线性代数试题库(矩阵)

1．对任意n 阶方阵,A B 总有〔〕
A.AB BA =
B.AB BA =
C.()T T T AB A B =
D. 222
()AB A B = 答案：B
AB BA A B ==
2．在如下矩阵中，可逆的是〔〕
A.000010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
B.110220001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C.110011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
D.100111101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
答案：D
3．设A 是3阶方阵，且2,A =-，如此1A -=〔〕 A.-2B.12-
C.12
答案：B
4．设矩阵11112
1231A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭
的秩为2，如此λ=〔〕
答案:B
提示：显然第三行是第一行和第二行的和
5．设101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，矩阵X 满足方程2AX E A X +=+，求矩阵X .
答案：201030102X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
解：22
()AX E A X A E X A E +=+⇒-=-
101001020010101100A A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
显然A E -可逆，所以：112()()()()A E A E X X A E A E ----==--
1()()()A E A E A E A E -=--+=+
201030102X ⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭
6．求如下矩阵的秩
01112022200111111011A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭
答案：3
7．设矩阵1410,1102P D ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，矩阵A 由矩阵方程1P AP D -=确定，试求5A . 答案：511/3127/3127/331/3-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
11551P AP D A PDP A PD P ---=⇒=⇒=
15141/31/310,114/31/3032P P D -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以：55114101/31/3511/3127/3.110324/31/3127/331/3A PD P ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
8．设矩阵A 可逆，证明*11()A A A --= 证明：因为**
AA A A A E ==，矩阵A 可逆，所以0A ≠ ⇒**A A A A E A A
== 又因为11A A
-=，所以：*11()A A A --= 9假如A 是( )，如此A 必为方阵.
A. 分块矩阵
B. 可逆矩阵
C. 转置矩阵
D. 线性方程组的系数矩阵
答案：B
10.设n 阶方阵A ，且0A ≠，如此*1()A -= ( ). A. A A B. *
A A
C. 1A A -
D. *A A
答案：A
11假如( )，如此A B A. A B = B. 秩()A =秩()B
C. A 与B 有一样的特征多项式
D. n 阶矩阵A 与B 有一样的特征值，且n 个特征值各不一样
答案：B
12.设123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，如此T AA =______.
答案：123246369⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
13.设m n ⨯矩阵A ，且秩()A r =，D 为A 的一个1r +阶子式，如此D =_____. 答案：0
141P AP B -=，且0B ≠，如此
A B ______. 答案：1
15.20311101X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求矩阵X 。

解：矩阵2011⎛⎫ ⎪-⎝⎭
可逆，所以由12031203111011101X X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1/20313/21/21/21013/21/2X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
16.假如对称矩阵A 为非奇异矩阵，如此1
A -也是对称矩阵.
证明：因为矩阵A 为非奇异矩阵，所以11
AA A A E --== 11()()T T T AA A A E --∴==，即：11()()T T T T A A A A E --==
因为矩阵A 为对称矩阵，所以T
A A =，如此有：11()()T T A A A A E --==
所以：11()T A A --=，即1A -也是对称矩阵.。

17.设A 是m n ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，C 是m s ⨯矩阵，如此如下运算有意义的是〔 〕
A. AB
B. BC
C. T AB
D. T AC
答案：C
18.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，如此如下各式中不正确的答案是〔 〕
A.()T T T A B A B +=+
B.111()
A B A B ---+=+ C.111()AB B A ---= D.()T T T AB B A =
答案：B
19.设A 为n 阶矩阵，秩()1A n <-，如此秩*
()A =〔 〕
C.1n -
D.n
答案：A
因为*A 是由矩阵A 的代数余子式组成，但是秩()1A n <-，所以其代数余子式全部为0，所以：*0A = 20矩阵101002340005A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
的秩为〔 〕
答案：3
21.设A 为2阶方阵,且12A =
,如此*2A =_____________. 答案：2
22.设A 是3阶矩阵,秩A =2,如此分块矩阵0A A E -⎛⎫
⎪⎝⎭
的秩为_____________. 答案：5
23.设矩阵221110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
,求矩阵B ,使2A B AB +=
解：由2A B AB +=得：(2)A E B A -=，021*******A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，
021*********(2,)110110010212121123001245A E A r -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
所以：302212245B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
24. 设三阶方阵A 的行列式det()3A =，如此A 的伴随矩阵*A 的行列式*det()A =_____. 答案：9
提示：*31det()[det()]A A -=
25. 设a b A c d ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，且det()0A ad bc =-≠，如此1A -=____. 答案： d b c a ad bc
-⎛⎫ ⎪-⎝⎭- 26. 设1231A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2103B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，(2,1)C =-，如此()T A B C -=_____. 答案：18⎛⎫ ⎪⎝⎭
27. (5分)设11102
2110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭111110211B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
且满足XA B =，求X
解：11102
2110A -⎛⎫ ⎪=⇒ ⎪ ⎪-⎝⎭
A 可逆 ∴由XA
B =，得1X BA -=
111100
0220
101100011111/3
1/34/31102/31/31/32111/35/64/3A C B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 所以：11/31/34/32/3
1/31/31/35/64/3X BA ---⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭
28. 设矩阵12*1[()]C A A A BA A --=+
其中，A =110011111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 123456789B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
.
*A 为A 的伴随矩阵.计算det()C 解：12*1
[()]C A A A BA A C E A B --=+⇒=+ 1101100110111111111A A ⎛⎫ ⎪=⇒== ⎪ ⎪⎝⎭
2234667810C E B ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭
显然：det()0C =
29．设,A B 是两个n 阶方阵，假如0AB =如此必有〔〕
A ．0A =且0
B =B ．0A =或0B =
C ．0A =且0B =
D ．0A =或0B =
答案：D
30．假如,A B 都是方阵，且2,1A B ==-，如此1A B -〔〕
A ．-2
B ．2
C ．12-
D ．12
答案：C
31．矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的伴随矩阵*A =〔〕 A ．4231⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．4321-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
C ．4231-⎛⎫
⎪-⎝⎭D ．4231-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 答案：C
32．设A 为3⨯4矩阵，假如矩阵A 的秩为2，如此矩阵3T
A 的秩等于〔〕
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：B
33．设A 为4阶矩阵，3A =，如此A -=.
答案：3 34．设200001010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，如此5A =.
答案：－32
35．设123121A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121123B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，如此T AB =. 答案：81468⎛⎫ ⎪⎝⎭
36．1500031021-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=. 答案：10
050
11023⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 提示：用分块对角矩阵做。

