新教材人教版高中数学必修1 第五章 5.1 5.1.1

5.1.1任意角
(教师独具内容)
课程标准：了解任意角的概念、理解象限角、终边相同角的概念并会用集合符号表示这些角．
教学重点：理解正角、负角、零角、相反角、象限角的概念，掌握终边相同角的表示方法．
教学难点：用集合符号表示终边相同的角．
【知识导学】
知识点一角的相关概念
(1)角可以看成平面内一条□01射线绕着它的端点从一个位置□02旋转到另一个位置所成的□03图形．
(2)角的表示：
如图，OA是角α的□04始边，OB是角α□05终边，O是角的□06顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(3)按照角的旋转方向可将角分为如下三类：
知识点二相反角
如图，我们把射线OA绕端点O按□01不同方向旋转□02相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□03－α.
知识点三象限角
(1)若角的顶点在原点，角的始边与□01x轴的非负半轴重合，则角的□02终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．
(2)若角的终边在□03坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．
知识点四终边相同的角
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这
个集合可记为{β|β＝□01α＋k·360°，k∈Z}．
【新知拓展】
对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；
(3)终边相同的角的表示不唯一．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．()
(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．()
(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．()
答案(1)×(2)√(3)×
2．做一做
(1)与600°角终边相同的角可表示为()
A．k·360°＋220°(k∈Z)
B．k·360°＋240°(k∈Z)
C．k·360°＋60°(k∈Z)
D．k·360°＋260°(k∈Z)
(2)若角α与角β终边相同，则α－β＝________.
答案(1)B(2)k·360°，k∈Z
题型一正确理解角的概念
例1下列命题正确的是()
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C．
[答案] C
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理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
[跟踪训练1](1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了()
A．60°B．－60°
C．30°D．－30°
(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC 位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．
答案(1)B(2)见解析
解析(1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°
12＝－30°，所
以经过2个小时应旋转－60°.故选B．
(2)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝100°，∠COD＝360°－240°＝120°，∠AOD ＝∠BOC－∠AOB＋∠COD＝100°－90°＋120°＝130°.
题型二终边相同的角的表示
例2(1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来；
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
[解](1)与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}．
∵－720°≤β<360°，
∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°，311
36≤k<6
11
36.
故k＝4,5,6，
k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，
k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，
k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.
(2)①{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
[变式探究]在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角．
解1030°÷360°＝2……310°，
所以1030°＝2×360°＋310°，
所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．
(1)所求的最小正角为310°.
(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.
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在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
[跟踪训练2]已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
答案－960°
解析∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又∵－
990°<k·360°＋120°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°，解得－31
12<k<－2
1
12，又
k∈Z，故k＝－3，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.
题型三象限角的判定
例3(1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①－75°；②855°；③－510°；
(2)若α是第二象限角，则2α，α
2分别是第几象限的角？
[解](1)作出各角，其对应的终边如图所示：
①由图a可知：－75°是第四象限角．
②由图b可知：855°是第二象限角．
③由图c可知：－510°是第三象限角．
(2)①∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．②∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴45°＋k·180°<α
2<90°＋k·180°(k∈Z)．
解法一：A．当k＝2n(n∈Z)时，
45°＋n·360°<α
2<90°＋n·360°(n∈Z)，即
α
2是第一象限角；
b．当k＝2n＋1(n∈Z)时，
225°＋n·360°<α
2<270°＋n·360°(n∈Z)，
即α
2是第三象限角．故
α
2是第一或第三象限角．
解法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k ∈Z)表示终边为y轴的角，
∴45°＋k·180°<α
2<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即
α
2是第一或
第三象限角．
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象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
(3)nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
(4)α
n所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角α
n所在象限，有两种方法：
①用不等式表示出角α
n的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n
除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α
的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是α
n的终边所落在的区域．如此，
α
n所
在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
[跟踪训练3](1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；
(2)若α为第四象限角，试判断α
2的终边所在的象限．
解(1)因为α为第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，
则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，所以90°－α的终边在第三象限．
(2)由于α为第四象限角，
即α∈(k·360°－90°，k·360°)(k∈Z)，
题型四区域角的表示
例4写出终边落在阴影部分的角的集合．
[解]设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．
②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k ＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[条件探究]将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．
解(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．
(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
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区域角的写法可分三步
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．
[跟踪训练4]写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．
解(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k· 360°＋
135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．
1．－215°是()
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
答案 B
解析∵－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，∴－215°是第二象限角，故选B．
2．下列说法正确的是()
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角
D．小于90°的角都是锐角
答案 B
解析因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A项错误；钝角一定是第二象限角，故B项正确；因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C项错误；因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D项错误．综上，选B．3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
答案－5－60
解析将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×
360°
12×60
＝5°，所
转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°
60＝60°，所转成的角度是－60°.
4．角α，β的终边关于轴对称，若α＝30°，则β＝________，α的相反角为________．
答案150°＋k·360°
解析∵角α，轴对称，α＝30°，
∴β＝180°－30°·360°(k∈Z)，α的相反角为－30°.
5．试写出终边在直线上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素
解S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z)∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.。