信息时代的数学.
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第9章
信息时代的数学
20世纪中叶高速计算机的出现与使用，使人类社会跨入了信 息时代 电子计算机是数学与工程技术完美结合的产物:早在20世纪三 十年代，数学家在数理逻辑的研究中，就形成了理论计算机 的雏形——图灵机.二次世界大战促使了这种理论转化成为技 术。 伴随着计算机技术的不断完善，数学不断为之提供理 论和技术方面的支持
• 纳皮尔算筹（约1590年）
使乘法和除法运算归结为简单的加法 和减法运算。
对数的发现“以其节省劳力而 延长了天文学家的寿命”（拉普拉斯语）
纳 皮 尔 算 筹
对数计算尺基本原理：
冈特（1581~1626）设计出了第一个对数刻度尺
这是一个标有数字的线段，从尺的左端量起的距离与所标之数的对数成正 比 ，图中两个标有刻度的尺子上,自1到2的长度是log2=0.30，自1到3的长 度是log3=0.48，……，自1到10的长度是log10=1。利用两个滑尺做乘除运 算时就可以转化为对数的加减运算。如，log4= log2 ＋log2=0.60,这个长 度就是上面一个滑尺上自1到4的长度。
• 算法有效性的一种判定法则
区分算法是否有效，要以图灵机为基本的计算工具， 用图灵机上完成计算的步数（即图灵程序）来评估一个 算法是否有效。一般地，人们习惯于依据“计算时间” 的长短来判定算法的有效性
“多项式时间算法” :如果存在确定的整数A和k，对 于长度为n的输入数据，计算可以在至多Ank步内完成 （对任意的n值）。那么，这个算法被称为“多项式时间
大于前者
假定一台计算机每10-6秒执行一次基本运算，对于已知的数据长度n，
多项式时间与指数时间算法在计算机上的运行时间如下表：
数据长度n
10
20
30
40
50
60
n 0.00001s 0.00002s 0.00003s 0.00004s 0.00005s 0.00006s
n2 0.0001s 0.0004s 0.0009s 0.0016s 0.0025s 0.0036s
国外算盘起源也很早，算盘一词在古希腊文中是“沙盘”， 由此可以推测它的原始形式可能是一种有标记的沙盘。中世 纪后期的欧洲，一些主张使用罗马数字和算盘进行计算的 “算 盘家”，与另一些主张使用阿拉伯数字和适当算法的“算术 家” 进行了长达四百年（自1100~1500年）的争论，最终算术家 占了上风，形成了现在使用的计算方法。到了18世纪，算盘
• 人工智能的研究。根据符号转换的定义，人脑或计算机进行的定理 证明、文字处理和一切可归结为符号处理的操作，都属于计算的过程。 1947年，图灵论证了智能机器的可能性。1950年图灵又根据计算机能进行 符号计算的事实，提出计算机能像人类的思维方式进行思维的观点，并给 出了检验计算机是否具有思维的能力的一个实验，这就是很著名的“图灵 检验”。1956年夏，美国的一批年轻的科学家提出人工智能的概念。1976 年西蒙等人提出了假设：任何一个系统，如果它能表现出智能，则它必须 具备执行输入符号、输出符号、存储符号、复制符号、建立符号结构和条 件性迁移操作这六种功能。反之，任何能执行这六种操作的系统，必然表 现出智能，这一假设有三个推论：第一，因为人有智能，所以人是一个符 号系统；第二，因为计算机是一个符号系统，所以计算机可以表现出智能； 第三，计算机能模拟人的职能。 该假设为人工智能提供了一个理论基础
n3 0.001s 0.008s 0.027s 0.064s 0.125s
0.216s
2n 0.001s 1.0s 17.9分 12.7天 35.7年 366世纪
3n 0.059s 58分 6.5年 3855世纪 2×108世纪 1.3×1013世纪
P型问题，它是可解的。但是诸如旅行推销员这类问题还不能说是无解的， 而是归入了称之为NP型问题
数理逻辑的诞生与“可计算”函数 对某些函数，能否用有限步、按规定次序的计算过程， 得到函数的解。如果存在这样的算法，就称函数是 “可计算”函数