37．设100310041007A ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求满足关系式16A BA A BA -=+的3阶矩阵B 11116()66()A BA A BA A E BA A B A E ----=+⇒-=⇒=-
11100330020010004003040070061007A A A E --⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭
11110
022001
()030003
0061006A E ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭， 所以：113006()020001B A E --⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭
38．设矩阵121231041a A a b ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
的秩为2，求,a b .
解：12112112123100712207122410720012a a a A a a
a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为：矩阵A 的秩为 2，所以10,201,2a b a b --=-=⇒=-=
39．n 阶方阵A 满足关系式2320A A E --=，证明A 是可逆矩阵，并求出其逆矩阵. 证明：2(3)320(3)22A E A A E A A E E A
E ---=⇒-=⇒= 所以A 是可逆矩阵，且其其逆矩阵为：32
A E - 40．设A 是3阶方阵，且1A =-，如此2A =〔 〕
A ．－8
B ．－2
C ．2
D ．8
答案：A
41．设矩阵200011012A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，如此1A -=〔 〕
A ．10020
21011⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10
02021011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ C ．21011
01002⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
D ．210110002--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 答案：A 42．设A 是n 阶方阵，0A =，如此如下结论中错误的答案是〔 〕
A ．秩()A n <
B ．A 有两行元素成比例
C ．A 的n 个列向量线性相关
D ．A 有一个行向量是其余n 个行向量的线性组合
答案：B
43．设,A B 均为n 阶矩阵，且秩()A ＝秩()B ，如此必有〔 〕
A ．A 与
B 相似B ．A 与B 等价
C ．A 与B 合同
D ．A B =
答案：B
44．132100111440⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭
＝______________________. 答案：25174⎛⎫ ⎪⎝⎭
45．假如,A B 均为3阶矩阵，且2,3A B E ==-，如此AB =_____________________. 答案：－54
46．设矩阵11121321222331
3233a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，其中0(1,2,3)i i a b i ≠=如此秩()A ＝_______________.
答案：1 47．设112223433A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100211122B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，矩阵X 满足方程T AX B =，求X . 答案：3814124012---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
解：100121211012122012T B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，1T T AX B X A B -=⇒= ()(),,T
A B r E X 48．设A 是n 阶方阵，0A ≠，证明1*n A A
-= 证：***n n AA A E AA A E A A A A =⇒==⇒= 因为0A ≠，所以：1*n A A -=
49.设A 是3阶方阵，且2A =，如此A -=〔〕
A ．-6
B ．-2
C ．2
D ．6
答案：B
50．设020003400A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，如此A 的伴随矩阵*A =〔〕
A ．0061200080⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．0120008600⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．01200
08600-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭D ．0061200080-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
答案：A
51．322110101024-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭
__________。

答案：653010422⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
52．设1403A -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，如此1A -=__________。

答案：134013
A -⎛⎫ ⎪⎝⎭= 53．设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
且2AB A B =+，求B 。

答案：033123110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
解：2(2)AB A B A E B A =+⇒-=
2332110121A E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，很容易得到：2A E -是可逆的。

所以：1(2)B A E A -=-
233033100033(2,)110110010123121123001110A E A r -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
54．设方阵A 满足220A A E --=，证明A 可逆，并求其逆阵。

证：2()20()22A E A A E A A E E A
E ---=⇒-=⇒= 所以：A 可逆，且其逆阵为2
A E -。

55．设n 阶方阵,,A
B
C 满足ABC E =，如此必有〔 〕
A ．AC
B E =B ．CBA E =
C ．BAC E =
D ．BCA
E =
答案：D
56．设n 阶方阵A 中有2
n n -个以上元素为零，如此A 的值〔 〕
A ．大于零
B ．等于零
C ．小于零
D ．不能确定
答案：B
56．设3阶矩阶A=〔α1，β，γ〕，B=〔α2，β，γ〕，且2A =，1B =-，如此A B +=〔 〕
A ．4
B ．2
C ．1
D ．-4
答案：A
57．设A 是4阶方阵，2A =-，如此*A -=______. 答案：-8
58．设矩阵0001002003004
000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，如此1A -=________. 答案：10
00410003100021000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
59．设423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，且矩阵X 满足2AX A X =+,求X 。

解：2(2)AX A X A E X A =+⇒-=
2232110121A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，容易证明2232110121A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
可逆，所以
1(2)X A E A -=-
223423100386(2,)1101100102961211230012123A E A r --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
所以：3862962123X --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
61．设,A B 均为n 阶方阵，如此必有〔 〕
A ．A
B BA =B ．A B A B +=+
C ．()T A B A B +=+
D ．()T T T AB A B =
答案：A
62．设200011002A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，如此1A -=〔 〕
A ．10020
101012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭B ．1002110221002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．100210121002⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭D ．100201011022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
答案：C 63．假如方阵A 与方阵B 等价，如此〔 〕
A ．()()R A R
B =
B ．E A E B λλ-=-
C ．A B =
D ．存在可逆矩阵P ，使1P AP B -=
答案：A
64．1
1(,0,)22
A =，,2T T
B E A A
C E A A =-=+，〔E 为3阶单位矩阵〕，如此BC =___________。

答案：E
65．2A =，且133114044513A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
，如此*A =___________。

答案：33114042513-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
66．设802020301A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，*A 为A 的伴随矩阵，如此*A =___________。

答案：16
67．101020001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，如此12(3)(9)A E A E -+-=___________。

答案：201010002-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
68．设,A B 为n 阶方阵，满足A B AB +=
假如130210002B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵A 。

()A B AB A B E B +=⇒-=
030200001B E B E -⎛⎫ ⎪-=⇒- ⎪ ⎪⎝⎭
可逆。

所以：1()A B B E -=-
B E E
C B A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得11
021103002A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
69．设A 是4阶矩阵，如此A -=〔 〕
A ．4A -
B ．A -
C ．A
D ．4A
答案：C
70．设A 为n 阶可逆矩阵，如下运算中正确的答案是〔 〕
A ．(2)2T T A A =
B ．11(3)3A A --=
C ．111[(())][()]T T T A A ---=
D ．1()T A A -=
答案：A
71．设A 是2阶方阵可逆，且13712A --⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，如此A =〔 〕
A ．2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
B ．
2
713⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．2713-⎛⎫
⎪-⎝⎭D ．3712⎛
⎫
⎪⎝⎭
答案：B
72．设,A B 均为3阶矩阵，假如A 可逆，秩()2B =，那么秩()AB =〔
〕 A ．0B ．1
C ．2
D ．3
答案：C
73．设A 为n 阶矩阵，假如A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组AX b =〔
〕
A ．无解
B ．有唯一解
C ．有无穷多解
D ．解的情况不能确定
答案：B
74．设矩阵a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如此
T
AA =__________.
答案：22a ab ab b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
75．设矩阵1234A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，如此行列式2A =__________.
答案：4
76．矩阵111011001--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭
的秩等于__________.
答案：3
77．设矩阵500012037A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
10012021B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵方程XA B =的解X .
解：500012037A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，很容易得到A 是可逆的。

所以：1XA B X BA -=⇒=
231411350001203710
012021100010001A C B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以：2314113X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 78．设,A B 为同阶对称矩阵，证明AB BA +也为对称矩阵.
证：,A B 为同阶对称矩阵，所以：,T T A A B B ==
()T T T T T AB BA B A A B BA AB AB BA ∴+=+=+=+
所以：AB BA +也是对称矩阵。

79.设矩阵100020003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，如此1A -等于〔〕 A. 10031002001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 10010021003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 10030101002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D. 10021003001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
答案：B
81.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB AC =，如此必有〔〕
A. 0A =
B. B C ≠时0A =
C. 0A ≠时B C =
D. 0A ≠时B C =
答案：D
82.设111111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，123124B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭
.如此2A B += .
答案：337137⎛⎫ ⎪--⎝⎭
84.设120340121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，231240B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.求〔1〕T AB ；〔2〕4A . 答案：〔1〕12022863403
4181012110310-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
〔2〕3
4464A A A ==，而 1
203402121
A ==--. 所以3
4464128A A A ===- 85.设矩阵423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，求矩阵B 使其满足矩阵方程2AB A B =+.
答案：3862962129--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭
解：2AB A B =+即(2)A E B A -=，而
1
1223143(2)110153.121164A E ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
所以1143423386(2)1531102961641232129B A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
86.设矩阵121022426621023333
34A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
求：秩()A ；
解：对矩阵A 施行初等行变换 121021210212102000620328303283032820006200031096
3200021700000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以：秩为3.
87.设方阵A 满足30A =，试证明E A -可逆，且12()()E A E A A --=++证：
233()(),0E A E A A E A A -++=-=
2()()E A E A A E ∴-++=
E A ∴-可逆，且12()()E A E A A --=++
88.设行矩阵()123,,A a a a =，()123,,B b b b =,且121121121T A B ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭
，如此
T AB =______.
答案：0
89.设210110002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，*A 为A 的伴随矩阵，如此*A =_____.
答案：4 提示：312
*A A A -== 而210
1102002A ==，所以：312
*4A A
A -===
90.假如12421110A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，为使矩阵A 的秩有最小秩，如此λ应为_____. 答案：94
λ= 解答：124110210
14110021A λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
要使得矩阵A 的秩有最小秩，如此2
19144
λλ-=⇒= 91.矩阵X 满足AXB C =，其中100053021A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2335B --⎛⎫= ⎪⎝⎭，231212C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
，求矩阵X .(6分)
解：容易证明矩阵,A B 都可逆，所以：11
AXB C X A CB --=⇒= 1100100053013021025A A ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⇒=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，123533532B B -----⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11100231053013123410320251277X A CB ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪∴==-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
92.设,A B 均为n 阶方阵，且22,A A B B ==，证明2
()A B A B +=+的充分必要条件是0AB BA ==
证：222
()()()A B A B A B A AB BA B +=++=+++
因为：22,A A B B ==，所以：2()A B A AB BA B +=+++
假如2()0A B A AB BA B A B AB BA +=+++=+⇒+= 0AB BA AAB ABA AB BA AB BA ⇒=-⇒=-⇒=⇒==
假如0AB BA ==，如此2
()A B A AB BA B A B +=+++=+ 93．设矩阵 1 41 2 1 2 3, B , C 2 53 4 4 5 6 3 6A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
，如此如下矩阵运算有意义的是( )
A .AC
B B.AB
C C .BAC D.CBA
答案：B
94.设n 阶方阵A 满足2
0A E -=，其中E 是n 阶单位矩阵，如此必有【 】
A.A E =
B.A E =-
C.1A A -=
D.det()1A = 答案：C
95.设A 为3阶方阵，且行列式1det()2
A =
,如此det(2)A -=【 】
答案：A 96．设矩阵 1 -1 3 2 0,,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
T A 为A 的转置，如此T A B =。

答案：222061⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
-
97．设矩阵 1 23 5A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
如此行列式det()T AA 的值为. 答案：1
99．设B 是(2)n n ≥阶方阵，且B 的元素全都是1，E 是n 阶单位位矩阵。

证明：
11()1E B E B n --=-
- 证明：211()()111n E B E B E B B n n n --=-+--- 因为B 的元素全都是1，所以：2B 的元素全部为n ，即：2
B nB = 所以：211()()111n E B E B E B B E n n n --
=-+=---，即：11()1
E B E B n --=-- 100.设A 是n 阶方阵，X 是1n ⨯矩阵，如此如下矩阵运算中正确的答案是( ) A.T X AX B.XAX C.AXA D.T XAX
答案：A
101.,,,A B C E 为同阶矩阵，E 为单位阵，假如ABC E =，如此如下各式中总是成立的有
( )
A.BAC E =
B.ACB E =
C.CBA E =
D.CAB E =
答案：D
102.A 有一个r 阶子式不等于零，如此秩()A = ( )
A.r
B.1r +
C. r ≤
D.r ≥ 答案：D
103.设A 是n 阶阵，且AB AC =，如此由( )可得出B C =. A.0A ≠ B.0A ≠ C.秩()A n < D. A 为任意n 阶矩阵 答案：A
104.21121214X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，如此X =_______
答案：1/301/32⎛⎫
⎪⎝⎭
105.A=111223321121A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，如此秩()A =_______
答案：3
106.123124246124469124---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
=_____
答案：0
107.假如2
A A =，且A 不是单位阵，如此A =_______ 答案：0
108.4A =，如此1
A -=_______
答案：
14
109.1122n
⎛⎫ ⎪⎝⎭
=_______
答案：1
113
22n -⎛⎫
⎪⎝⎭
110.,,A B C 均为阶可逆阵，如此1
()ABC -=_______
答案：1
1
1
C B A ---
111.设A 是5阶方阵，1A =-，如此2A -=_______ 答案：32
112101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
，求1A
-
答案：11100110110022(,)21001001011132500111001122A E r ⎛
⎫-
⎪
⎛⎫
⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭- ⎪
⎝
⎭
113.2001A ⎛⎫=
⎪⎝⎭，1125B -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求2211()
B A B A ---
答案：53422⎛⎫
⎪⎝⎭
解：22112212()()
B A B A B A A B B AB B B A ----=-=-=-
1131532524422--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
114.n 阶方阵A 满足2
240A A E --=，其中A 给定，证明A 可逆，并求其逆矩阵。

