洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案

22 = {φ ,{{φ}},{{a}},{φ ,{a}}}
A
8、 设 A = {a1 , a2 , , a8 } 由 B17 和 B31 所表示的 A 的子集各是什么？应如何表示子 集 {a2, a6 , a7 } 和 {a1 , a3 } 答： = B17 B = {a4 , a8 } 00010001
(5) 当且仅当 B ⊆ C ，有 ( A − B ) ∪ C = A 答：不正确，因为若 B ⊆ C ，有 ( A − B) ∪ C = A 成立，但是反之不成立，反例如 下: A = {1, 2,3, 4,5} ， B = {1, 6} ， C = {1, 2} ，而 A − B = {2,3, 4,5} ，
C = {2, 4, 6,8,} ， D = {3, 6,9,12,} ， E = {1,3,5, 7,}
{2, 4, 6,8} = B ∩C
{3, 6,9} = A ∩ D {10} = (( A − B ) − D) − E
= 3或n = 6或n ≥ 9} = {3} ∪ {6} ∪ {9,10,11,12,} (4) {n | n
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(2) {a} ∈ R 正确 (3) {a, 4,{3}} ⊆ S 正确 (4) {{a},1,3, 4} ⊆ R 正确 (5) R = S 错误 (6) {a} ⊆ S 正确 (7) {a} ⊆ R 错误 (8) φ ⊆ R 正确 (9) φ ⊆ {{a}} ⊆ R 正确 (10) {φ} ⊆ S 错误 (11) φ ∈ R 错误 (12) φ ⊆ {{3}, 4} 正确 5、 列举出集合 A, B, C 的例子，使其满足 A ∈ B ， B ∈ C 且 A ∉ C 答： A = {a} ， B = {{a}} ，显然 A ∈ B ， C = {{{a}}} ，显然 B ∈ C ，但是 A ∉ C 。 6、 给出下列集合的幂集 (1) {a,{b}} 答：幂集 {φ ,{a},{{b}},{a,{b}} (2) {φ , a,{a}} 答：幂集 {φ ,{φ},{a},{{a}},{φ , a},{φ ,{a}},{a,{a}},{φ , a,{a}}} 7、设 A = {a} ，给出 A 和 2 A 的幂集 答： 2 A = {φ ,{a}}
集合
2、用描述法表示下列集合 (1) {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } 答： {ai | i ∈ I ,1 ≤ i ≤ 5} (2) {2, 4,8,} 答： {2i | i ∈ N } (3) {0, 2, 4,100}
答： {2i | i ∈ Z , 0 ≤ i ≤ 50}
( A − B) ∪ C = {1, 2,3, 4,5} ，但是 B ⊆ C 不成立。
14、 设 A, B, C , D 是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。 (1) 若 A ⊆ B, C ⊆ D ，则 A ∪ C ⊆ ( B ∪ D) 答： 正确， 证明： 对 ∀a ∈ A ∪ C ， 则 a ∈ A 或 a ∈C ， 因为 A ⊆ B, C ⊆ D ， 因此 a ∈ B 或 a ∈ D ，因此 a ∈ B ∪ D ，即 A ∪ C ⊆ ( B ∪ D) 成立。 (2) 若 A ⊆ B, C ⊆ D ，则 A ∩ C ⊆ ( B ∩ D) 答：正确 (3)若 A ⊂ B ， C ⊂ D ，则 A ∪ C ⊂ ( B ∪ D) 答：正确 (4) 若 A ⊂ B, C ⊂ D ，则 A ∩ C ⊂ ( B ∩ D) 答：不正确。例如若 A ⊂ B, C ⊂ D ，但是 A ∩ C = φ，B∩D = φ ，则
(2) A ∩ ( B ∩ (C ∩ D)) = φ
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(3) B − ( A ∪ C ) 解： A ∪ C = {0,1, 2,3, 6, 7,8,9,12,15,18, 21, 24, 27,30} ， B − ( A ∪ C ) = {4,5} (4) ( A′ ∩ B) ∪ D 解： A′ ∩ B = B − A = {3, 4,5, 6} ， ( A′ ∩ B ) ∪ D = {1, 2,3, 4,5, 6,8,16,32, 64} 11、 给定自然数集 N 的下列子集
B， 答： 正确， 证明如下： 若 A∪ B = 则对 ∀a ∈ A ， 有a∈ A∪ B = 则有 a ∈ B ， B，
因此有 A ⊆ B 。反之，若 A ⊆ B ，则 A ