高考数学一轮复习第八章平面解析几何第6讲双曲线课件文

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【解】 (1)证明：设 P(x1，y1)是双曲线上任意一点， 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x－2y＝0 和 x＋2y＝0.
点 P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是|x1－52y1|和|x1＋52y1|，
它们的乘积是|x1－2y1|·|x1＋2y1|＝|x21－4y12|＝4，
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双曲线的几何性质(高频考点) (1)已知双曲线 E：xa22－by22＝1(a>0，b>0)．矩形 ABCD
的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且
2AB＝3BC，则 E 的离心率是_____2_______．
(2)(2017·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy
(2)等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两
条渐近线互相垂直(位置关系)．
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1．已知双曲线 C：xa22－by22＝1 的焦距为 10，点 P(2，1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为____2x_02_－__y52_＝__1_____． [解析] 由已知可得双曲线的焦距 2c＝10，a2＋b2＝52＝25， 又由一条渐近线方程为 y＝bax＝12x，得12＝ba，解得 a2＝20， b2＝5，故双曲线 C 的方程为2x02－y52＝1.
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[解析] 由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－ 2a，要求 AP＋AF2 的最小值，只需求 AP＋AF1 的最小值，当 A，P，F1 三点共 线时，取得最小值，则 AP＋AF1＝PF1＝ 37， 所以(AP＋AF2)min＝AP＋AF1－ 2a＝ 37－2 5.
第八章 平面(píngmiàn)解析几何
第6讲 双曲线
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1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离．
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2．双曲线的标准方程和几何性质
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定点、最值问题的一般解题方法为：设出动点坐标(x0，y0)， 然后计算目标量(用 x0，y0 表示)，最后运用 x0，y0 满足的等 式代入目标量计算．
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设双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的半焦距为 c.已知原点到直线 l：bx＋ay＝ab 的距离等于14c＋1，则 c 的 最小值为____4______．
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与双曲线几何性质有关问题的解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化 为关于 a，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中 a，b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
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1．必明辨的 3 个易错点 (1)双曲线的标准方程中对 a、b 的要求只是 a＞0，b＞0，易 误认为与椭圆标准方程中 a，b 的要求相同． (2)注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a、b、 c 关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2. (3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在 x 轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在 y 轴上，渐近线斜率为±ab.
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Hale Waihona Puke (2)由题意得，双曲线的右准线 x＝32与两条渐行线 y＝± 33x
的交点坐标为32，± 23，不妨设双曲线的左、右焦点分别为
F1，F2，则 F1(－2，0)，F2(2，0)，故四边形 F1PF2Q 的面积 是12|F1F2|·|PQ|＝12×4× 3＝2 3.
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②不妨设 M 点在右支上， 则有 MF1－MF2＝2 3， 又 MF1＋MF2＝6 3， 故解得 MF1＝4 3，MF2＝2 3， 又 F1F2＝2 5， 因此在△MF1F2 中，MF1 边最长， 而 cos∠MF2F1＝M2F·22＋MFF12F·22－F1MF2F21<0， 所以∠MF2F1 为钝角，故△MF1F2 为钝角三角形．
其中 c＝ a2＋b2
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标准方程
实虚轴 性 质
a、b、c 的关系
xa22－by22＝1
ay22－xb22＝1
(a>0，b>0)
(a>0，b>0)
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的 长 A1A2＝2a；线段 B1B2 叫做双曲 线的虚轴，它的长 B1B2＝2b；a 叫 做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲
中，双曲线x2－ 3
y2＝1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P，Q，其焦点 是 F1 , F2 ，则四边形 F1PF2Q 的面积是_2___3____．
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【解析】 (1)如图，不妨设 AB＝3，则 BC ＝2，双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2， 则 AB 的中点为 F1，故 DF1＝52，DF2＝32， 根据双曲线的定义知 2a＝1，又 2c＝2，所 以该双曲线的离心率为22ac＝2.
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1(－a，0)， A2(a，0)
A1(0，－a)， A2(0，a)
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标准方程
渐近线 性 质 离心率
xa22－by22＝1
ay22－xb22＝1
(a>0，b>0)
(a>0，b>0)
y＝±bax
y＝±abx
e＝ac，e∈(1，＋∞)，
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求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法．待
定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准
方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，
求出 a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的
标
准
方
程
，
可
利用有公共渐
近
线
的
双
曲
线
＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点 A，B.若点 P(m，0)
5 满足 PA＝PB，则该双曲线的离心率是____2______．
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[解析] 联立直线方程 x－3y＋m＝0 与双曲线渐近线方程 y＝
±bax 可得交点坐标为3ba－m a，3bb－m a，3－b＋ama，3bb＋m a，而
线的虚半轴长
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
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1．双曲线 y2－x2＝2 的渐近线方程是___y_＝__±_x___． [解析] 由题意知y22－x22＝1，所以双曲线的渐近线方程是 y＝±x. 2．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x72－
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[解析] 根据已知，得 aa2＋b b2＝14c＋1， 又 ab≤a2＋2 b2＝c22，故14c＋1≤2c，解得 c≥4， 即 c 的最小值为 4.