证：2
2240(2)44
A E
A A E A A E E A E ---=⇒-=⇒= 所以A 可逆，且1
24
A E
A
--=
115．设矩阵(1,2,3)A =，102B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，如此AB 为〔〕
A.123000246⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
B.106⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C.()106
答案：D
116．设,A B 均为n 阶矩阵，且A 可逆，如此如下结论正确的答案是〔〕 A.假如0AB ≠，如此B 可逆B.假如0AB =，如此0B =
C.假如0AB ≠，如此B 不可逆
D.假如AB BA =，如此B E = 答案：B
117．设3阶方阵A 的元素全为1，如此秩()A 为〔〕
答案：B
118．设A 为3阶方阵，且行列式1A =，如此2A -=之值为〔〕
答案：A
119．设A 为(2)n n ≥阶方阵，且A 的行列式0A a =≠，如此*
A 等于〔〕
A.1
a -B.a C.1
n a
-D.n a
答案：C
120．设矩阵111022003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，如此T
A A =.
答案：1111551514⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
121．设,A B 均为3阶方阵，且3,2A B ==-，如此T
AB =.
答案：－6
122．设3阶方阵A 的秩为2，矩阵
010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100010101Q ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
假如矩阵B PAQ =，如此秩()B =. 答案：2
123．设000000a A b c ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，如此n
A =.
答案：000
000
n
n n a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
124．矩阵1321111753k A k ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，秩()2A =，求k 的值.
答案：1
13213
2132111042104211753043300122k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→++→++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1k = 125．试求矩阵方程1321430
12511113X --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭中的未知矩阵X 。

解：132141004030
12501011211113001145r --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以：40112145X ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
126.设1210,1402P B ⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
且AP PB =，求n
A 解：12
214
P =
=
P ∴可逆。

又1AP PB A PBP -=⇒=
从而得到：1
n
n
A P
B P -=
12
1121010,,1
114020222n n P B P B -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==⇒== ⎪ ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
所以：1
1
2
11210222111140222212
2n
n n n n n A ++⎛⎫⎛⎫
--⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
127.0m
A =，证明：E A -可逆，且1
1()m E A E A A ---=++。

证：因为1()()m m E A E A A E A --++
=-，又因为0m A =，所以：
1()()m E A E A A E --++
=，显然E A -可逆，且11()m E A E A A ---=++。

128.设A 是n 阶非零矩阵，*
A 是其伴随矩阵，且满足ij ij a A =，证明A 可逆。

证：有ij ij a A =得：*
T
A A =
所以：**T T A A AA A E A A AA A E ==⇒== 假设A 不可逆，如此0A =，所以：0T
T
A A AA ==
1
0.00(1,2,...)n
T
T
ik ik ik k A A AA a a a i n ===⇒=⇒==∑
所以0A =，这与题目A 是n 阶非零矩阵矛盾，所以A 可逆。

129.两矩阵即可以相加又可以相乘的条件是______ 答案：两矩阵为同阶方阵。

130. 11610251121A k k -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，且其秩为2，如此k =______
答案：3
131.假如A 是n 阶可逆矩阵，B 是m 阶可逆矩阵，A O C O B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，如此()R C =______ 答案：m n +
132.
设A 与B 均为n 阶方阵，如此如下结论中〔 〕成立。

A det()0AB =,如此0A =,或0B =；
B det()0AB =，如此det()0A =，或det()0B =；
C 0AB =,如此0A =,或0B =；
D 0AB ≠,如此det()0A ≠,或det()0B ≠。

答案：B 133
设A 为n 阶方阵，且det()2A =，如此1
*1det[()]3
A A --+= 答案：12
134.求解矩阵方程123666231543312312X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
答案：111011001X ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
135设3阶方阵A 按列分块为123(,,)A a a a =〔其中i a 是A 的第i 列〕，且5A =，又设
12132(2,34,5)B a a a a a =++，如此B =
答案：-100
136
设100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的伴随矩阵为*
A ,如此*1()A -=
答案：10061
10331112
2
2⎛⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
137
设42002
00000730051A -⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪- ⎪
-⎝⎭
，且BA A B =+,求矩阵B 。

答案：0200240000130057-⎛⎫ ⎪--
⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭
138
设12241311A a
-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，B 为三阶非零矩阵，且0AB =,如此a = 答案：-1
139
101020301A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
满足222BA E B A -=-,求矩阵B 。

