2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第八章+平面解析几何 第7节 抛物线
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第三十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝y61y422＝m2. 由题意可知 OA⊥OB，即 x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m ＝8 或 m＝0(舍)， ∴l2：x＝y＋8，M(8,0)． 故 S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝12·|FM|·|y1－y2| ＝3 y1＋y22－4y1y2＝24 5.
第七节 抛物线
考纲传真 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何 图形、标准方程及简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用.4. 理解数形结合的思想．
第一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距 离 相等 的点的轨迹叫做抛物线．
y0＝－12(2－ 2)＋14＝－3－42 2，
①
y0＝－1－2p 22＝－3－22p
2 .
②
由①②得 p＝2.
第二十五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(2)设 N(x，y)，Ax1，x421，Bx2，x422，x1≠x2，由 N 为线
段 AB 中点知 x＝x1＋2 x2，
③
y＝x21＋8 x22.
④
切线 MA，MB 的方程为
y＝x21(x－x1)＋x421，
⑤
y＝x22(x－x2)＋x422.
⑥
第二十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
由⑤⑥得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为 x0＝x1＋2 x2，y0＝x14x2.
因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x20＝－4y0，
第八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
4．(2013·四川高考)抛物线 y2＝8x 的焦点到直线 x－ 3y
＝0 的距离是( )
A．2 3
B．2
C. 3
D．1
【解析】 抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，
则 d＝ |21－ 2＋－3×03|2＝1.故选 D.
【答案】 D
第九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
图 8－7－1
第二十三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(1)求 p 的值； (2)当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A， B 重合于 O 时，中点为 O)． 【思路点拨】 (1)由导数及切线 MA 的斜率确定切点 A 的坐标，进而求 M 的坐标，代入求 p；(2)根据题设条件及第 (1)题的结论，构造动点 N(x，y)与 Ax1，x421，Bx2，x422之间的 关系，由相关点法求动点 N 的轨迹方程．
第二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
y2＝
方程 2px(p>0)
y2＝－ 2px(p>0)
x2＝ 2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
第三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
焦点 坐标
∴|AF|＝x1＋p2＝13＋12＝56.
【答案】
5 6
第十五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 1 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般 运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定 义实施转化，使解答简捷、明快．
2．若 P(x0，y0)为抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易 得|PF|＝x0＋p2；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数的 关系整体求出．
则|MH|∶|MN|＝1∶ 5，即|MF|∶|MN|＝1∶ 5. 【答案】 C
第十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 1 抛物线的定义及应用 【例 1】 (2014·济南质检)过抛物线 y2＝2x 的焦点 F 作 直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|＝2152，|AF|＜|BF|，则|AF| ＝________. 【思路点拨】 由抛物线定义，将|AF|、|AB|转化为到焦 点的距离，数形结合，借助几何直观求解．
规律方法 2 1.本题要恰当设出抛物线标准方程的形式． 2．(1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与 准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中 系数 2p 的关系；(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行 分类讨论，标准方程有时可设为 y2＝mx 或 x2＝my(m≠0)．
第十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 1 (2014·北京东城模拟)已知抛物线 y2＝2x 的 焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA| ＋|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标．
【解】 将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部(如图)．
5．(2013·江西高考)已知点 A(2,0)，抛物线 C：x2＝4y 的
焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交
于点 N，则|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ 5
B．1∶2
C．1∶ 5
D．1∶3
第十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解析】 如图所示，由抛物线 定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN| ＝ |MH| ∶ |MN|. 由 于 △ MHN ∽ △ FOA，则||MHNH||＝||OOFA||＝12，
(1)求抛物线 C 的方程； (2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的 两点 A、B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．
第二十九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解】 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴82＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为 y2＝8x. (2)直线 l2 与 l1 垂直， 故可设 l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴的交点 M. 由xy2＝＝y8＋x m 得 y2－8y－8m＝0，
第十九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 由题意设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，则 M 到焦点的距离为 xM＋p2＝2＋p2＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.