1936年，英国数学家图灵（1912~1954）在 研究可计算性时提出理想计算机理论—— 图灵机。图灵机原本是对于“可计算性” 数学概念的一种定义方法，但它却成为今 天计算机运转方式的基本理论设想。
• 第一台能做加减运算的机械式计算机（1642，帕斯卡）
十九世纪，英国数学家巴贝奇是设想制 造具有程序控制功能的普通四则运算机 器的第一位学者
• 进入20世纪，计算机研究有了质的变化，这得益于 数理逻辑的纯形式化推理的研究成果，同时也依赖于科 学技术为之提供的技术保障。二次世界大战中大量计算 问题的需要，使计算机发展有了更广泛的社会基础。
1946年6月，冯· 诺伊曼又提出了更完善的设计方案， 对已有的计算机提出了三方面的改进设想：
是用二进制取代十进制，以充分发挥电子元件在速度方面 的潜力； 是设置程序计数器，以保存当前欲执行指令的地址——改 外插型计算程序为内置，从而使整个计算过程完全由电子计算 机自动控制，并有效地提高了运算速度； 是依据图灵的理论模型，认为计算机的体系结构应由运算 器、控制器、储存器、输入设备和输出设备等五个部分组成， 把“程序”和“数据”都放在储存器中，并首次提出“中央处 理器”（简称CPU）概念，而CPU 则由运算器、控制器和程序计 数器组成，这就是著名的“冯·诺依曼体系结构”。
算法”
不是多项式时间算法的算法被称之为“指数时间算
法”。当一个算法处理长度为n的输入数据时，若需 要2n（或3n, nn, n!）步，它就是一个指数时间算
法。
“有效”算法规定为需要多项式时间的算法。而将 需要指数时间的算法规定为“非有效”算法。这 种划分方法只是“理论”的划分方法，它与实际
应用还有一定的区别。对于相对大的n，后者总是
1944年，美国哈佛大学教授艾肯领导和 制造 了用继电器为元件的机电计算机 945年，美国宾夕 法尼亚大学与阿伯丁弹道实验室 联合 开发了第一 台电子管计算机, 1947 年投入弹道设计使用，后 经多次改进成为能进行各种数值计算的通用计算机。
这台计算机包括1.9万个真空管，有 30吨重，现存在华盛顿的史 密斯研究所。这一时 期，还生产了许多类似的高速数值计算的计算机， 并且有了自动程序控制的功能。但同时期类似的 计算 机时常因电子管烧坏而停机检修。更为严重 的是，其程序是 “外插型”而非“储存型”。为 了进行几分钟的运算，计算机的准 备程序往往要 花费几小时，这就使得采用电子管而获得的速度 被大大抵消
9.4 四色猜想的机器证明
四色问题猜想（英国古色里， 1852年）： 对平面或球面上的任意一个地图着色，至多用四种颜 色就可以使相邻（即有一段公共边界而不是一点或有 限点）两个国家或地区（这里所谓的“国家”或地区是 指连通的区域）的颜色不同
一个浅显易懂的命题 引发了无数专家学者的极大兴趣 一个迟迟得不到解决的的命题 1975年由美国计算机专家给出了机器的证明
其次，算筹中国古代的算筹较长，计算时占地方大。以较短的隋 筹为例，计算一道4位数乘4位数得积数是8位的乘算题，将算筹分上、中、 下三层排列，约占长90厘米、宽40厘米的地位，一张方桌不够做两道这样的
乘算题
• 算盘
由于它构造简单，价格低廉，计算方便，中国自明代 开始，筹算很快就为算盘所取代。同时也使得中国的数学依然固 守着算法化的传统
吴文俊在拓扑学上的重要成就，是“复形在欧氏空间中的实现问题”，他利 用拓扑学的性质——示嵌类，开辟了解决这一问题的道路，这一成果被称为“吴 类”载入教科书与辞典
吴法，使用变量的“三角化”、多项式除法的技巧，并给出几何结论成立的 判定准则 ，为几何的机器证明创造了有效的算法
机器证明研究一般又称为自动推理研究，其涉及的领域相当广泛。这一课题 一列入在我国近些年的国家重点科研项目——攀登计划项目中，目前，在几何定 理机器证明方面，我国处于国际领先地位。
9.3 机器证明与吴法
为实现几何定理的机器证明，一般采用代数的方法，它需要解 决以下几个问题：
首先，引进数式与坐标系，使任何几何定理的条件和结论都写成代数式，从 而几何证明成为纯代数问题。