答案：402040604--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
1401100n
⎛⎫= ⎪⎝⎭
答案：1100⎛⎫
⎪⎝⎭
141 设11,01A -⎛⎫=
⎪⎝⎭
如此1
(2)A -=
答案：1122102⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
142
假如,A B 为同阶方阵，如此22()()A B A B A B +-=-的充分必要条件是 答案：AB BA =
143设,A B 都是n 阶矩阵，且0AB = , 如此如下一定成立的是〔〕
0A =或0=B B ,A B 都不可逆
C ,A B 中至少有一个不可逆
D 0A B += 答案：C
144设,A B 均为可逆矩阵，如此分块矩阵0
0A B
⎛⎫
⎪⎝⎭亦可逆，1
00A B -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
答案：11
00B A
--⎛⎫ ⎪⎝⎭
145设A 为3阶可逆矩阵，且1123012001A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,如此*
A =
答案：123012001---⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
146,A B 均为n 阶矩阵，如下各式中成立的为〔〕 〔A 〕222()2A B A AB B +=++ 〔B 〕()T T T AB A B =
〔C 〕0AB =,如此0A =或0B =
〔D 〕假如||0,A AB +=，如此||0A =或||0I B += 答案：D
147设A 为6阶方阵，且| A | =2，如此*
AA =
答案：64 148设4053A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，将A 表示成3个初等矩阵的乘积，即A= 答案：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛300115011004 149．任一个m ×n 矩阵A ，仅经过初等行变换可化为00
0r
E ⎛⎫
⎪⎝⎭
的标准形式。

〔 〕 答案：×
150．A 为5行6列矩阵，且r ( A ) =5，如此A 一定没有不等于0的5阶子式。

〔 〕 答案：×
151．两个初等矩阵的乘积仍为初等矩阵。

〔 〕 答案：×
152.A ，B 均为n 阶方阵，A ≠O ，且AB=O ，如此B 的秩〔 〕
〔A 〕等于O 〔B 〕小于n 〔C 〕等于n 〔D 〕等于n-1 答案：B
122014001A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭且A 2—AB=E ，求矩阵B 。

答案：041200
8000-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
解:1=A ,故A 可逆,由于,2
E AB A =-故E B A A =-)(,即 即1
-=-A B A ,即
1
--=A A B ,故⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==
*-10041010211
A A A (注:作行变换)()(1-→A E E A 得到也正确)
故⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-0008001240100410102110041
02211
A A
B 154．设A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵〔m ≠n 〕，如此如下〔 〕的运算结果是n 阶方阵。

〔A 〕 AB 〔B 〕 B T A T 〔C 〕 〔AB 〕T 〔D 〕 A T B T
答案：D
155设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，B ≠0，且AB ＝0，如此A ，B 的秩〔〕 〔A 〕一个小于n ，一个等于n 〔B 〕都等于n
〔C 〕都小于n 〔D 〕必有一个等于零 答案：C
156．如下结论中，不正确的答案是 〔 〕 （a ） 设A 为n 阶矩阵，如此2()()A E A E A E -+=- （b ） 设,A B 均为1n ⨯矩阵，如此T
T
A B B A =
（c ） 设,A B 均为n 阶矩阵，且满足0AB =，如此222()A B A B +=+
（d ） 设,A B 均为n 阶矩阵，且满足AB BA =，如此,(,)k m m k
A B B A k m N =∈
答案：C
157．设,A B 均为n 阶矩阵，k 为正整数，如此如下各式中不正确的答案是 〔 〕
〔a 〕T T A B A B +=+ (b) T T
A B A B +=+
(c) AB BA = (d) ()k k
k AB A B =
答案：B
158．设A 为n 阶可逆矩阵，2n ≥，*A 是其伴随矩阵，如此**
()A = 答案：2
n A
A -
159．设矩阵11111
1111A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭。

矩阵X 满足*12A X A X -=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，求矩阵X 。

解：由*1*
22A X A X AA X E AX -=+⇔=+
2(2)A X AX E A A X E ⇔-=⇔-=
知(2)A A -可逆，且 1(2)A A X --=
由222100(2,)2
22010222001A A E -⎛⎫ ⎪
-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
11110021
1
011044110010
44⎛⎫- ⎪
⎪- ⎪→- ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝
⎭
160．设n 阶矩阵A 非奇异，2n ≥，*
A 是其伴随矩阵，如此〔 〕
〔a 〕**
()A =1
n A
A - (b) **()A =1
n A
A +
(c) **
()A =2
n A
A - (d)**()A =2
n A
A +
答案：C
A 为m 阶矩阵，
B 为n 阶矩阵，且,A a B b ==。

假如030A
C B ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
如此C =_______ 答案：(1)3mn m
ab -
12243311A t -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，B 为三阶非零矩阵，且0AB =。

如此t =
答案：－3
163. X AX B =+，其中01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
，求矩阵X 。

解：由X AX B =+，有()E A X B -=
所以 1
()E A B X --=
由11011(,)10120
10253E A B --⎛⎫
⎪-=- ⎪ ⎪⎝
⎭
110110113100333--⎛⎫
⎪→- ⎪ ⎪-⎝
⎭100310102000111⎛-⎫
⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭
所以 X ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
3-1＝201-1。

