天津市河西区2019届高三下学期总复习质量调查(二)数学(理)试题(二模)Word版含答案

河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）
数 学 试 卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
·如果事件
A ，
B 互斥，那么
()()()P A B P A P B =+U
·如果事件
A ，
B 相互独立，那么 )()()(B P A P AB P ⋅=
·柱体的体积公式Sh V =
·锥体的体积公式Sh V
3
1
=
其中S 表示柱（锥）体的底面面积
h 表示柱（锥）体的高 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设全集{}
110U n N n =∈≤≤，{}1,2,3,5,8A =，{}1,3,5,7,9B =，则()U C A B =I
（A ）{}6,9 （B ）{}6,7,9 （C ）{}7,9 （D ）{}7,9,10
（2）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
则2z x y =- 的最小值等于
（A ）5-
2
（B ）2- （C ）32
-
（D ）2
（3）如图所示,程序框图的输出结果是
（A ）5
（B ）6 （C ）7 （D ）8
（4）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（5）设5.043⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,4
.034⎪⎭⎫
⎝⎛=b ，()334
log log 4c =，则
（A ）c a b << （B ）b a c <<
（C ）a b c << （D ）b c a <<
（6）已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ，其中ϕ为实数，若()⎪⎭
⎫
⎝⎛≤6πf x f 对R x ∈恒成立，且()ππf f >⎪⎭
⎫
⎝⎛2，则()x f 的单调递增区间是 （A ）()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
-
6,3
πππ
π
（B ）()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
2,πππ （C ）()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
32,6
πππ
π （D ）()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
ππ
π,2
（7）已知抛物线()2
20y px p =>与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>有相同的焦点F ，点A
是两曲线的一个交点，若直线AF
（A ）1
3
（B ）
3
2
7+ （C ）
3
3
（D ）
4
3
（8）在平行四边形ABCD 中，2AD =uuu r ，4CD =uu u r
，ο60=∠ABC ，F E ,分别是CD
BC ,的中点，DE 与AF 交于H ，则⋅的值
（A ）12
（B ）16
（C ）
12
5
（D ）
165
河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）
数 学 试 卷（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）设1z i =-（i 是虚数单位），则2
z z
+= . （10）在三棱锥ABC P -中，E D ,分别为PC PB ,的中点，记三棱锥ABE D -的体积为1V ，
三棱锥ABC P -的体积为2V ，则
=2
1
v v .
（11）5
23x x x ⎛- ⎪
⎝
⎭的展开式中3
x 的系数为 .（用数字作答） (12）已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==t
y t
x sin 2cos 2 (t 为参数), C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标
原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________. (13）若()42log 34log a b ab +=，则a b +的最小值为_____________.
（14）已知函数()x f 满足，()⎩⎨
⎧>≤+=0,
ln 0
,x x x k kx x f ，其中0≥k ，若函数()()1+=x f f y 有4个零点，则实数k 的取值范围是 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
在ABC ∆中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c .
（Ⅰ）若2c =，3
C π
=，且ABC △3cos()A B +和a ，b 的值； （Ⅱ）若B 是钝角，且3cos 5A =，12
sin 13
B =，求sin
C 的值.
（16）（本小题满分13分）
ξ
0 1 2 3
甲，乙，丙三
位学生独立地解同概率为
1
2
，乙，丙一道题，甲做对的
做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
（Ⅰ）求至少有一位学生做对该
题的概率；
（Ⅱ）求m ，n 的值； （Ⅲ）求ξ的数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，四边形ABCD 为平行四边形，
45ABC ∠=o
，2AB AC ==，M 为线段AD 的中点，点N 满足2PN ND =u u u r u u u r .
（Ⅰ）求证：直线//PB 平面MNC ； （Ⅱ）求证：平面MNC ⊥平面PAD ；
（Ⅲ）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值.
D
P
B
（18）（本小题满分13分）
数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和n
S ()n N *
∈，{}n
b 是等差数列，
已知11
2a =
，32
114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *
∈，
（i ）求n T ； （ii ）证明：()2
1
1
2
1311<⋅-∑
=+++++n
i i i i i i b b b b T .