其次，将定理假设部分的代数关系式进行整理， 第三，依确定的步骤，验证定理结论部分的代数式可由假设部分的代数式推 出。 最后，按上述步骤编写程序，并在计算机上实现
以计算机技术为代表的信息时代数学
9.1 从算筹到电子计算机
• 中国古代的算筹： 创造了以算法化为特征的中国古代数学，并取得了众多领先 于其它民族的中国古代数学成就
利用算筹进行数字计算也有其不便之处：
首先，用筹拼排数码，10以内的九个数要用29根筹，平均每个数 需用3.2根，就是说摆放一个数码平均要做３.2个动作，所以不利于计算。
国际计算机界普遍认为冯·诺依 曼体系结构的提出及其实现是现代电 子计算机基本完善的重要标志。上述 三个方面的改进最终于1949年在英国 剑桥大学完成。
闻名遐迩的“微软”
1975年1月，当时还是哈佛大学法律系二年级的学生比 尔· 盖茨从《大众电子学》封面上看到MITS公司研制的第 一台个人计算机照片。他马上产生了一种新奇的想法：这 种个人计算机体积小、价格低、可以进入家庭，甚至人手 一台，因而有可能引起一场深刻的革命——不仅是计算机 领域的革命，而且是整个人类社会生活方式、工作方式的 革命。针对当时以大型机、巨型机为主流的计算机发展的 局面，比尔· 盖茨敢于向传统、权威挑战。他写信给MITS 公司的老板，要为他的个人电脑配BASIC解释程序（他知道 若没有便于用户掌握的计算机程序语言，个人电脑难以普 及），在他的好友艾伦的帮ห้องสมุดไป่ตู้下，花了五个星期时间终于 出色地完成了这一任务。接着他从哈佛中途退学并和艾伦 创办了自己的公司“Microsoft”．
20世纪算法设计者面临的任务是解决上述第二、三两部分的难题。
1975年，吴文俊提出了定理的机器证明的方法：“吴法”
吴文俊（1919~）
1940年毕业于上海交通大学数学系，在上海教中学达五年半。1946年8月，进入 陈省身所主持的数学研究所，开始拓扑学研究，1947年11月赴法国留学，并于 1949年获法国国家博士学位，1951年回国，任中国科学院院士，是2002年中国国 家科技奖的获得者
图灵机（理论）
由三个部分组成：一条带子，一个读写头和一个控制装置。带 子分成许多小格，每小格可存一位数（0或1），也可以是空白的。机 器的运作是按逐步进行的方式，每一步由三个不同的动作组成：在任 一确定时刻，读写头对准带子上的一个方格，根据该格上的内容和机 器的状态决定自己的动作；机器可以抹去带上的原有符号，使方格保 持空白或者写上另外的（也可以与原来相同的）符号；然后让带子通 过读写头，朝两个方向之一移动一个方格
9.2 图灵机与可计算性
图灵（1912~1954）
出生于英国伦敦，19岁进入剑桥皇家学院研究量子力学和数 理逻辑。1935年，他从一名学生直接成为学院的研究员，并开始了“可 计算性”研究。1936年4月，图灵发表了“可计算数及其在判定问题上 的一个应用”的论文，形成了“图灵机”的重要思想。用反证法证明， 任何可计算其值的函数都存在相应的图灵机；反之，不存在相应图灵机 的函数就是不具有可计算其函数值算法的函数。图灵到美国学习，并于 1938年获美国普林斯顿大学博士学位。1939年秋，图灵应召到英国外交 部通讯处从事密码破译工作，开始了最早的计算机的研究工作。他于 1950年发表了“计算机和潜力”的论文，引发了“机器是否会思考”的 学术讨论。图灵思想活跃，但性格内向，1954年6月，图灵在家中因氰 化钾中毒去世，原因则众说纷纭，至今仍为一个谜。
然而，如右下图所示：任意四个国家都与其它三个 国家相邻， 但只用三种颜色着色是不行的（需使用 A、B、C、D四种颜色）。 因此，毗邻国家的最大数不恒等于着色所需的种数。 地图上不能有五个彼此都相邻的国家的论据，并不 能保证四色猜想的成立。
• 英国数学家德·摩根（1806~1871）的工作
1、从特殊的构图（如右上图）中认定：
仅用三色是无法使相邻国家着不同色，至少
需要四种颜色。 2、证明了：“五个国家，不能每个都和其余的（4个）
