2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第八章+平面解析几何 第6节 双曲线
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第二十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 由 x2＝2py(y>0)，得焦点 F0，p2，准线 l 为 y＝－p2，
又△ABF 为等边三角形，且 A，B 关于 y 轴对称， 不妨设点 B(x0，y0)在第四象限， 则 y0＝－p2，x0＝p·tan π6＝ 33p， 又点 B 在双曲线x32－y32＝1 上， ∴p92－1p22＝1，解得 p＝6. 【答案】 6
第二十四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 3 双曲线的简单几何性质 【例 3】 抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与 双曲线x32－y32＝1 相交于 A，B 两点，若△ABF 为等边三角 形，则 p＝________.
第二十五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【思路点拨】 注意到△ABF 为等边三角形和双曲线的 对称性，用 p 表示点 A(或 B)的坐标，代入双曲线方程，求 p 的值．
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性 对称轴： 坐标轴 对称中心：原点
性
顶点
A1 (－a,0) ， A2 (a,0)
质
渐近线
y＝±bax
A1 (0，－a) ， A2 (0，a)
y＝±abx
离心率 e＝ac，e∈ (1，＋∞) ，其中 c＝ a2＋b2
a，b，c 间的关系 c2＝ a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
第十七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
∴|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a， 于是|PF|＋|QF|＝|PQ|＋4a＝16＋4×3＝28. 故△PQF 的周长为 28＋|PQ|＝28＋16＝44. 【答案】 44
第十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 2 双曲线的标准方程 【例 2】 已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62＋ y92＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两 倍，求双曲线的标准方程． 【思路点拨】 根据椭圆的焦点、离心率，建立关于 a， b 的方程．
第十九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 由1x62＋y92＝1，知 c＝ 16－9＝ 7，
∴焦点 F1(－
7，0)，F2(
7，0)，且离心率
e′＝
7 4.
又双曲线ax22－by22＝1 与椭圆1x62＋y92＝1 有相同的焦点．
∴a2＋b2＝( 7)2＝7，
第二十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
第二十七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 3 1.本题充分注意到双曲线与△ABF 的对称 性，数形结合，巧求点 B 的坐标，优化了解题过程．
2．双曲线中 c2＝a2＋b2，双曲线渐近线的斜率与离心率 的关系ba＝ e2－1(e＝ac)．抓住双曲线中“六点”、“四线”、 “两三角形”，研究 a，b，c，e 间相互关系及转化，简化 解题过程．
第二十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 3 (2013·湖南高考)设 F1，F2 是双曲线 C：xa22－ by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点．若|PF1|＋|PF2| ＝ 6a， 且 △ PF1F2 的 最 小 内 角 为 30°， 则 C 的 离 心 率 为 ________．
渐近线方程为 3x±2y＝0，则 a 的值为( )
A．4
B．3
C．2
【解析】 渐近线方程可化为 y＝±32x.
D．1
∵双曲线的焦点在 x 轴上，∴a92＝±322， 解得 a＝±2.由题意知 a＞0，∴a＝2.
