备战2021年上海高考数学复习热点难点突破专题10 圆锥曲线的性质及其应用(解析版)

专题10 圆锥曲线的性质及其应用
专题点拨
1.熟练掌握椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程中基本量的关系，能够准确应用三种曲线的轨迹定义来解决问题.
2．弦长公式：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则截得的弦长: |AB |＝
2212121()4k x x x x ++- =1＋k 2·|x 1－x 2|＝
1＋1
k
2·|y 1－y 2|(k ≠0)． 3. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解. 涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．
真题赏析
1．(2018·上海)双曲线﹣y 2
=1的渐近线方程为 ．
【答案】12y x =±
【解析】由a=2,b=1，故渐近线方程为
12y x =±.
2． (2017·上海)设双曲线x 29－y 2
b 2＝1(b >0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|＝5，则|PF 2|＝
__________． 【答案】3
【解析】依题意，有
⎩⎪⎨⎪⎧|PF →1
|＋|PF 2→
|＝2a |PF 1
→|·|PF 2
→
|＝18|PF 1→|2
＋|PF 2→|2
＝4c
2
，可得4c 2
＋36＝4a 2
，即a 2
－c 2
＝9，故有b ＝3. 例题剖析
【例1】设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π
4，若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间
的距离为________． 【答案】4
3
6
【解析】如图所示：设D 在AB 上，且CD ∠AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°∠CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系得C (1，1)，2a ＝4，把C (1，1)代入椭圆标准
方程得1a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2∠b 2＝43，c 2＝83∠2c ＝4
3
6.
【变式训练1】 设P 是椭圆
²5x + ²
3
y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A. 【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知两个焦点的距离之和为
【例2】已知1F ，2F 分别为双曲线22
22:1(,0)x y C a b a b -=>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支分别
交于A ，B 两点，△12AF F 的内切圆半径为1r ，△12BF F 的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为 ．
【答案】±【解析】记△12AF F 的内切圆圆心为C ，
边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为M 、N 、E ， 易见C 、E 横坐标相等， 则||||AM AN =， 11||||F M F E =， 22||||F N F E =，
由12||||2AF AF a -=，
即12||||(||||)2AM MF AN NF a +-+=， 得12||||2MF NF a -=，
即12||||2F E F E a -=，记C 的横坐标为0x ，则0(E x ，0)， 于是00()2x c c x a +--=，得0x a =，
同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD x ⊥轴， 设直线的倾斜角为θ，则22
OF D θ
∠=
，2902
CF O θ
∠=︒-
，
在2CEF ∆中，12tan tan(90)2||
r CF O EF θ
∠=︒-=，
在2DEF ∆中，2
2tan tan 2
||
r DF O EF θ
∠==
， 由122r r =，可得2tan tan(90)cot 222
θ
θθ
=︒-=，
解得tan
2
θ
则直线的斜率为2
2tan
2tan 1112
2
tan θ
θθ
=
=
=--， 由对称性可得直线l
的斜率为±
故答案为：±
【变式训练2】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C
的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________． 【答案】y ＝±
3
2
x 【解析】 设C 1的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则它的渐近线为y ＝±b a x ，即b ＝3a .有x 2a 2－y 2
3a 2＝1，又∠P 的纵坐标是
Q 的2倍，横坐标相同．∠C 2的方程为x 2a 2－()2y 23a 2＝1，故渐近线方程为y ＝±3
2
x .
【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是 ． 【答案】4
【解析】抛物线242y x px ==， 2p ∴=，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ||15PF x ∴=+=，
4x ∴=，
故答案为：4．
【变式训练3】已知抛物线24y x =的焦点为F ，该抛物线上点P 的横坐标为2，则||PF = ． 【答案】3
【解析】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，
P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，
||213PF ∴=+=．
故答案为：3．
【例4】椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）过点()2,0M ，且右焦点为()1,0F ，过F 的直线l 与椭圆C
相交于A 、B 两点，设点()4,3P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ； （1）求椭圆C 的方程；
（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；
（3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出12k k +的取值范围；
【解析】（1）2,1a c ==
，b ∴==故椭圆的方程为22
143
x y +=.（2）直线l ：1y x =-+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221
143
y x x y =-+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消y 得2
7880x x --=，有1287x x +=，1287x x =-，所以
()()1212121212121212122433221
44444162
x x x x y y x x k k x x x x x x x x +++------⋅=
⋅=⋅==-----++.（3）当直线AB 的斜率不存在时，不妨设31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，则13312412k -
==-，2
3
332412k +==-，故122k k +=.当直线AB 斜率存在时，设为k ，则直线
AB ：()1y k x =-.设()11,A x y ，()
22,B x y ，由()
221143
y k x x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，消y 得
()()2
2
2
2
4384120
k
x k x k +-+-=，有
2
122
843
k x x k +=+，
2122412
43
k x x k -⋅=
+，则
()()()()1212121212121212122538333334444416
kx x k x x k y y kx k kx k k k x x x x x x x x -++++------+=
+=+=-----++
()
()
22
7212361k k +=
=+.