相邻”。 由此使他相信四色猜想是对的。即，德·摩根假定 了： 着色所需要的颜色种数，与图中相互毗邻的 国家的最大个数总是相等的
信息时代的数学
20世纪中叶高速计算机的出现与使用，使人类社会跨入了信 息时代 电子计算机是数学与工程技术完美结合的产物:早在20世纪三 十年代，数学家在数理逻辑的研究中，就形成了理论计算机 的雏形——图灵机.二次世界大战促使了这种理论转化成为技 术。 伴随着计算机技术的不断完善，数学不断为之提供理 论和技术方面的支持
• 纳皮尔算筹（约1590年）
使乘法和除法运算归结为简单的加法 和减法运算。
对数的发现“以其节省劳力而 延长了天文学家的寿命”（拉普拉斯语）
纳 皮 尔 算 筹
对数计算尺基本原理：
冈特（1581~1626）设计出了第一个对数刻度尺
这是一个标有数字的线段，从尺的左端量起的距离与所标之数的对数成正 比 ，图中两个标有刻度的尺子上,自1到2的长度是log2=0.30，自1到3的长 度是log3=0.48，……，自1到10的长度是log10=1。利用两个滑尺做乘除运 算时就可以转化为对数的加减运算。如，log4= log2 ＋log2=0.60,这个长 度就是上面一个滑尺上自1到4的长度。
• 算法有效性的一种判定法则
区分算法是否有效，要以图灵机为基本的计算工具， 用图灵机上完成计算的步数（即图灵程序）来评估一个 算法是否有效。一般地，人们习惯于依据“计算时间” 的长短来判定算法的有效性
“多项式时间算法” :如果存在确定的整数A和k，对 于长度为n的输入数据，计算可以在至多Ank步内完成 （对任意的n值）。那么，这个算法被称为“多项式时间
大于前者
假定一台计算机每10-6秒执行一次基本运算，对于已知的数据长度n，
多项式时间与指数时间算法在计算机上的运行时间如下表：
数据长度n
10
20
30
40
50
60
n 0.00001s 0.00002s 0.00003s 0.00004s 0.00005s 0.00006s
n2 0.0001s 0.0004s 0.0009s 0.0016s 0.0025s 0.0036s
国外算盘起源也很早，算盘一词在古希腊文中是“沙盘”， 由此可以推测它的原始形式可能是一种有标记的沙盘。中世 纪后期的欧洲，一些主张使用罗马数字和算盘进行计算的 “算 盘家”，与另一些主张使用阿拉伯数字和适当算法的“算术 家” 进行了长达四百年（自1100~1500年）的争论，最终算术家 占了上风，形成了现在使用的计算方法。到了18世纪，算盘
• 人工智能的研究。根据符号转换的定义，人脑或计算机进行的定理 证明、文字处理和一切可归结为符号处理的操作，都属于计算的过程。 1947年，图灵论证了智能机器的可能性。1950年图灵又根据计算机能进行 符号计算的事实，提出计算机能像人类的思维方式进行思维的观点，并给 出了检验计算机是否具有思维的能力的一个实验，这就是很著名的“图灵 检验”。1956年夏，美国的一批年轻的科学家提出人工智能的概念。1976 年西蒙等人提出了假设：任何一个系统，如果它能表现出智能，则它必须 具备执行输入符号、输出符号、存储符号、复制符号、建立符号结构和条 件性迁移操作这六种功能。反之，任何能执行这六种操作的系统，必然表 现出智能，这一假设有三个推论：第一，因为人有智能，所以人是一个符 号系统；第二，因为计算机是一个符号系统，所以计算机可以表现出智能； 第三，计算机能模拟人的职能。 该假设为人工智能提供了一个理论基础
n3 0.001s 0.008s 0.027s 0.064s 0.125s
0.216s
2n 0.001s 1.0s 17.9分 12.7天 35.7年 366世纪
3n 0.059s 58分 6.5年 3855世纪 2×108世纪 1.3×1013世纪
P型问题，它是可解的。但是诸如旅行推销员这类问题还不能说是无解的， 而是归入了称之为NP型问题
数理逻辑的诞生与“可计算”函数 对某些函数，能否用有限步、按规定次序的计算过程， 得到函数的解。如果存在这样的算法，就称函数是 “可计算”函数
