换元法
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转 化 为 只 跟 一 个 未 知 数 相 关 的 多 项 式 ， 样 易 用 配 方 法 完 成 最 值 的 求 解． 这 ３ 解 方程 （ ） ． 组
ｆ ＋． １ ． ＋ ． ＋
＼ ２
丝 ： ： 巫
原 式 可 化 为血 叶 ２ １ 即 ２ ＋ ＝ Ⅱ × 叶 ， ｎ １ （＋
１ ２
试抵 ，，为何值 时 ， ） ，
１ 一
２ｏＵ ／ ９
１ 把 原 数 代 回 即 可 得 原 式＝ ）， １
．
： 有最小值 ， 并求 出此最小值．
数字公开． Ｉ＇Ｙ Ｕ ｛ Ｙ ＥＪ Ｆ ｛ ￣
解数学题时， 把某一个式子看成…个整体 ， 用～个字母去代替它， 从而使问题得以简化 ， 这种解题方法称为换元法． 有些 问题直接求解可能会显得烦琐 但若通过适 当的换元 ， 可把问题作形式上的转换 ， 这样就容易看出问题 的内在联系 ， 化繁为简， 化难为易 ， 使问
题得 以轻松解 决．
。
换元法
基
—
ｏ 浙江嵊州谷来镇中学 蒋小铭
（ 卅 ） 开得 ＋ 们 可 以分别 设 、 ａ ， 后 ＋ 展 ／
一
不是 很 擅 长 ， 易 出现错 误 ， 以我 容 所
，／ － ， 、 ｂ－ 则原 ｙ
．
。
合 并 同类项后 得
换元 法又称 辅助 元素 法 、 量代 变
，若 把
则ｌ
例 １ 计算： ｌ
看作一 个整体 ， 设
＝＋ ， 口 ｌ１ ＝ ａ ｌ ２＋ ，
式 比原 来的 简单 ， 且容 易继续化 简．
ｉ 翻
，
已 ） 满足关系 知 ，＝ ， 式
３
，
＼— 。—． ｛｝…０） —３ ＋１ ２— ０ — — ／ ＋ ２ １ ＋
换法．通过 引进新 的未知 数 ．可 以把 零散 的条件 联 系起来 ， 隐 含 的条件 将 凸显 出来 ， 陌生 为 熟悉 ． 复 杂 为 变 变 简 单 ． 过 换元 还 可 以 化 高 次 为 低 通 次 、化分式 为整式 ． 元 的方式有 局 换
２Ｕｌ Ｕ
２ Ｕ Ｕｌ
式可化为 兰 ＋ 一 于是 有 —－２ ｘ－ ｙｘ －
６ ， 是 可知 于
２Ｕｏ９
２
３
圈圈
因 为 ａ＝ ｘ ａ ）ｂ＝ （／ ，
６， 即
２ 原可 为 ０舛一 （ ０ 则式化 （０）１ ０ ９ ＼ １（） ／ 卅 ２
，
）， 而且对根 号的运算很 多同学
２ １／ ０ ２ ０１ ０ ２
—
月
一
技
Ｙ Ｉ Ｕ ￣ Ｙ ＩＪ Ｙ ］ ，Ｉ
１ ２ ３
，
烦琐， 而且 项数 太 多 ， 过 ， 细 观 察 不 仔
后 容 易发 现 四个括 号 均含 有 ＋ ＋
２ ３
一
例 ＿ 化简： ３§
ｂ Ｘ－ ＋ ／－ ￣
一
可 以用 来表 示 ，即ｘ ｋ ２ｙ ２ ＋ ， ＝ － ，＝ ｋ ３ｚ ＝ ３一 ， ｋ １ 代入 — 可得 关 于 的 一元
基壅 一
１ 巧 妙 计 算 ．
１ ．Leabharlann 圜瞳乍一看，似乎无从下手 ，
通过换元 ， 将二次根式化
围
个
简 问 题 转 化 为 了 分 式 化 简 问 题 ． 式 分 化 简 后 再 将 二 次 根 式 代 回 ． 样 的 形 这
不过 ， 通过 观察 不难 发现 ， 式子 中有３
ｘ ￣ ‘ ｙ ＇ ｘ ｙ
－
＋
’ ‘
．
故 原 式：
．
ｘ－ ｙ
— —
ｘ２
＝
２ ０ ０ｌ
２ ０ ０１
—
ｙｘｙ （－ ）＋ｘｙ ｘ ｔ （－ ）
— — —
：
—
Ｙ
—
＋
：
产
．
ｘｘｙ ｙｙｘ （ ） （－ ） ＋
Ｙ
圈
通过换元 ， 将具体的数之
和用 字母表 示 ． 便将 看似 复 杂的 算式
Ｉ 数掌公
一 ’
： 一 ，
０ ２
３ ，ｚ 时 ， ， ’： 叼 ＇
．
ｚ 最 小 有 ‘ 取 ｕ 、
琐 ． 果 将 两 个 二 次根 式 内 的 部 分 分 如
２（ ）
２ ） ．
值 ． 最 小值 为 一 且
６
别分将 方化、 ＋ 通 可原程 为暑 ／
蕊 已知条件是一个比例 ， 通
＼ ２． １１ ｆ ＋‘０ ．２０． ｌ ＋ ／ ＋
／１ １ １ ＼
瞄豳
通过换元 ， 将原来看似无
过计 算可似 得 出 Ｙｚ 间的 关 系， ，，之 但
法计 算 的题 目变为完 全平 方式 ． 分 再
是计 算 时稍显 复 杂 ， 如果找 一 个 中间
变量 的话 则会容 易、 方便得 多．
＼ ＋３ …＋ ０ ９Ｊ ｌ— — ＋ — ０ — — ２ ２— ， ． ・
解 因式 ， 最后 将 所 设数 代 回 ， 问题 使
得 到 解 决． ２ 化 简 求 值 ．
盘豳
本题直接 计算显然比较
设丝 ： ： － 毗 ） ： 坐 ． ｋ ，都 ，
Ｘ￣ － Ｏ ／ － ａ（ ）
￣一
一 订 ） ’Ｉ Ｉ ．
…＋
． 所 以 可 令 — ＝１
—
＋—
１
—
＋ … ＋
、 ｎ ／６
６ 、 曲 一／
二次 多项 式（ － ）－２ ＋ ） （ｋ １ ｋ ２ ｚ （ｋ ３ ２ ３ 一 ）， － ＋
展 开 后 得 ６ ２ ｋ 一２ ｋ一４， 方 后 得 配
简化 了 ． 且使 其 中隐藏 的规 律 显现 出
来 了．
再 将 所 设 式 子 代 入 化 简后 的 式
子即 得
、 ／
： 鱼
ａ ６
，
所 以原 式：
部换元 、 整体换元 之分 ．
倒 ； 计算 ： ２
ｘ －９＋ ９． ～．
ａｂｘ － ＋ ／ ￣
一
．
Ⅱ ６
＾
蕊
注意￣ｘｙｚ 式 中出现 Ｊ＋ ， 傩
较 多， 妨 分别 用其 他 字母替 换 这 两 不
个 式 子 ．ｉｘ９ ．，ｙ ６ 则 原 式 可 化 为 ￣ ４， ＝ ， － － ａ
１ ０
豳 原 多项式 为三元 二次 多