【答案】 C
第九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
3．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，
【解析】 依题意 c－a＝1，① 又 e＝ac＝2，即 c＝2a，② 由①②联立，得 a＝1，c＝2. ∴b2＝c2－a2＝3，故双曲线 C 为 x2－y32＝1. 【答案】 x2－y32＝1
第十三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 1 双曲线的定义及应用
【例 1】 (2014·西安质检)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2 －y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos ∠F1PF2＝( )
第三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
图形
第四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
标准方程 范围
xa22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
第六节 双曲线
考纲传真 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画 现实世界的作用，了解双曲线的简单应用.2.了解双曲线的定 义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.3.理解数 形结合的思想．
第一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的 距离的差的绝对值
1
3
3
4
A.4Biblioteka B.5C.4D.5
【思路点拨】 由双曲线定义，结合|PF1|＝2|PF2|，求△ PF1F2 的边长，根据余弦定理可求 cos∠F1PF2 的值．
第十四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2， 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|2·||P2－F2||F1F2|2＝34，选 C. 【答案】 C
第十五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 1 1.(1)抓住“焦点三角形 PF1F2”中的数量关 系是求解本题的关键．(2)利用定义求动点的轨迹方程，要分 清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双 曲线的一支．
2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的 绝对值；(2)2a＜|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．
b＞0)的离心率为 25，则 C 的渐近线方程为( )
A．y＝±14x
B．y＝±13x
C．y＝±12x
D．y＝±x
第十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解析】 由 e＝ 25，得ac＝ 25， ∴c＝ 25a，b＝ c2－a2＝12a. 又xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±bax， ∴所求渐近线方程为 y＝±12x. 【答案】 C
第三十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
在△PF1F2 中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－ 2|PF1||F1F2|cos 30°，即 4a2＝16a2＋4c2－8 3ac，即 3a2＋c2 －2 3ac＝0.∴( 3a－c)2＝0，
∴c＝ 3a，即ac＝ 3.∴e＝ 3. 【答案】 3
(2)中，e 越大，则ba越大，从而双曲线“张口”越大，(2)
正确．
(3)中，当 m>0，n>0 时，方程表示焦点在 x 轴上的双曲
线，(3)错．
易知(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
第八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
2．(人教 A 版教材习题改编)设双曲线xa22－y92＝1(a＞0)的
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的“张口”越大( )
(3)
方
程
x2 m
－
y2 n
＝
1(mn>0)
表
示
焦
点
在
x
轴上的双曲线
()
第七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(4)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程
是mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0(
)
【解析】 (1)表示双曲线的一支，(1)不正确．
得mn＝＝68 ，又|F1F2|＝2c＝10，故该三角形为直角三角形，S △PF1F2＝12×6×8＝24.
【答案】 C
第十二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
5．已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率 e＝2， 且它的一个顶点到较近焦点的距离为 1，则双曲线 C 的方程 为________．
第五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方 程为 y＝±x ，离心率为 e＝ 2 .
第六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，
错误的打“×”)
(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点 的轨迹是双曲线( )
第三十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线 的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
两种方法 求双曲线的标准方程： 1．定义法，由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出 a2， b2，写出方程． 2．待定系数法，即“先定位，后定量”，如果不能确定 焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．
∵双曲线的离心率 e＝ac＝ a7， ∴ a7＝247，则 a＝2. 从而 b2＝c2－a2＝7－22＝3. 故所求的双曲线的方程为x42－y32＝1.
第二十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 2 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定 位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪 条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的值，常用待定系数法．
等于
常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c
为常数且 a＞0，c＞0.
第二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(1)当 2a＜|F1F2| 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 2a＞|F1F2| 时，P 点不存在．
第十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
4．(2013·皖南八校高三第三次联考)设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|＝ 4|PF2|，则△PF1F2 的面积等于( )
A．4 2 B．8 3 C．24 D．48
【解析】 不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由定义知m3m－＝n4＝n2 ，
2．(1)若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2＋ By2＝1(AB＜0)．
(2)若已知渐近线方程为 mx＋ny＝0，则双曲线方程可设 为 m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
第二十二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 2 (2014·天津调研)已知双曲线 C 的右焦点为 ( 5，0)，且双曲线 C 与双曲线 C′：x42－1y62 ＝1 有相同的渐 近线，求双曲线 C 的标准方程．
第二十九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解析】 设点 P 在双曲线右支上，F1 为左焦点，F2 为 右焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. ∵在双曲线中 c>a， ∴在△PF1F2 中|PF2|所对的角最小且为 30°.
第十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 1 (2013·辽宁高考)已知 F 为双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________．
【解析】 由双曲线方程知 a＝3，b＝4，c＝5. ∴|PQ|＝2·(2b)＝16. 由左焦点 F(－5,0)，且 A(5,0)恰为右焦点， ∵PQ 过右焦点 A，∴P，Q 在双曲线的右支上， 根据双曲线定义，|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，
第二十三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解】 ∵双曲线 C 与双曲线x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线， ∴设双曲线 C 的方程为x42－1y62 ＝λ(λ≠0)． 则双曲线 C：4xλ2－1y62λ＝1， 又双曲线 C 的右焦点为( 5，0)， ∴c＝ 5，则 4λ＋16λ＝5，∴λ＝14. 故所求双曲线 C 的方程为 x2－y42＝1.
