯及再教學。

觀察可著重於過程—討論；亦可著重於成果—數學試卷。

其優點是資料容易獲得，不需要固定的測驗，且在教學時能立即使用；缺點是精確度較正式診斷差，但仍適用於大部分的學生。

（3）推論診斷教學：
以教師的經驗和一群人或個人為基礎，也可能以教師的經驗和以前的一群人、個人或看來與目前類似的情境為基礎。

教師以過去的班級學生獲取某一觀念所費的時間，做為推論現在班級了解此觀念的大概時間。

其優點是能節省正式或非正式診斷教學活動所需花費的時間和精力；缺點是效度是視現在與過去的相似性而定。

此效度的範圍能從低到高，是教師專業的機靈而定。

本研究涵蓋了正式診斷教學中設計測驗、非正式診斷教學中收集班級導師觀察每位學生之各項資料、及推論診斷教學中，運用專家決策樹，模擬老師決策教學策略，可做日後教學之參考。

數學教學過程中的評量以不打擊學生的學習信心為原則，進行診斷下列事項[5]：
（1）學生瞭解的程度：
許多學生在學習知識或概念時瞭解都不完備。

教師對於學生瞭解的程度來評量，而不只是告訴學生結果他的對、錯或者他會、不會，可以增加學生學習信心。

（2）學生的解題策略：
評量學生某題做對或做錯的做法雖也能獲得一些學生瞭解程度的資訊，但如果能進一步評量出學生解題時的想法與解題策略，就更能清晰地呈現出學生的學習情況。

（3）學生常犯的錯誤：
教師在教每一年的學生，在相同單元常會發生出現過的錯誤類型，診斷評量的主要目標之一，就是要找出這些錯誤類型，進而改正觀念。

（4）學生犯錯的原因：
瞭解學生出錯的原因後，診斷評量大致完成，對於教師設計教案、決定教學策略，皆對學生有效改進錯誤，因此學生出錯的原因是相當寶貴的資料。

【簡化..二段式診斷測驗，困難…先整段刪掉】
2.2電腦輔助測驗
測驗理論(t e s t t h e o r y)（或全稱叫「心理測驗理論」）[20]是一種解釋測驗資料間實證關係(e m p i r i c a l r e l a t i o n s h i p s)的有系統的理論學說，它的發展，迄今已邁入不同的新紀元，測驗理論學者通常把它劃分成二大學派：一為古典測驗理論(c l a s s i c a l t e s t t h e o r y)—主要是以真實分數模式(t r u e s c o r e m o d e l)為骨幹[51]；另一為當代測驗理論(m o d e r n t e s t t h e o r y)—主要是以試題反應理論(i t e m r e s p o n s e t h e o r y,
I R T)為架構[52]。

這兩派理論目前並行流通於測驗學界。

兩派測驗理論之比較：
古典測驗理論的內涵，主要是以真實分數模式（亦即，觀察分數等於真實分數與誤差分數之和，數學公式為）為理論架構，依據弱勢假設(w e a k a s s u m p t i o n)而來，其理論模式的發展已為時甚久，且發展得相當規模，所採用的計算公式簡單明瞭、淺顯易懂，適用於大多數的教育與心理測驗資料，以及社會科學資料的分析，為目前測驗學界使用與流通最廣的理論依據。

然而，除上述各項優點外，古典測驗理論卻有下列諸項先天的缺失[70]：
1.古典測驗理論所採用的指標，諸如：難度(d i f f i c u l t y)、鑑別度
(d i s c r i m i n a t i o n)、和信度(r e l i a b i l i t y)等，都是一種樣本依賴(s a m p l e d e p e n d e n t)的指標；也就是說，這些指標的獲得會因接受測驗的受試者樣本的不同而不同，因此，同一份試卷很難獲得一致的難度、鑑別度、或信度。

2.古典測驗理論以一個相同的測量標準誤(s t a n d a r d e r r o r o f m e a s u r e m e n t)，作為每位受試者的測量誤差指標，這種作法並沒有考慮受試者能力的個別差異，對高、低能力兩極端組的受試者而言，這種指標極為不合理且不準確，致使理論假設的適當性受到懷疑。

3.古典測驗理論對於非複本(n o n p a r a l l e l)但功能相同的測驗所測得的分數間，無法提供有意義的比較，有意義的比較僅侷限於相同測驗的前後測分數或複本測驗分數之間。

4.古典測驗理論對信度的假設，是建立在複本(p a r a l l e l f o r m s)測量的概念假設上，但是這種假設往往不存在於實際測驗情境裡。

道理很簡單，因為不可能要求每位受試者接受同一份測驗無數次，而仍然假設每次測量間都彼此獨立不相關，況且，每一種測驗並不一定同時都有製作複本，因此複本測量的理論假設是行不通的，從方法學邏輯觀點而言，它的假設也是不合理的、矛盾的。

古典測驗理論忽視受試者的試題反應組型(i t e m r e s p o n s e p a t t e r n)，認為原始得分相同的受試者，其能力必定一樣；其實不然，即使原始得分相同的受試者，其反應組型亦不見得會完全一致，其能力估計值應該會有所不同，因此便有當代測驗理論中，依據受測者的反應來評估能力的適性測驗理論(a d a p t i v e t e s t)發展，然而受測者的反應資訊及題庫資訊數量龐大，在實際的測試中必需使用電腦計算加以輔助，也就是電腦化適性測驗(C o m p u t e r A s s i s t e d T e s t-C A T)[3]。