巩固训练
一、填空题
1.已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 ． 【答案】90︒
【解析】双曲线2211x y -=的两条渐近线的方程为：y x =±， 所对应的直线的倾斜角分别为90︒，
∴双曲线221x y -=的两条渐近线的夹角为90︒，
故答案为：90︒．
2.若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =，则直线l 的方程为 ． 【答案】10x y --=
【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)，方向向量为(1,1)d =的直线l 的斜率为 1， 故直线l 的方程是01(1)y x -=-，即1y x =-， 故答案为：10x y --=．
3.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相
同，则此双曲线的方程是 ．
【答案】22
1520
x y -=
【解析】抛物线220y x =的焦点为(5,0)， 则双曲线的焦点在x 轴上，
双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线为2y x =，可得2b a =，
由题意双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点与抛物线220y x =
5=，
解得a
，b =，
则双曲线的方程为：22
1520x y -=．
故答案为：22
1520
x y -=．
4.已知点O ，A ，B ，F 分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F 作
OB 的平行线，它与椭圆C 在第一象限部分交于点P ，若AB OP λ=，则实数λ的值为 ．
【解析】如图，
(,0)A a -，(0,)B b ，(,0)F c ，
则2
(,)b P c a
，
∴(,)AB a b =，2
(,)b OP c a =，
由AB OP λ=，得2a c b b a λλ=⎧⎪
⎨=⎪⎩，即b c =，
22222a b c b ∴=+=
，
a
b
=
则a
b
λ=
．
5.已知椭圆22
194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是 ．
【解析】由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线2180lx y ++=与椭圆不相交， 设直线m 平行于直线l ，则直线m 的方程可以写成20x y k ++= （1）
由方程组22
194
20x y x y k ⎧+
=⎪⎨⎪++=⎩消去x ，得2225164360y ky k ++-= （2） 令方程（2）的根的判别式△0=，得22216425(436)0k k -⨯-= （3） 解方程（3）得15k =或25k =-，
∴当15k =时，直线m 与椭圆交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为250x y ++=，
直线m 与直线l
间的距离d =
． 二、选择题
6.已知椭圆22
12516x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个
顶点，则点p 到x 轴的距离为( )
A ．95
B ．4 C
D ．
165
【答案】D
【解析】设椭圆短轴的一个端点为M ． 由于5a =，4b =，
3c b ∴=<；
1290F MF ∴∠<︒，
∴只能1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒．
令3x =±，得
2165b y a ==，
故选：D ．
7.点A 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点，P 为椭圆C 上一点（不与A 重合），若0(PO PA O =是坐
标原点），则(c
c a 为半焦距）的取值范围是(( )
A ．1(,1)2
B
． C
． D ．以上说法都不对
【答案】B
【解析】设(,)P x y ，0(PO PA O =是坐标原点），
∴222
22322222222()024a a x y c x a x a b b x a y a b ⎧-+=⎪⇒-+=⎨⎪+=⎩， 22()()0c x ab x a ⇒--=．
x a ⇒=，2
2ab x c =，
2
20ab a c ∴<<．
22b c ∴<．
∴
c a >
∴则
c
a
的取值范围是1)
故选：B ．
8.已知M （00,x y ）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则
0y 的取值范围是( )
A.
（-
3
，3
） B.
（-
6
，6）C.
（
） D.