【尝试解答】 由 x2＝2py(y>0)，得焦点 F0，p2，准线 l 为 y＝－p2，
又△ABF 为等边三角形，且 A，B 关于 y 轴对称， 不妨设点 B(x0，y0)在第四象限， 则 y0＝－p2，x0＝p·tan π6＝ 33p， 又点 B 在双曲线x32－y32＝1 上， ∴p92－1p22＝1，解得 p＝6. 【答案】 6
第二十四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 3 双曲线的简单几何性质 【例 3】 抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与 双曲线x32－y32＝1 相交于 A，B 两点，若△ABF 为等边三角 形，则 p＝________.
第二十五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【思路点拨】 注意到△ABF 为等边三角形和双曲线的 对称性，用 p 表示点 A(或 B)的坐标，代入双曲线方程，求 p 的值．
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性 对称轴： 坐标轴 对称中心：原点
性
顶点
A1 (－a,0) ， A2 (a,0)
质
渐近线
y＝±bax
A1 (0，－a) ， A2 (0，a)
y＝±abx
离心率 e＝ac，e∈ (1，＋∞) ，其中 c＝ a2＋b2
a，b，c 间的关系 c2＝ a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
第十七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
∴|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a， 于是|PF|＋|QF|＝|PQ|＋4a＝16＋4×3＝28. 故△PQF 的周长为 28＋|PQ|＝28＋16＝44. 【答案】 44
第十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 2 双曲线的标准方程 【例 2】 已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62＋ y92＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两 倍，求双曲线的标准方程． 【思路点拨】 根据椭圆的焦点、离心率，建立关于 a， b 的方程．
第十九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 由1x62＋y92＝1，知 c＝ 16－9＝ 7，
∴焦点 F1(－
7，0)，F2(
7，0)，且离心率
e′＝
7 4.
又双曲线ax22－by22＝1 与椭圆1x62＋y92＝1 有相同的焦点．
∴a2＋b2＝( 7)2＝7，
第二十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
第二十七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 3 1.本题充分注意到双曲线与△ABF 的对称 性，数形结合，巧求点 B 的坐标，优化了解题过程．
2．双曲线中 c2＝a2＋b2，双曲线渐近线的斜率与离心率 的关系ba＝ e2－1(e＝ac)．抓住双曲线中“六点”、“四线”、 “两三角形”，研究 a，b，c，e 间相互关系及转化，简化 解题过程．
第二十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 3 (2013·湖南高考)设 F1，F2 是双曲线 C：xa22－ by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点．若|PF1|＋|PF2| ＝ 6a， 且 △ PF1F2 的 最 小 内 角 为 30°， 则 C 的 离 心 率 为 ________．
渐近线方程为 3x±2y＝0，则 a 的值为( )
A．4
B．3
C．2
【解析】 渐近线方程可化为 y＝±32x.
D．1
∵双曲线的焦点在 x 轴上，∴a92＝±322， 解得 a＝±2.由题意知 a＞0，∴a＝2.