∴y20＝4×2，∴y0＝±2 2. ∴|OM|＝ 4＋y20＝ 4＋8＝2 3. 【答案】 B
第二十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
第七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
3．(2014·广州质检)设抛物线的顶点在原点，准线方程为
x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x
B．y2＝8x
C．y2＝－4x
D．y2＝4x
【解析】 因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以p2＝2，
所以 p＝4，所以抛物线的方程是 y2＝8x.
【答案】 B
k2x2－(k2＋2)x＋k42＝0.
(*)
∴x1＋x2＝1＋k22，
又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝2152，
因此 x1＋x2＝1＋k22＝1132，k2＝24.
第十四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
则方程(*)为 12x2－13x＋3＝0，
又|AF|＜|BF|，∴x1＝13，x2＝34.
第二十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 2 已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦
点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是( )
A．y2＝±2 2x
B．y2＝±2x
C．y2＝±4x
D．y2＝±4 2x
【解析】 ∵x2－y2＝1 的焦点为(－ 2，0)，( 2，0)， ∴抛物线 C 的焦点为(－ 2，0)或( 2，0)，则 p＝2 2， 因此抛物线 C 的方程为 y2＝4 2x 或 y2＝－4 2x. 【答案】 D
2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛 物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1 ＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
第二十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 3 (2013·合肥高三第二次联考)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：y＝－x 的一个பைடு நூலகம்点的横坐标为 8.
第十二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 由 y2＝2x，知 p＝1，F12，0. 又|AB|＝2152，知 AB 的斜率存在(否则|AB|＝2)．
第十三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
设直线 AB 的方程为 y＝kx－12(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，
y2)．
将 y＝k(x－12)代入 y2＝2x，得
第十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 2 抛物线的标准方程与几何性质
【例 2】 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点 O，并且经过点 M(2，y0)．若点 M 到该抛物线焦点的距离
为 3，则|OM|＝( )
A．2 2
B．2 3
C．4
D．2 5
【思路点拨】 依条件，知抛物线的焦点在 x 轴的正半 轴，进而求出方程和 y0，得|OM|.
所以 x1x2＝－x21＋6 x22.
⑦
由③④⑦得 x2＝43y，x≠0.
当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐
标满足 x2＝43y.
因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2＝43y.
第二十七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 3 1.本题求解的关键是求点 M 的坐标，在第(1) 问中，代入求 p，在第(2)问中，代入曲线 C2 求轨迹方程，体 现方程思想的应用．
准线 方程 离心
率
p2，0 x＝－p2
焦半 径
|PF|＝x0＋p2
－p2，0 x＝p2
0，p2 y＝－p2
e＝1
|PF|＝ －x0＋p2
|PF|＝ y0＋p2
0，－p2 y＝p2
|PF|＝ －y0＋p2
第四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，
错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点
的轨迹一定是抛物线( )
(2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物
线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 x＝－a4(
)
第五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) (4)AB 为抛物线 y2＝2px(p>0)的过焦点 Fp2，0的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝p42，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1 ＋x2＋p.( ) 【解析】 由抛物线定义、性质可知(1)，(2)，(3)错误，(4) 正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
第二十二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 3 抛物线的综合应用 【例 3】 (2013·辽宁高考)如图 8－7－1，抛物线 C1：x2 ＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切线 MA 的斜率为－12.
第二十四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 (1)因为抛物线 C1：x2＝4y 上任意一点(x，
y)的切线斜率为 y′＝x2，且切线 MA 的斜率为－12，所以 A 点
坐标为－1，14，故切线 MA 的方程为 y＝－12(x＋1)＋14.
因为点 M(1－ 2，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上，于是
第十七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d，由定义知 |PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
当 PA⊥l 时，|PA|＋d 有最小值，最小值为|AQ|＝3＋12＝72. 则|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点 P 纵坐标为 2， 将 y＝2 代入 y2＝2x，得 x＝2. ∴|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点 P(2,2)．
第六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
2．(人教 A 版教材习题改编)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M
到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )
A.1176
B.1156
7 C.8
D．0
【解析】 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准
线方程为 y＝－116，设 M(x，y)，则 y＋116＝1，∴y＝1156. 【答案】 B
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝y61y422＝m2. 由题意可知 OA⊥OB，即 x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m ＝8 或 m＝0(舍)， ∴l2：x＝y＋8，M(8,0)． 故 S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝12·|FM|·|y1－y2| ＝3 y1＋y22－4y1y2＝24 5.