（
） 【答案】A
【解析】
由题意()
1F
，)
2
F ，220012
x y -=，所以
(
))
120000,,MF MF x y x y ⋅=--⋅
-2220
003310x y y =+-=-<，
解得0y << 9.已知点E 是抛物线2:2(0)C y px P =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上，在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=∠，则μ的最大值为( )
A ．
2
B
C
D 【答案】C
【解析】过(P x 轴上方）作准线的垂线，垂足为H ，
则由抛物线的定义可得||||PF PH =，由sin sin EFP FEP μ∠=∠，
则PFE ∆中由正弦定理可知：则||||PE PF μ=， ||||PE PH μ∴=，
设PE 的倾斜角为α，则1
cos PH PE αμ
=
=， 当μ取得最大值时，cos α最小，此时直线PM 与抛物线相切， 设直线PM 的方程为2
p
x ty =-，则， 即2220y pty p -+=，
∴△222440p t p =-=，
1k ∴=，即tan 1α=
，则cos α=
则μ
， 故选：C ． 三、解答题
10.已知椭圆的两个焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F
，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程．
（2）已知斜率为(0)k k ≠的直线11过2F ，与椭圆分别交于P ，Q ；直线2l 过2F ，与直线11垂直，与椭圆分别交于M ，N ，求四边形PMQN 面积的函数解析式()f k ．
【解析】（1）设椭圆的方程为22
221x y a b +=，0a b >>
由题意可得222221
1112c a b a b c
=⎧⎪⎪
+=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a =，21b =
（2）设直线1l 的方程为(1)y k x =-，则直线2l 的方程为1
(1)y x k =--
设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，
联立方程
2
21
2
(1)
x
y
y k x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
，化简得2222
(21)4220
k x k x k
+-+-=．
则
2
122
4
12
k
x x
k
+=
+
，
2
122
22
12
k
x x
k
-
=
+
，
22
1212
1
||||1()4
PQ x x k x x x x
∴=-=++-
422
2222
16881
22
(12)1212
k k k
k k k
-+
=-=
+++
，
同理，得
2
2
1
||2
2
k
MN
k
+
=
+
，
()()
22
22
14(1)
2122
PMNQ
k
S PQ MN
k k
+
∴===
++
四边形
，
22
22
4(1)
()
(12)(2)
k
f k
k k
+
∴=
++
，0
k≠．
11.已知抛物线2
y x
=上的A，B两点满足2
OA OB=，点A、B在抛物线对称轴的左右两侧，且A的横坐标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F．
（1）当点B的横坐标为2，求点A的坐标；
（2）抛物线上是否存在点M，使得||||(0)
MF MO
λλ
=>，若请说明理由；
（3）设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积最小值时点B的坐标．
【解析】（1）由题意知，(2,4)
B，设2
(,)
A t t，
由2
OA OB=，得2
242
t t
+=，
解得：
1
2
t=（舍)或1
t=-，
(1,1)
A
∴-；
（2）由条件知22222
1
()()
4
x x x y
λ
+-=+，
把2
y x
=代入得222
11
(1)()0
2
16
y y
λλ
-+-+=，
∴22
3
()
4
λλ
=-，
当1
λ=，M
有两个点，当λ=，M点存在，
1
λ
<<，M点有四个，当1
λ>，M点有二个，
当0λ
<<，M点不存在；
（3）设211(,)B x x ，222(,)A x x ，
由题意得：2212122x x x x +=，解得122x x =-．
设直线AB 的方程为y kx m =+，
联立2y kx m y x
=+⎧⎨=⎩，得20x kx m --=， 得12x x m =-，
又122x x =-，2m ∴=，则直线经过定点(0,2)，
OAB OBC OAB OBF OABC S S S S S ∆∆∆∆∴=+=+四边形
121111119292()2322484x x x x x =
⨯⨯-+⨯⨯=+=， 当且仅当143
x =等号成立，四边形OABC 面积最小， 4(3B ∴，16)9
． 12.已知双曲线22
22:1x y C a b
-=经过点()2,3，两条渐近线的夹角为60，直线l 交双曲线于A ,B 两点； （1）求双曲线C 的方程；
（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ,B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均
存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；
（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点
1F 无论怎
样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得：2
2491a b b a
⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
解得1,a b ==C 的方程为2
2
13y x -=.（2）证明：设()00,A x y ，由双曲线的对称性可得()00,B x y --，设(),P x y ，则22020
PA PB y y k k x x -⋅=-，因为220033y x =-，2233y x =-，所以22020
3PA PB y y k k x x -⋅==-.（3）由（1）得点()12,0F ，当直线l 的斜率存在时，设直线方程()2y k x =-，设
()11,A x y ，()22,B x y ，将方程()2y k x =-与双曲线方程联立消去y 得：()222234430k x k x k --++=，所以22121222443,33
k k x x x x k k ++=⋅=--，假设存在定点M ，使MA MB ⊥恒成立，设为(),M m m ，则()()()()1212220MA MB x m x m k x n k x n ⋅=--+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故得
()()222224512310m n m k nk m n +----+-=，对任意的23k >恒成立，因此222245012010m n m n m n ⎧+--=⎪=⎨⎪+-=⎩
，解得1,0m n =-=.所以当()1,0M -时，MA MB ⊥恒成立.当直线l 斜率不存在时，由()()2,3, 2.3A B -知点()1,0M -使得MA MB ⊥也成立.又因为点()1,0M -是双曲线C 的左顶点，所以存在定点()1,0M -，使得MA MB ⊥恒成立.。