1936年，英国数学家图灵（1912~1954）在 研究可计算性时提出理想计算机理论—— 图灵机。图灵机原本是对于“可计算性” 数学概念的一种定义方法，但它却成为今 天计算机运转方式的基本理论设想。
• 第一台能做加减运算的机械式计算机（1642，帕斯卡）
十九世纪，英国数学家巴贝奇是设想制 造具有程序控制功能的普通四则运算机 器的第一位学者
• 进入20世纪，计算机研究有了质的变化，这得益于 数理逻辑的纯形式化推理的研究成果，同时也依赖于科 学技术为之提供的技术保障。二次世界大战中大量计算 问题的需要，使计算机发展有了更广泛的社会基础。
1946年6月，冯· 诺伊曼又提出了更完善的设计方案， 对已有的计算机提出了三方面的改进设想：
是用二进制取代十进制，以充分发挥电子元件在速度方面 的潜力； 是设置程序计数器，以保存当前欲执行指令的地址——改 外插型计算程序为内置，从而使整个计算过程完全由电子计算 机自动控制，并有效地提高了运算速度； 是依据图灵的理论模型，认为计算机的体系结构应由运算 器、控制器、储存器、输入设备和输出设备等五个部分组成， 把“程序”和“数据”都放在储存器中，并首次提出“中央处 理器”（简称CPU）概念，而CPU 则由运算器、控制器和程序计 数器组成，这就是著名的“冯·诺依曼体系结构”。
算法”
不是多项式时间算法的算法被称之为“指数时间算
法”。当一个算法处理长度为n的输入数据时，若需 要2n（或3n, nn, n!）步，它就是一个指数时间算
法。
“有效”算法规定为需要多项式时间的算法。而将 需要指数时间的算法规定为“非有效”算法。这 种划分方法只是“理论”的划分方法，它与实际
应用还有一定的区别。对于相对大的n，后者总是
1944年，美国哈佛大学教授艾肯领导和 制造 了用继电器为元件的机电计算机 945年，美国宾夕 法尼亚大学与阿伯丁弹道实验室 联合 开发了第一 台电子管计算机, 1947 年投入弹道设计使用，后 经多次改进成为能进行各种数值计算的通用计算机。
这台计算机包括1.9万个真空管，有 30吨重，现存在华盛顿的史 密斯研究所。这一时 期，还生产了许多类似的高速数值计算的计算机， 并且有了自动程序控制的功能。但同时期类似的 计算 机时常因电子管烧坏而停机检修。更为严重 的是，其程序是 “外插型”而非“储存型”。为 了进行几分钟的运算，计算机的准 备程序往往要 花费几小时，这就使得采用电子管而获得的速度 被大大抵消
9.4 四色猜想的机器证明
四色问题猜想（英国古色里， 1852年）： 对平面或球面上的任意一个地图着色，至多用四种颜 色就可以使相邻（即有一段公共边界而不是一点或有 限点）两个国家或地区（这里所谓的“国家”或地区是 指连通的区域）的颜色不同
一个浅显易懂的命题 引发了无数专家学者的极大兴趣 一个迟迟得不到解决的的命题 1975年由美国计算机专家给出了机器的证明
其次，算筹中国古代的算筹较长，计算时占地方大。以较短的隋 筹为例，计算一道4位数乘4位数得积数是8位的乘算题，将算筹分上、中、 下三层排列，约占长90厘米、宽40厘米的地位，一张方桌不够做两道这样的
乘算题
• 算盘
由于它构造简单，价格低廉，计算方便，中国自明代 开始，筹算很快就为算盘所取代。同时也使得中国的数学依然固 守着算法化的传统
吴文俊在拓扑学上的重要成就，是“复形在欧氏空间中的实现问题”，他利 用拓扑学的性质——示嵌类，开辟了解决这一问题的道路，这一成果被称为“吴 类”载入教科书与辞典
吴法，使用变量的“三角化”、多项式除法的技巧，并给出几何结论成立的 判定准则 ，为几何的机器证明创造了有效的算法
机器证明研究一般又称为自动推理研究，其涉及的领域相当广泛。这一课题 一列入在我国近些年的国家重点科研项目——攀登计划项目中，目前，在几何定 理机器证明方面，我国处于国际领先地位。
9.3 机器证明与吴法
为实现几何定理的机器证明，一般采用代数的方法，它需要解 决以下几个问题：
首先，引进数式与坐标系，使任何几何定理的条件和结论都写成代数式，从 而几何证明成为纯代数问题。