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2．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在平面直角坐 标系 xOy 中，若双曲线xa22－y32＝1(a>0)经过点(2，3)，则双曲 线的渐近线方程是__y_＝__±__3_x__． [解析] 因为双曲线经过点(2，3)，所以a42－93＝1(a>0)，
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2．必会的 2 种方法
(1)待定系数法求双曲线方程的常用设法
①
与
双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1
共
渐
近
线
的
双
曲
线
可
设
为
x2 a2
－
y2 b2
＝
λ(λ≠0)； ②若渐近线方程为 y＝±bax，则双曲线可设为xa22－by22＝λ(λ≠0)； ③若过两个已知点，则双曲线设为xm2＋yn2＝1(mn<0)．
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(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出 a，b 的值或依据双 曲线的定义，求双曲线的方程． (4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及 a，b， c 之间的关系求解．
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设直线 x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线xa22－by22
方
程
为xa22
－
y2 b2
＝
λ(λ≠0)，再由条件求出 λ 的值即可．利用定义时，要特别注
意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整个双曲线，还是
双曲线的一支．
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已知 F1，F2 为双曲线x52－y42＝1 的左、右焦 点，P(3，1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则 AP＋AF2 的最小值为__3_7_－__2___5_．
5
5
55
即点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个定值．
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(2)设点 P 的坐标为(x，y)，则 PA2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x42
－1＝54x－1522＋45.
因为|x|≥2，所以当 x＝152时，PA2 的最小值为45，即 PA 的最 小值为2 5 5.
标准方程
xa22－by22＝1
(a>0，b>0)
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
图形
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标准方程
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
范围 性
对称性 质
顶点
x≥a 或 x≤－a， x∈R，y≤－a 或
y∈R
y≥a
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(2)①椭圆方程可化为x92＋y42＝1，焦点在 x 轴上，且 c＝ 9－4
＝ 5， 故设双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)，
则有a92－b42＝1，解得 a2＝3，b2＝2， a2＋b2＝5，
所以双曲线的标准方程为x32－y22＝1.
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y32＝1 的焦距是___2___1_0___． [解析] 对于双曲线x72－y32＝1，易知 a＝ 7，b＝ 3，所以 c＝
a2＋b2＝ 10，则焦距 2c＝2 10.
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3．已知双曲线的两个焦点分别为 F1(－5，0)，F2(5，0)．双
曲线上一点 P 到 F1，F2 距离差的绝对值等于 6，则双曲线的 标准方程为__x9_2－__1y_62_＝__1_．
解得 a＝1，所以渐近线方程为 y＝± 3x.
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双曲线的定义及标准方程 (1)已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)和椭圆1x62＋y92＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则 双曲线的方程为__________． (2)(2018·无锡调研)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆 4x2＋ 9y2＝36 有相同的焦点． ①求双曲线的标准方程； ②若点 M 在双曲线上，F1、F2 为左、右焦点，且 MF1＋MF2 ＝6 3，试判断△MF1F2 的形状．
kAB＝13，由 PA＝PB，可得 AB 的中点与点 P 连线的斜率为 3bb－m a＋3bb＋m a
－3，即3ba－m a＋223－b＋ama－－m0 ＝－3，化简得 4b2＝a2，所以 e＝ a2＋a2 b2＝ 25.
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双曲线的综合问题 已知双曲线 C：x42－y2＝1，P 为 C 上任意一点． (1)求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个 定值； (2)设点 A 的坐标为(3，0)，求 PA 的最小值．
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【解】 (1)椭圆1x62＋y92＝1 的焦点坐标为 F1(－ 7，0)，F2( 7， 0)，离心率为 e＝ 47.由于双曲线xa22－by22＝1 与椭圆1x62＋y92＝1 有相同的焦点，因此 a2＋b2＝7. 又双曲线的离心率 e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝ 27， 所以 a＝2，b2＝c2－a2＝3， 故双曲线的方程为x42－y32＝1.故填x42－y32＝1.