【答案】 C
第九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
3．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，
【解析】 依题意 c－a＝1，① 又 e＝ac＝2，即 c＝2a，② 由①②联立，得 a＝1，c＝2. ∴b2＝c2－a2＝3，故双曲线 C 为 x2－y32＝1. 【答案】 x2－y32＝1
第十三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 1 双曲线的定义及应用
【例 1】 (2014·西安质检)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2 －y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos ∠F1PF2＝( )
第三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
图形
第四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
标准方程 范围
xa22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
第六节 双曲线
考纲传真 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画 现实世界的作用，了解双曲线的简单应用.2.了解双曲线的定 义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.3.理解数 形结合的思想．
第一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的 距离的差的绝对值
1
3
3
4
A.4Biblioteka B.5C.4D.5
【思路点拨】 由双曲线定义，结合|PF1|＝2|PF2|，求△ PF1F2 的边长，根据余弦定理可求 cos∠F1PF2 的值．
第十四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【尝试解答】 由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2， 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|2·||P2－F2||F1F2|2＝34，选 C. 【答案】 C
第十五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 1 1.(1)抓住“焦点三角形 PF1F2”中的数量关 系是求解本题的关键．(2)利用定义求动点的轨迹方程，要分 清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双 曲线的一支．
2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的 绝对值；(2)2a＜|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．
b＞0)的离心率为 25，则 C 的渐近线方程为( )
A．y＝±14x
B．y＝±13x
C．y＝±12x
D．y＝±x
第十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解析】 由 e＝ 25，得ac＝ 25， ∴c＝ 25a，b＝ c2－a2＝12a. 又xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±bax， ∴所求渐近线方程为 y＝±12x. 【答案】 C
第三十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
在△PF1F2 中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－ 2|PF1||F1F2|cos 30°，即 4a2＝16a2＋4c2－8 3ac，即 3a2＋c2 －2 3ac＝0.∴( 3a－c)2＝0，
∴c＝ 3a，即ac＝ 3.∴e＝ 3. 【答案】 3
(2)中，e 越大，则ba越大，从而双曲线“张口”越大，(2)
正确．
(3)中，当 m>0，n>0 时，方程表示焦点在 x 轴上的双曲
线，(3)错．
易知(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
第八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
2．(人教 A 版教材习题改编)设双曲线xa22－y92＝1(a＞0)的
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的“张口”越大( )
(3)
方
程
x2 m
－
y2 n
＝
1(mn>0)
表
示
焦
点
在
x
轴上的双曲线
()
第七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(4)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程
是mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0(
)
【解析】 (1)表示双曲线的一支，(1)不正确．
得mn＝＝68 ，又|F1F2|＝2c＝10，故该三角形为直角三角形，S △PF1F2＝12×6×8＝24.
【答案】 C
第十二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
5．已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率 e＝2， 且它的一个顶点到较近焦点的距离为 1，则双曲线 C 的方程 为________．
第五页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方 程为 y＝±x ，离心率为 e＝ 2 .
第六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，
错误的打“×”)
(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点 的轨迹是双曲线( )
第三十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线 的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
两种方法 求双曲线的标准方程： 1．定义法，由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出 a2， b2，写出方程． 2．待定系数法，即“先定位，后定量”，如果不能确定 焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．
∵双曲线的离心率 e＝ac＝ a7， ∴ a7＝247，则 a＝2. 从而 b2＝c2－a2＝7－22＝3. 故所求的双曲线的方程为x42－y32＝1.
第二十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
规律方法 2 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定 位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪 条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的值，常用待定系数法．
等于
常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c
为常数且 a＞0，c＞0.
第二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(1)当 2a＜|F1F2| 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 2a＞|F1F2| 时，P 点不存在．
第十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
4．(2013·皖南八校高三第三次联考)设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|＝ 4|PF2|，则△PF1F2 的面积等于( )
A．4 2 B．8 3 C．24 D．48
【解析】 不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由定义知m3m－＝n4＝n2 ，
2．(1)若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2＋ By2＝1(AB＜0)．
(2)若已知渐近线方程为 mx＋ny＝0，则双曲线方程可设 为 m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
第二十二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
变式训练 2 (2014·天津调研)已知双曲线 C 的右焦点为 ( 5，0)，且双曲线 C 与双曲线 C′：x42－1y62 ＝1 有相同的渐 近线，求双曲线 C 的标准方程．
第二十九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解析】 设点 P 在双曲线右支上，F1 为左焦点，F2 为 右焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. ∵在双曲线中 c>a， ∴在△PF1F2 中|PF2|所对的角最小且为 30°.
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变式训练 1 (2013·辽宁高考)已知 F 为双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________．
【解析】 由双曲线方程知 a＝3，b＝4，c＝5. ∴|PQ|＝2·(2b)＝16. 由左焦点 F(－5,0)，且 A(5,0)恰为右焦点， ∵PQ 过右焦点 A，∴P，Q 在双曲线的右支上， 根据双曲线定义，|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，
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【解】 ∵双曲线 C 与双曲线x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线， ∴设双曲线 C 的方程为x42－1y62 ＝λ(λ≠0)． 则双曲线 C：4xλ2－1y62λ＝1， 又双曲线 C 的右焦点为( 5，0)， ∴c＝ 5，则 4λ＋16λ＝5，∴λ＝14. 故所求双曲线 C 的方程为 x2－y42＝1.