高考数学压轴专题新备战高考《不等式》分类汇编附答案解析

新数学高考《不等式》复习资料
一、选择题
1．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ） A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴416122555
m y x =-=-=-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
2．设x，y满足约束条件
21
21
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，若32
z x y
=-+的最大值为n，则2
n
x
x
⎛
-
⎪
⎝⎭的展开式中2x项的系数为( )
A．60 B．80 C．90 D．120
【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5
n=，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32
z x y
=-+，即
3
22
z
y x
=+，故z表示直线与y截距的2倍，
根据图像知：当1,1
x y
=-=时，32
z x y
=-+的最大值为5，故5
n=.
5
2x
x
⎛
-
⎪
⎝⎭
展开式的通项为：()()
3
5
552
155
221
r
r
r r
r r r
r
T C x C x
x
-
--
+
⎛
=⋅-=⋅⋅-⋅
⎪
⎝⎭
，取2
r=得到2x项的系数为：()2
252
5
2180
C-
⋅⋅-=.
故选：B.
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．已知,x y满足约束条件
230
2340
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪≥
⎩
，若目标函数2
z mx ny
=+-的最大值为1
（其中0,0m n >>），则11
2m n
+的最小值为（ ） A ．3 B ．1
C ．2
D ．
32
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式
求得
11
2m n +的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.
()111111515193222323232322
n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以
112m n +的最小值为3
2
. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
4．已知关于x 的不等式()()2
22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．()2,6
B ．()(),26,-∞+∞U
C ．(](),26,-∞⋃+∞
D ．[)2,6
【答案】D
【解析】 【分析】
分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数
m 的取值范围.
【详解】
当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；
当20m -≠时，则()()2
20
421620
m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
5．设实数满足条件
则
的最大值为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即
，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，
有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
6．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．
43
B ．2log 3
C ．
25
D ．2
4log 3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求出2a b +的最小值后可得2
21
a b a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可
得c 的最大值. 【详解】
因为222a b a b ++=，故222222a b a b a b a b +++=≥⨯= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立.
又因为2222a b c a b c ++++=，故2114
211212133
a b c
a b a b +++==+≤+=--，
当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24
log 3
c =. 故选：D. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正
二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.
7．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则
2
||||
PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4
C
．2 D
．1
【答案】B 【解析】 【分析】
设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】
设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()2
00080x y y =≥，
因为点(0,4)A ，则()()2
2
222
00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.
又知点Q 在圆22
(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，
要使2||||
PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.
所以()()2
2
2000
003632516||||33
y y y PA PQ y y +-+++==
++ ()
0025
36643
y y =++
-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.
所以2
||||
PA PQ 的最小值为4.
故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.
8．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->-
B
．|||b a < C ．ln ln a b b a -<-
D
．|||b a ->
【答案】C 【解析】
【分析】
利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，
1,1a b e b a e -=--=-，可排除A 、D 项；
取11,49a b =
=，则71
,1812
a b b a -=-=，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
10．已知函数24,
0()(2)1,0
x x f x x x x ⎧+>⎪
=⎨
⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(2,4)
D ．(3,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4
y x x
=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】
画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x
=+
….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可
知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
11．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，
(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1
【答案】C 【解析】 【分析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为
()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()
21f x
-＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()2
2814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
12．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩
剟
„，则x y y +的取值范围是( )
A
．12,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦
D ．3,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式121
x y x +⎧⎨
-⎩剟„表示的平面区域，整理得：
x y y +1x y =+，利用y
x 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得1
13
x y -<-„，问题得解． 【详解】
将题中可行域表示如下图，
整理得：
x y y
+1x
y =+ 易知y
k x
=
表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，y
k x
=
取得最小值-3.
且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1， 故31k -≤<-，则113
x
y -<-„， 故2
03
x y y +<
„. 故选B 【点睛】
本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．
13．已知x ，y 满足约束条件0
2340x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）
A ．2
B ．
12
C ．-2
D ．12
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】
由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：
当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】
本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.
14．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m +=有实数根的概率为（ ） A ．
18
B ．
17
C ．
16
D ．
15
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】
若方程20x
nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.
如图，40
0101
n m m n -≥⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，
即111124118
S P S ⨯⨯==
=⨯阴影正方形
. 故选：A . 【点睛】
本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.
15．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则
11
p q
+的最小值为（ ） A ．2 B ．
52
C ．
94
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11
p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，
所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14
q
p +=，（0p >，0q >） 所以
11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559
214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4
23
q p ==时取得等号．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
16．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【答案】D 【解析】 【分析】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，从而得到C 的大
小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，
222sin a b c C ++=
两式相加，得到()
2
2
cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫
+=+=-
⎪⎝
⎭
所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛
⎫-=
= ⎪⎝
⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛
⎫
-
∈- ⎪⎝
⎭
所以cos 13C π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
， 因为()0,C π∈，所以2,333C π
ππ⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭
所以03
C π
-
=，即3C π
=
，又a b =，
所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于
中档题.
17．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2
-
B ．1(,1)(,)2
-∞-+∞U C ．1(,1)2-
D ．1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()
()2
210f x f x -+>化为
221x x ->-，求出解集即可．
【详解】
解：函数()sin2x
x
f x e e
x -=-+，定义域为R ，
且满足()()sin 2x
x f x e
e x --=-+- ()()sin2x x e e x
f x -=--+=-，
∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20x
x
f x e e
x x x -=++≥+≥恒成立，
∴()f x 为R 上的单调增函数；
又()
()2210f x f x -+>，
得()()()2
21f x
f x f x ->-=-，
∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12
x >
， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 故选B ． 【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．
18．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22
220x y x y +++=，
又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
122253
31212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴
+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭
()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当23
22m n n m m
n +=⎧⎪
⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.
12
m n ∴
+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
19．若0a >，0b >，23a b +=，则
36
a b
+的最小值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．9
【答案】D 【解析】 【分析】
把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()1
23a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】
∵3613a b +=（36
a b
+）（a +2b ） ＝13(366b a
a b
+
++12)
≥
13=9 等号成立的条件为66b a
a b
=，即a=b=1时取等 所以
36
a b +的最小值为9． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题
20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】
将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：
长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =
，所以体对角线为2，
所以2
2
2
8x y z ++=，
111222
S yz xy xz =
++侧面积 由于()()()()2
2
2
2
2
2
240x y z
S x y y x x z ++-=-+-+-≥，
所以416S ≤，故4S ≤，
即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.。