第七节 抛物线
考纲传真 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何 图形、标准方程及简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用.4. 理解数形结合的思想．
第一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距 离 相等 的点的轨迹叫做抛物线．
y0＝－12(2－ 2)＋14＝－3－42 2，
①
y0＝－1－2p 22＝－3－22p
2 .
②
由①②得 p＝2.
第二十五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(2)设 N(x，y)，Ax1，x421，Bx2，x422，x1≠x2，由 N 为线
段 AB 中点知 x＝x1＋2 x2，
③
y＝x21＋8 x22.
④
切线 MA，MB 的方程为
y＝x21(x－x1)＋x421，
⑤
y＝x22(x－x2)＋x422.
⑥
第二十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
由⑤⑥得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为 x0＝x1＋2 x2，y0＝x14x2.
因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x20＝－4y0，
第八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
4．(2013·四川高考)抛物线 y2＝8x 的焦点到直线 x－ 3y
＝0 的距离是( )
A．2 3
B．2
C. 3
D．1
【解析】 抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，
则 d＝ |21－ 2＋－3×03|2＝1.故选 D.
【答案】 D
第九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
图 8－7－1
第二十三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(1)求 p 的值； (2)当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A， B 重合于 O 时，中点为 O)． 【思路点拨】 (1)由导数及切线 MA 的斜率确定切点 A 的坐标，进而求 M 的坐标，代入求 p；(2)根据题设条件及第 (1)题的结论，构造动点 N(x，y)与 Ax1，x421，Bx2，x422之间的 关系，由相关点法求动点 N 的轨迹方程．
第二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
y2＝
方程 2px(p>0)
y2＝－ 2px(p>0)
x2＝ 2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
第三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
焦点 坐标
∴|AF|＝x1＋p2＝13＋12＝56.
【答案】
5 6
第十五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 1 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般 运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定 义实施转化，使解答简捷、明快．
2．若 P(x0，y0)为抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易 得|PF|＝x0＋p2；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数的 关系整体求出．
则|MH|∶|MN|＝1∶ 5，即|MF|∶|MN|＝1∶ 5. 【答案】 C
第十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 1 抛物线的定义及应用 【例 1】 (2014·济南质检)过抛物线 y2＝2x 的焦点 F 作 直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|＝2152，|AF|＜|BF|，则|AF| ＝________. 【思路点拨】 由抛物线定义，将|AF|、|AB|转化为到焦 点的距离，数形结合，借助几何直观求解．
规律方法 2 1.本题要恰当设出抛物线标准方程的形式． 2．(1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与 准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中 系数 2p 的关系；(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行 分类讨论，标准方程有时可设为 y2＝mx 或 x2＝my(m≠0)．
第十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 1 (2014·北京东城模拟)已知抛物线 y2＝2x 的 焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA| ＋|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标．
【解】 将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部(如图)．
5．(2013·江西高考)已知点 A(2,0)，抛物线 C：x2＝4y 的
焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交
于点 N，则|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ 5
B．1∶2
C．1∶ 5
D．1∶3
第十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解析】 如图所示，由抛物线 定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN| ＝ |MH| ∶ |MN|. 由 于 △ MHN ∽ △ FOA，则||MHNH||＝||OOFA||＝12，
(1)求抛物线 C 的方程； (2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的 两点 A、B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．
第二十九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解】 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴82＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为 y2＝8x. (2)直线 l2 与 l1 垂直， 故可设 l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴的交点 M. 由xy2＝＝y8＋x m 得 y2－8y－8m＝0，
第十九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 由题意设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，则 M 到焦点的距离为 xM＋p2＝2＋p2＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.