（19）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆13
2
22=+
y a x ()
3>a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1=-OF OA ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率e ；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点()
轴上不在x B B ，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.
（20）（本小题满分14分）
已知函数()ax x x f +=ln ，在点()()t f t ,处的切线方程为13-=x y ． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）已知2≤k ，当1>x 时，()1231-+⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
>x x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）对于在()1,0中的任意一个常数b ，是否存在正数0x ，使得()12
2
02
3100<+
--+x b e x x f ,请说明理由．
河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）
数学试题（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
（1）C （2）A （3）C （4）D （5）B
（6）C
（7）B
（8）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.
（9）22i +
（10）
4
1 （11）270
（12）24sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
πθρ （13
）7+ （14）⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,1e
三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）本小题满分13分.
（Ⅰ）解：因为A B C π++=,3
C π
=
,所以A B C π+=-. 所以1
cos()cos()cos cos 32
A B C C ππ+=-=-=-=-.
由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，
又因为ABC △
，所以1
sin 2
ab C =4ab =．
联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，
，
解得2a =，2b =． ……………………7分
（Ⅱ）解：因为B 是钝角，且3cos 5A =，12
sin 13
B =.
所
以
4sin 5A ===
5cos 13B ===-
所以[sin sin ()sin()C A B A B π=-+=+
sin cos cos sin A B A B =+ 4531216
51351365
⎛⎫=⨯-+⨯=
⎪⎝⎭ ……13分 （16）本小题满分13分.
（Ⅰ）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()
()()1
2
P A P B m P C n ,,=
==.
由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生
做对该题的概率是()13
10144
P
ξ-==-
=. ……………4分 （Ⅱ）解：由题意知()()
()()11
01124
P
P ABC m n ξ===
--=， ()()11
3224
P P ABC mn ξ===
=， 整理得 1
12mn =
，712
m n +=. 由m n >，解得13m =
，1
4
n =. ……………8分 （Ⅲ）解：由题意知()
()()()
1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++
()()()()11111
111122224
m n m n m n =
--+-+-=， (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==
1
4
， 所以ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==
1312
. …………13分
（17）本小题满分13分.
（Ⅰ）证明：连接BD ，交MC 于点O ，连接
在平行四边形ABCD 中，因为1
2
MD BC =所以1
2OD OB =，
又因为2PN ND =u u u r u u u r ，即1
2
ND PN =， 所以//ON PB ，
又因为ON ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC 所以直线//PB 平面MNC （Ⅱ）证明：因为PA PD =，M 为线段AD 的中点，
所以PM AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD 于AD ，PM ⊂平面PAD
所以PM ⊥平面ABCD
在平行四边形ABCD 中，因为45ABC ∠=o ，2AB AC ==，所以AB AC ⊥ 如图，以A 为原点，分别以,AB AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,2,0)B C ，(2,2,0),(1,1,0)D M -- 因为PM ⊥平面ABCD
设(1,1,)P t -(0)t >，则(1,1,)AP t =-u u u r ，(1,1,0)CM =--u u u u r ，(2,2,0)AD =-u u u r
所以2200CM AD ⋅=-+=u u u u r u u u r ，1100CM AP ⋅=-+=u u u u r u u u r
所以,CM AD CM AP ⊥⊥，又因为AP AD A =I
所以CM ⊥平面PAD ，又因为CM ⊂平面MNC
所以平面MNC ⊥平面PAD . ……………8分
（Ⅲ）解：因为(2,0,0)AB =u u u r ，(1,1,)AP t =-u u u r
设(,,)x y z =m 为平面ABP 的一个法向量
则0
0x x y tz =⎧⎨
-++=⎩ 不妨设(0,,1)t =-m
因为(2,0,0)DC =u u u r ，(1,1,)DP t =-u u u r
设(,,)x y z =n 为平面DCP 的一个法向量
则0
x x y tz =⎧⎨
-+=⎩ 不妨设(0,,1)t =n
因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以⊥m n ，所以210t ⋅=-=m n 以为0t > 所以1t =
所以(3,1,1)BP =-u u u r
，(0,1,1)=n ，
所以sin cos ,
BP θ=<>=
=n u u u r
所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为11
. ……………13分 （18）本小题满分13分.