项式， 直接 求最 值 显得 不 可 能 ， 里 这 利 用 已知 条件 中的 比例 ． 该 多项 式 将
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１ 把 原 数 代 回 即 可 得 原 式＝ ）， １
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解数学题时， 把某一个式子看成…个整体 ， 用～个字母去代替它， 从而使问题得以简化 ， 这种解题方法称为换元法． 有些 问题直接求解可能会显得烦琐 但若通过适 当的换元 ， 可把问题作形式上的转换 ， 这样就容易看出问题 的内在联系 ， 化繁为简， 化难为易 ， 使问
题得 以轻松解 决．
。
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。
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换元 法又称 辅助 元素 法 、 量代 变
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，
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换法．通过 引进新 的未知 数 ．可 以把 零散 的条件 联 系起来 ， 隐 含 的条件 将 凸显 出来 ， 陌生 为 熟悉 ． 复 杂 为 变 变 简 单 ． 过 换元 还 可 以 化 高 次 为 低 通 次 、化分式 为整式 ． 元 的方式有 局 换
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式可化为 兰 ＋ 一 于是 有 —－２ ｘ－ ｙｘ －
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因 为 ａ＝ ｘ ａ ）ｂ＝ （／ ，
６， 即
２ 原可 为 ０舛一 （ ０ 则式化 （０）１ ０ ９ ＼ １（） ／ 卅 ２
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可 以用 来表 示 ，即ｘ ｋ ２ｙ ２ ＋ ， ＝ － ，＝ ｋ ３ｚ ＝ ３一 ， ｋ １ 代入 — 可得 关 于 的 一元
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不过 ， 通过 观察 不难 发现 ， 式子 中有３
ｘ ￣ ‘ ｙ ＇ ｘ ｙ
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．
故 原 式：
．
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— —
ｘ２
＝
２ ０ ０ｌ
２ ０ ０１
—
ｙｘｙ （－ ）＋ｘｙ ｘ ｔ （－ ）
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．
ｘｘｙ ｙｙｘ （ ） （－ ） ＋
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和用 字母表 示 ． 便将 看似 复 杂的 算式
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．
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琐 ． 果 将 两 个 二 次根 式 内 的 部 分 分 如
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值 ． 最 小值 为 一 且
６
别分将 方化、 ＋ 通 可原程 为暑 ／
蕊 已知条件是一个比例 ， 通
＼ ２． １１ ｆ ＋‘０ ．２０． ｌ ＋ ／ ＋
／１ １ １ ＼
瞄豳
通过换元 ， 将原来看似无
过计 算可似 得 出 Ｙｚ 间的 关 系， ，，之 但
法计 算 的题 目变为完 全平 方式 ． 分 再
是计 算 时稍显 复 杂 ， 如果找 一 个 中间
变量 的话 则会容 易、 方便得 多．
＼ ＋３ …＋ ０ ９Ｊ ｌ— — ＋ — ０ — — ２ ２— ， ． ・
解 因式 ， 最后 将 所 设数 代 回 ， 问题 使
得 到 解 决． ２ 化 简 求 值 ．
盘豳
本题直接 计算显然比较
设丝 ： ： － 毗 ） ： 坐 ． ｋ ，都 ，
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展 开 后 得 ６ ２ ｋ 一２ ｋ一４， 方 后 得 配
简化 了 ． 且使 其 中隐藏 的规 律 显现 出
来 了．
再 将 所 设 式 子 代 入 化 简后 的 式
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，
所 以原 式：
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Ⅱ ６
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注意￣ｘｙｚ 式 中出现 Ｊ＋ ， 傩
较 多， 妨 分别 用其 他 字母替 换 这 两 不
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豳 原 多项式 为三元 二次 多
项式， 直接 求最 值 显得 不 可 能 ， 里 这 利 用 已知 条件 中的 比例 ． 该 多项 式 将