∴y20＝4×2，∴y0＝±2 2. ∴|OM|＝ 4＋y20＝ 4＋8＝2 3. 【答案】 B
第二十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
第七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
3．(2014·广州质检)设抛物线的顶点在原点，准线方程为
x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x
B．y2＝8x
C．y2＝－4x
D．y2＝4x
【解析】 因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以p2＝2，
所以 p＝4，所以抛物线的方程是 y2＝8x.
【答案】 B
k2x2－(k2＋2)x＋k42＝0.
(*)
∴x1＋x2＝1＋k22，
又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝2152，
因此 x1＋x2＝1＋k22＝1132，k2＝24.
第十四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
则方程(*)为 12x2－13x＋3＝0，
又|AF|＜|BF|，∴x1＝13，x2＝34.
第二十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 2 已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦
点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是( )
A．y2＝±2 2x
B．y2＝±2x
C．y2＝±4x
D．y2＝±4 2x
【解析】 ∵x2－y2＝1 的焦点为(－ 2，0)，( 2，0)， ∴抛物线 C 的焦点为(－ 2，0)或( 2，0)，则 p＝2 2， 因此抛物线 C 的方程为 y2＝4 2x 或 y2＝－4 2x. 【答案】 D
2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛 物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1 ＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
第二十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 3 (2013·合肥高三第二次联考)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：y＝－x 的一个பைடு நூலகம்点的横坐标为 8.
第十二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 由 y2＝2x，知 p＝1，F12，0. 又|AB|＝2152，知 AB 的斜率存在(否则|AB|＝2)．
第十三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
设直线 AB 的方程为 y＝kx－12(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，
y2)．
将 y＝k(x－12)代入 y2＝2x，得
第十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 2 抛物线的标准方程与几何性质
【例 2】 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点 O，并且经过点 M(2，y0)．若点 M 到该抛物线焦点的距离
为 3，则|OM|＝( )
A．2 2
B．2 3
C．4
D．2 5
【思路点拨】 依条件，知抛物线的焦点在 x 轴的正半 轴，进而求出方程和 y0，得|OM|.
所以 x1x2＝－x21＋6 x22.
⑦
由③④⑦得 x2＝43y，x≠0.
当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐
标满足 x2＝43y.
因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2＝43y.
第二十七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 3 1.本题求解的关键是求点 M 的坐标，在第(1) 问中，代入求 p，在第(2)问中，代入曲线 C2 求轨迹方程，体 现方程思想的应用．
准线 方程 离心
率
p2，0 x＝－p2
焦半 径
|PF|＝x0＋p2
－p2，0 x＝p2
0，p2 y＝－p2
e＝1
|PF|＝ －x0＋p2
|PF|＝ y0＋p2
0，－p2 y＝p2
|PF|＝ －y0＋p2
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1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，
错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点
的轨迹一定是抛物线( )
(2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物
线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 x＝－a4(
)
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(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) (4)AB 为抛物线 y2＝2px(p>0)的过焦点 Fp2，0的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝p42，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1 ＋x2＋p.( ) 【解析】 由抛物线定义、性质可知(1)，(2)，(3)错误，(4) 正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
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考向 3 抛物线的综合应用 【例 3】 (2013·辽宁高考)如图 8－7－1，抛物线 C1：x2 ＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切线 MA 的斜率为－12.
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【尝试解答】 (1)因为抛物线 C1：x2＝4y 上任意一点(x，
y)的切线斜率为 y′＝x2，且切线 MA 的斜率为－12，所以 A 点
坐标为－1，14，故切线 MA 的方程为 y＝－12(x＋1)＋14.
因为点 M(1－ 2，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上，于是
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设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d，由定义知 |PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
当 PA⊥l 时，|PA|＋d 有最小值，最小值为|AQ|＝3＋12＝72. 则|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点 P 纵坐标为 2， 将 y＝2 代入 y2＝2x，得 x＝2. ∴|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点 P(2,2)．
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2．(人教 A 版教材习题改编)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M
到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )
A.1176
B.1156
7 C.8
D．0
【解析】 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准
线方程为 y＝－116，设 M(x，y)，则 y＋116＝1，∴y＝1156. 【答案】 B