其次，将定理假设部分的代数关系式进行整理， 第三，依确定的步骤，验证定理结论部分的代数式可由假设部分的代数式推 出。 最后，按上述步骤编写程序，并在计算机上实现
以计算机技术为代表的信息时代数学
9.1 从算筹到电子计算机
• 中国古代的算筹： 创造了以算法化为特征的中国古代数学，并取得了众多领先 于其它民族的中国古代数学成就
利用算筹进行数字计算也有其不便之处：
首先，用筹拼排数码，10以内的九个数要用29根筹，平均每个数 需用3.2根，就是说摆放一个数码平均要做３.2个动作，所以不利于计算。
国际计算机界普遍认为冯·诺依 曼体系结构的提出及其实现是现代电 子计算机基本完善的重要标志。上述 三个方面的改进最终于1949年在英国 剑桥大学完成。
闻名遐迩的“微软”
1975年1月，当时还是哈佛大学法律系二年级的学生比 尔· 盖茨从《大众电子学》封面上看到MITS公司研制的第 一台个人计算机照片。他马上产生了一种新奇的想法：这 种个人计算机体积小、价格低、可以进入家庭，甚至人手 一台，因而有可能引起一场深刻的革命——不仅是计算机 领域的革命，而且是整个人类社会生活方式、工作方式的 革命。针对当时以大型机、巨型机为主流的计算机发展的 局面，比尔· 盖茨敢于向传统、权威挑战。他写信给MITS 公司的老板，要为他的个人电脑配BASIC解释程序（他知道 若没有便于用户掌握的计算机程序语言，个人电脑难以普 及），在他的好友艾伦的帮ห้องสมุดไป่ตู้下，花了五个星期时间终于 出色地完成了这一任务。接着他从哈佛中途退学并和艾伦 创办了自己的公司“Microsoft”．
20世纪算法设计者面临的任务是解决上述第二、三两部分的难题。
1975年，吴文俊提出了定理的机器证明的方法：“吴法”
吴文俊（1919~）
1940年毕业于上海交通大学数学系，在上海教中学达五年半。1946年8月，进入 陈省身所主持的数学研究所，开始拓扑学研究，1947年11月赴法国留学，并于 1949年获法国国家博士学位，1951年回国，任中国科学院院士，是2002年中国国 家科技奖的获得者
图灵机（理论）
由三个部分组成：一条带子，一个读写头和一个控制装置。带 子分成许多小格，每小格可存一位数（0或1），也可以是空白的。机 器的运作是按逐步进行的方式，每一步由三个不同的动作组成：在任 一确定时刻，读写头对准带子上的一个方格，根据该格上的内容和机 器的状态决定自己的动作；机器可以抹去带上的原有符号，使方格保 持空白或者写上另外的（也可以与原来相同的）符号；然后让带子通 过读写头，朝两个方向之一移动一个方格
9.2 图灵机与可计算性
图灵（1912~1954）
出生于英国伦敦，19岁进入剑桥皇家学院研究量子力学和数 理逻辑。1935年，他从一名学生直接成为学院的研究员，并开始了“可 计算性”研究。1936年4月，图灵发表了“可计算数及其在判定问题上 的一个应用”的论文，形成了“图灵机”的重要思想。用反证法证明， 任何可计算其值的函数都存在相应的图灵机；反之，不存在相应图灵机 的函数就是不具有可计算其函数值算法的函数。图灵到美国学习，并于 1938年获美国普林斯顿大学博士学位。1939年秋，图灵应召到英国外交 部通讯处从事密码破译工作，开始了最早的计算机的研究工作。他于 1950年发表了“计算机和潜力”的论文，引发了“机器是否会思考”的 学术讨论。图灵思想活跃，但性格内向，1954年6月，图灵在家中因氰 化钾中毒去世，原因则众说纷纭，至今仍为一个谜。
然而，如右下图所示：任意四个国家都与其它三个 国家相邻， 但只用三种颜色着色是不行的（需使用 A、B、C、D四种颜色）。 因此，毗邻国家的最大数不恒等于着色所需的种数。 地图上不能有五个彼此都相邻的国家的论据，并不 能保证四色猜想的成立。
• 英国数学家德·摩根（1806~1871）的工作
1、从特殊的构图（如右上图）中认定：
仅用三色是无法使相邻国家着不同色，至少
需要四种颜色。 2、证明了：“五个国家，不能每个都和其余的（4个）
相邻”。 由此使他相信四色猜想是对的。即，德·摩根假定 了： 着色所需要的颜色种数，与图中相互毗邻的 国家的最大个数总是相等的