164. 设1
1000
1
1
000110
001A =⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
,求23,A A 和n A
解
1000010001000010001000010
0010000A E B =+=+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
1
2
122()n
n n n n n n n n n E B E E B E B B C C C C --+=++++
201
0001
0000100010001000010001000100000
00000000000B ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
32001
001
0000010
00100100000000000010000000000000000B B B ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
430001010000000
000001000000000000100000
00000000000B B B ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0123
122331
2
3
2
3
()n n n n n n n n n n n n E B E E B E B E B E B B B
C C C C C C C ---+=+++=+++
123100001
00001
00
001010000100001000000100
0010
0000
0000
0010
00000000
000n n n C C C =+++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
2
3
121101001000
1n
n
n
n
n n C C C C C C
=⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
21
210012*********A ⎛⎫ ⎪
⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭31
331013300130
001A ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
设A 是实对称矩阵，且2
0A =，证明:0A =
证明：
1112111
12121
2222122221
2
12
n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a A a a a a a a =⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
其主对角线上的元素为
1
0n
ik ki
k a a
==∑
又，A 是实对称矩阵 ik ki a a =222120i i in a a a ++
+=∴
120i i in a a a ====∴即0A =
三阶方阵A 的逆矩阵为1
111121113A -=⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，试求伴随矩阵A *的逆矩阵。

解：
1
11111212113
A
A
-=
== 1
11111111111
()()()2()2121113A A A A A A -*-------∴====⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
5
115212221102201110
10
2
2----=-=---⎛⎫ ⎪
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
注：也可以用初等变换求逆：
51100
11111001111002
21210100101100101
101130010021011
1001022⎛
⎫
-- ⎪
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭
1． 解矩阵方程
(2)211113111432321225X --=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解：
1
1
1321
111313261184
3211
1432253011225321225111112115X --------==-=------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设n 阶矩阵A 满足0,m
A
m =是正整数。

试证E A -可逆，且
121()m E A E A A A ---=+++
+
证明：21()()m m E A E A A A E A E -+
+++
+=-=
∴E A -可逆且121()m E A E A A A ---=++++
A 满足220A A E --=,证明A 与2A E +都可逆，并求1A -与1(2)A E -+.
证明：由2
20A A E --=，有()()22
A E A A E E A
E --=⇒
=
所以A 可逆且1
()2
A E A
--=
又由2
20A
A E --=有(3)(2)(3)4(2)
4
A E A E A E E A E E -+-=-⇒+=-
所以2A E +可逆且1
(3)(2)4
A E A E --+=
-
AP PB =,其中100100000,210001211B P ==--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,求A 与10A
因为0P ≠,所以P 可逆，由AP PB =
有1
110010010021000
0210211001211A PBP --=---=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
100100100100210000210200211001411611=--=----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
10111110110
()()()
()A PBP PBP PBP PBP PB P -----==
3100100100100100100000000000000000000001001001001001001B B
====-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以102100000001B B ==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1010121
100200111A PB P PB P --∴===-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
设A 是三阶方阵，且
1,27
A =
求1(3)18)A A -*-.
解：1
1
111(3)
93
3A A A A A
--**=
=
=
2
133(3)18)9189(9)(9)1A A A A A A A -*****-=-=-=-=-=-
矩阵11232
2
3
1
41011523554a A =⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
的秩为3，求a 的值。

解:将矩阵化为行阶梯形
11
2
3112
31123223140011220011221011501112011122
3554000630000630a
a a a a A a a a a ------=→→--------⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以6302a a -=⇒=当时矩阵的秩为3
设A 是n 阶方阵，假如存在n 阶方阵0B ≠，使0AB =,证明()R A n <。

证明：反证法。

设()R A n =，如此A 可逆，而由0AB =，有1
1000A AB A B --==⇒=
与0B ≠矛盾，所以()R A n <
确定参数λ，使矩阵2112121212λλλ----⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
的秩最小
解：将矩阵化为行阶梯形
2222222112112112121033033212032240021λλλλλλλλλλλλλλ----→--→------+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当1λ=时矩阵的秩最小为2
设α是三维列向量，T
α是α的转置，假如111111111T αα-=---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,如此T αα=
解：()111111T αα=--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()1111131T
αα=--=⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
设,A B 为n 阶矩阵，*
*
,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵、分块矩阵00A C B =⎛⎫
⎪
⎝⎭
,如此C 的伴随矩阵C
*
=
1
1
1
1
0000
00
A A
A C C C A
B B B B --*
--==
=⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
110
011000A A B A A A B A A B A B B A B B B B ****
**===⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
设,A B 是
三阶方阵,1,2,A B =-=如此
122()T A B -=
解：
2
2
12
3
1322
12()22(1)22
T
T A B A B
--==⨯-⨯
= 设四阶矩阵110021
3
401100
21
3,0011002100010
002B C --==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,且矩阵X
满足关系式
1()T T X E C B C E --=,求矩阵X。

