大专线性代数试题及答案

大专线性代数试题及答案
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？
A. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
B. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
C. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)
D. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\)
答案：C
2. 矩阵 \(A\) 与矩阵 \(B\) 的乘积 \(AB\) 存在，那么矩阵 \(A\) 的列数必须等于矩阵 \(B\) 的行数。

这个说法是：
A. 正确
B. 错误
答案：A
3. 如果 \(\lambda\) 是矩阵 \(A\) 的一个特征值，那么
\(\lambda\) 也是 \(A\) 的转置矩阵 \(A^T\) 的特征值。

这个说法是：
A. 正确
B. 错误
答案：A
4. 向量 \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix}\) 和 \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6
\end{bmatrix}\) 是否正交？
A. 是
B. 否
答案：B
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 矩阵 \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) 的行
列式值为 ________。

答案：-2
2. 向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的内积定义为 \(\vec{a}
\cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)，若 \(\vec{a} =
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\) 和 \(\vec{b} =
\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)，则 \(\vec{a} \cdot
\vec{b} = ________\)。

答案：11
3. 矩阵 \(A\) 的秩是指矩阵 \(A\) 的行向量组或列向量组中最大线
性无关向量组的个数，记作 \(rank(A)\)。

若 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)，则 \(rank(A) = ________\)。

答案：1
4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A^2 = A\)，则称
\(A\) 是一个幂等矩阵。

若 \(A\) 是幂等矩阵，则 \(A\) 的特征值
只能是 ________。

答案：0 或 1
三、解答题（每题15分，共40分）
1. 求矩阵 \(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\) 的逆矩阵。

答案：
\[
\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{1 \times 2 - 0 \times 3} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
2. 设 \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)，
\(\vec{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)，求
\(\vec{a} + \vec{b}\) 和 \(\vec{a} - \vec{b}\)。

答案：
\[
\vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}
\]。