（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）
121112114a a q
a q ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n n
a = 设数列{}n
b 的公差为d
111182(4)1116316b d b d
⎧=⎪+⎪⎨
⎪=
⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 1
01b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-.……………6分 （Ⅱ）解：1
12
212
(1)1
112n n n
S -=
=-
- 211111
(111)()(1)122222
n n n n T n n =+++-+++=--=-+L L
111132112()(2)()(2)
(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==
⋅⋅+⋅+⋅1
112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231
1
12()111111
()()()122222322(1)2n
i i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑L 1111
2(1)22
n n +=-<+⋅. ……………13分 （19）本小题满分14分.
（Ⅰ）解：由已知得1=-c a ，即132
=--a a ，解得2=a ，所以1=c ，
得2
1
==a c e ，椭圆方程为13422=+y x . ……………………5分 （Ⅱ）解： 设直线l 的斜率为()0≠k k ，则直线l 的方程为()2-=x k y ，
设()B B y x B ,由方程组()⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=134
222y x x k y ，消去y ，
整理得()0121616342
222=-+-+k x k x k 解得2=x 或3
46
82
2+-=k k x ， 所以B 点坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-3412,3468222k k k k .
由（Ⅰ）知，()0,1F ，设()H y H ,0，有()H y FH ,1-=，
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=3412,3449222k k k k BF ，由HF BF ⊥,则0=⋅， 所以034123494222=+++-k ky k k H ，解得k
k y H 12492
-=， 因此直线MH 的方程为k
k x k y 124912
-+-=，设()M M y x M ,， 由方程组()⎪⎩
⎪⎨⎧-+-=-=1249122k x k y x k y 消去y ，解得()
11292022++=k k x M ， 在MAO ∆中，MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠， 即()222
22M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即()
111292022≥++k k ， 解得46-≤k ，或4
6≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-
∞-,4646,Y .………14分 （20）本小题满分13分. （Ⅰ）解：函数()ax x x f +=ln 的导数为()a x x f +=
'1，在点()()t f t ,处的切线 方程为13-=x y ，可得()a t
t f +='1
， 所以函数的切线方程为()()t x a t at t y -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-1
ln ，即1ln 1-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=t x a t y ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+1
1ln 31t a t ，解得2=a . ……………………3分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得()x x x f 2ln +=，因为()1231-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
->x x k x f ， 所以131ln -⎪⎭
⎫ ⎝⎛
->x k x ，即为，()03ln >--+x k x x x 可令()()3ln --+=x k x x x x g ，()k x x g -+='ln 2，由1>x ，
可得02,0ln ≥->k x ，即有()0>'x g ，()x g 在()+∞,1递增，
可得()()0211≥+=>k g x g ，所以221≤≤-k ，故k 的取值范围为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-2,21；
……………………7分
（Ⅲ）解：对于在()1,0中的任意一个常数b ，
假设存在正数0x ，使得：()122023100<+--+x b e
x x f ． 由()()201ln 20231220000x b e x b e x x x x f +=+-+--+()1212000<+⋅+=-x b e x x 成立， 从而存在正数0x ，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可． 令()()12
12-+⋅+=-x b e x x H x ， ()()()
x x x e b x bx e x e x H ----=++-='1
令()0>'x H ，解得b x ln ->，令()0<'x H ，解得b x ln 0-<<， 则b x ln -=为函数()x H 的极小值点，即为最小值点．
故()x H 的最小值为 ()()1ln 21ln ln 2ln -+⋅+-=-b b e b b H b 1ln ln 2
2-+-=b b b b b ， 再令()1ln ln 2
2-+-=x x x x x x G ()10<<x ()()
()0ln 1ln 1ln 2ln 2122>=++-+='x x x x x G 则()x G 在()1,0递增，可得()()01=<G x G ，则()0ln <-b H .
故存在正数b x ln 0-=，使得()122023100<+--+x b e x x f . ……………………14分。