反比例函数值的大小比较

反比例函数值的大小比较
洪飞
反比例函数的函数值比较大小问题是近几年出现频率较高的一类题目．在函数值可以求出时，可以计算后直接比较；当函数值不可求时，就只能根据函数性质采用数形结合的方法来比较，具有很强的抽象性，难度较大．
一、先求出数值，再比较大小
例1 若A (－
12，y 1)，B (－14，y 2)，C (3，y 3)为反比例函数y =3
x
图像上的三点，则
y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）．
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 2＜y 1＜y 3
解析 本题的函数关系式已知，且A 、B 、C 三个点的横坐标均给出，只需代入解析式求出相应的函数
值比较大小即可．
将A (－
12，y 1)，B (－14，y 2)，C (3，y 3)三点的坐标分别代入y =3
x
，得y 1=－6，y 2=－12，y 3=1，显然y 2＜y 1＜y 3，应选D ．
点评 在函数值可以求出时，可以将点的坐标直接代入函数关系式，可以计算后直接比较．
二、利用反比例函数的性质比较
例2 若1(3,)A y -、2(2,)B y -、3(1,)C y -三点都在函数1
y x
=-的图像上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）
A. 123y y y >>
B.123y y y <<
C.123y y y ==
D.132y y y <<． 解析：对于反比例函数(0)k
y k x
=
≠：当0k >时，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．
因为A 、B 、C 三点在同一个象限内，且321-<-<-，所以，123y y y <<．故选B. 例3 已知函数1
y x
=-图像上有三点（11x y ，），（22x y ，），（33x y ，），若1230x x x >>>，则下式正确的是（ ）．
A ．312y y y >>
B ．321y y y >>
C ．123y y y >>
D ．132y y y >>
解析 因为1
y x
=-
的图像在第二、四象限，在每个象限内，y 的值随x 值的增大而增大． 又因为1230x x x >>>，所以点（11x y ，）、点（22x y ，）在第四象限，120y y >>．
点（33x y ，）在第二象限，30y >．所以312y y y >>．所以答案选A ．
点评 反比例函数的图像是双曲线，y 的值随x 值的变化而变化的前提是在每条曲线上或在每个象限内．
三、利用图像比较
例4 如图是三个反比例函数x k y 1=
，x k
y 2=，x
k y 3=在x 轴上方的图
x
像，由此观察得到1k ，2k ，3k 的大小关系为（ ）
A ．1k ＞2k ＞3k
B ．3k ＞2k ＞1k
C ．2k ＞3k ＞1k
D ．3k ＞1k ＞2
k
解析 由反比例函数x
k y =
的图像和性质可估算1k ＜0，2k ＞0，3k ＞0，在x 轴上任取一值0x 且0
x ＞0，0x 为定值，则有02
1x k y =
，0
32x k y =且1y ＜2y ，如图，所以3k ＞2k ，故选（B ）． 例5 在函数x k
y =
（k ＞0）的图像上有三点A 1（1x ，1y ）、A 2（2x ，2y ）、
A 3（
3x ，3y ），已知1x ＜2x ＜0＜3x ，则下列各式中，正确的是（ ）
A ．1y ＜0＜2y
B ．
3y ＜0＜1y
C ．2y ＜1y ＜3y
D ．3y ＜1y ＜2y ．
解析 由题意画出
x k
y =
（k ＞0）的草图，再根据1x ＜2x ＜0＜3x 的条件，找出1y 、2y 、3y ，显
然2y ＜1y ＜3y ，故应选C ．
例6 已知（x1, y1），（x2, y2），（x3, y3）是反比例函数y=－4
x 的图像
上
的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y 3＜y 1＜y 2
B. y 2＜y 1＜y 3
C. y 1＜y 2＜y 3
D. y 3＜y 2＜y 1 解析 本题中由于未给出x 1、x 2、x 3的具体取值，故由函数关系式
不能直接确定出函数值．由x 1＜x 2＜0，x 3＞0可以看出三个点不在同一象限，画草图描点可得结论．
因为k ＜0，所以图像过第二、四象限.画草图、描点如图1所示． 显然y 3＜y 1＜y 2，应选A ．
点评 当函数值不可求时，就只能根据反比例函数图像的性质采用数形结合的方法来比较． 四、大小比较的逆问题
例7 已知，A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)在反比例函数x
m
y 21-=的图像上，当x 1＜0＜x 2时， y 1 ＜y 2，则m 的取值范围是（ ）．
（A ）m ＞0（B ）m ＜0（C ）m ＜
21（D ）m ＞2
1
解析 此题是一个逆向判断题，由x 1＜0＜x 2可以
看出A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)不在同一象限，两点不在同一象限的情况有下面两种情况：
因为当x 1＜0＜x 2时， y 1 ＜y 2
x
所以题目所描述的情况应属于上面的第一种情况
所以反比例函数
x m
y
2
1-
=的图像位于第一、三象限，所以0
2
1>
-m所以m＜
2
1
，所以正确答案为
C．。