解：先化简，再计算。

[]()111
1
()()T T
T
T T T
X E C B C X C E C B X C CC B X C B E
X C B -----=-=-=-=⇒=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤
⎣⎦
因为
()1
1
1
23
41
001000012321
00210000123210121000014321012
1T C B X C B ----=⇒=-==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪⎡⎤⎣⎦ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
设列矩阵1(,
,),,T T n x x x A E xx ==-证明
（1）
2A A =的充分必要条件是1T x x =
（2） 当1T
x x =时，A 是不可逆矩阵.
分析：线性代数中，假如要证明A 不可逆或0A =，往往可以用反证法：假设 A 可逆，
再在等式两端同乘以
1A -,即可得到所需要的结论。

或者直接由0Ax =有非零解，得
0A =。

证明：〔1〕
222()2()T T T T T T A A A E xx E xx E xx x x x x E xx =⇔=-=-⇔-+=-
()0(1)0T T T T T x x x x xx x x xx ⇔-=⇔-=
因为0x ≠所以T
xx 0≠从而(1)()0101T T T T x x xx x x x x -=⇔-=⇔=
〔2〕假如1T
x
x =，由〔1〕知2A A =
假设A 可逆，即0A =，将2A A =式两端同时乘以1
A -，得211A A A A --= 即A E =
由,T
A E xx
=-有0T x x = 这与0x ≠矛盾，故A 是不可逆矩阵.
或者：因 ,T
A E xx
=- 故,T Ax Ex xx x =- 当1T x x =有 0Ax =
由于0x ≠故 0Ax = 有非零解，与0Ax =只有零解矛盾， 因此
0A =
设A 为r r ⨯矩阵，B 为r n ⨯矩阵，且()R B r =，证明： 〔1〕如果0AB =如此0A =
〔2〕如果AB B =如此A E =
分析：矩阵乘法不满足消去律，故不能直接由0AB
=得0A =或0B =,也不能通过右乘1
B -
得0A =，因为B 不是方阵，无逆矩阵可言。

此题可以从以下几个方面来考虑：
① 为了利用左乘或右乘一个可逆矩阵来得到0A =，可以把B 适当分块，分出一个可逆子 ②
0AB =相当于B 的每一列是0Ax =的解，这时只需取转置0T T B A =即可，A 的每行
从而T
A 的每列恰好是齐次组0T
B
x =的解〔仅有零解〕
③ 利用矩阵的标准形来证明。

证明：〔1〕方法一
因为()R B r =，把B 的列适当加以调整〔相当于右乘可逆初等矩阵，仍保持0Ax =〕，不妨设有12(,)B B B =,其中1B 为r r ⨯矩阵，2B 为()r n r ⨯-矩阵，且10B ≠
于是由
1212(,)(,)0AB A B B AB AB ===得10AB =,两边右乘11
B -得，
1111100AB B A B --===
方法二：由0AB =得0T T B A =，说明T A 的每一列都是齐次方程组0T B x =的解，
但()()T
R B R B
r ==,即T B 的秩与方程0T B x =未知数的个数一样，齐次方程组0
T B x =只有零解，即T
A 的每列从而A 的每行必须都是零向量，也就是0A = 方法三：因()R
B r =，故存在可逆矩阵,r r
n n P Q ⨯⨯，使得()0r
PBQ E =即
()110r B P E Q --= 由()1100r AB AP E Q --==,两边右乘Q ,得
()()
11,0,00r AP E AP --==即有10AP -=，再两边右乘P ,得证0A =
〔2〕假如AB B =，如此()0AB B A E B -=-= 由〔1〕知0A E -=，即A E = 1． 假如032
=--I A A ，如此 =-1
A
答案：
3
I
A - A ，
B 为n 阶方阵，如此如下正确的答案是 〔 〕 （e ） AB=0, B ≠0, 如此 A=0 （f ） (A+B)2
=A 2
+2AB+B 2
（g ） 假如 AC=BC, C 可逆, 如此 A=B （h ） 假如 A 2=I, 如此A=±I 答案：C
A 为n 阶可逆阵，如此如下各项正确的答案是 〔 〕 〔a 〕(2A T
)=2A T
(b) (2A 1
-)=2A
1
- (c) [(A
1
-)
1
-]T =[(A T )
1
-]
1
-
(d) A=
1-A
I 答案：A
n 阶矩阵A 和B , 且A 可逆，如下正确的答案是 〔 〕
（a ） r(AB)= r(A)+r(B) (b) r(AB)=r(A)r(B) (c) r(AB)=r(B) (d) r(AB)＜r(B) 答案：C
A=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛x x x 111111,讨论A 的秩。

答案：⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2)(1(0011011111111x x x x x x x x A
所以 当3)(21=-≠A r x 时，和 当2)(2=-=A r x 时， 当1)(1==A r x 时，。