對於評量與教學目標的連結來說，教育評量應該是對學生各方面學習情形完整的收集過程，收集的資料是可以供診斷與監控學生的學習情形以及提供學習成就參考，非常具有實際教學功能[33]。

教學進行期間用來測知學生進步情形的測驗稱為「形成性測驗」。

它特別強調：使用測量的結果來診斷和改進教學（而非評定學生的等第）、題目的排定以類別和難度為主要依據。

它的目的在於鑑別學生學習是否成功，以求教與學之調適。

當學生的學習困難一直持續，無法以形成性測驗所提供的改正方法來解決時，就需要更深入研究學生學習困難之處，此時診斷測驗即為有用的工具，診斷測驗是用來深入探求形成性測驗無法解決的學習困難原因[19]。

所謂「客觀的試題」代表可被客觀的計分，即使不同的評分者各自評分，所評定的結果也相同。

它包含三種試題，即「是非題」、「選擇題」、「配合題」。

而「知識」層次的學習通常用客觀測驗來測量，原因是它有三個優點[19]：.
1.客觀測驗更適合於所預期的學習結果之測量
2.更能充分代表學生真正行為表現
3.評分迅速且客觀
然而試題的品質也必須考慮，如果其他條件相等，選擇題的品質最佳，因為選擇題可以測量到各種不同層次的學習結果（簡單到複雜）。

選擇題最大的優點是其適用範圍最為廣泛，除了可以有效測量「知識」層次外，也可用來測量「理解」、「應用」、「分析」、「綜合」、「評鑑」等複雜成就的學習結果[19]。

選擇題的組成元素有兩大部分，題幹（s t e m）與選項（a l t e r n a t i v e s）。

題幹就是問題本身；選項則是包括一個正確或最佳答案，和數個誘答選項（d i s t r a c t o r s）。

就選擇題的形式而言，可分為四類[33]：
【1】完全的問句（c o m p l e t e q u e s t i o n）
所謂完整的問句，指的是題幹本身就已經完整，無須選項來補充說明。

例如：太一吃了2.3個餅乾，用分數表示的話，要怎麼表示？
【2】不完全的敘述句（i n c o m p l e t e s t a t e m e n t）
在不完全的敘述句裡，必須加上選項，才成為完整的句子。

例如：大雄花了 1.4小時吃晚餐，可見得他吃晚餐
（A）相當於用了14分鐘（B）相當於用了1小時4分鐘
（C）相當於用了1小時0.4分鐘（D）相當於用了1小時24分鐘。

然而必須建議除非可以使語句更精簡而仍能保持題意的清晰，否則不宜採用不完全的敘述句。

尤其對於國小的學生而言，較不容易理解不完全的敘述句的意義。

【3】題幹置於指導語中（s t e m e m b e d d e d i n d i r e c t i o n）
有的時候由於多個選擇題的題幹完全一樣，所以乾脆把題幹放上作答說明裡。

例如：以下題目中，請挑選文法錯誤的所在。

M a r y a n d J o h n w e n t t o s c h o o l o n y e s t e r d a y.
A B C D﹡
【4】選項置於題幹中（a l t e r n a t i v e s e m b e d d e d i n s t e m）
有時由於選項的敘述非常簡短，因此將選項直接至於題幹中。

有些老師偏愛這種可以節省版面的形式，然而嚴格來說，這種編排方式並不值得鼓勵，因為學生的思考會被打斷，尤其對年紀較小的學生而言，會增加很大的困擾。

在各式各樣的考題中，選擇題的優點整理後有以下幾點：
1.選擇題可適用於各種不同層次學習結果的測量[19]。

2.選擇題可避免題意不清的缺點[19]。

3.選擇題具有診斷的效果[10]。

4.由於標準答案事先就已設定，因此不用擔心不同的評分者會給
不同的分數[33]。

編寫選擇題誘答選項的注意事項[33]：
1.誘答選項必須有似真性。

2.每個誘答選項最好都能反映出學生的迷思或學習困難。

3.每個誘答選項的文法都必須一致。

4.避免誘答選項間有著重複、同義、相似、包含、或從屬的關係。

本研究將採用電腦化適性測驗理論相似的模式，依以上五項要件，提供教師可診斷小數迷思概念的題庫。

2.3小數迷思概念
「迷思概念」（m i s c o n c e p t i o n s）廣為以科學診斷測驗的科學教育學者所用[63][68]，國內也有學者將迷思概念的研究應用在國民小學的數學教學的研究中[7][8]，研究發現迷思概念形成的一般原因有6種[26]：
1.由正式或非正式教學情境而來。

2.由日常生活經驗或通常用語而來。

3.從知識的缺乏而來。

4.由信念、被允許的意見或同儕的文化而來。

5.學童錯誤理解教師所傳遞的知識。

6.學童過度推論既有知識。

國民小學有關於小數教材分佈在三～六年級，學生小數迷思大都集中在四、五年級，六年級偏向小數乘除問題[3]。

研究發現學童在獲得的小數知識似乎都偏向程序性的了解或以記憶性的居多，學生常犯的錯誤如下[11]：
在概念題部分又有：
1.學童有「乘會變大，除會變小」的迷思概念。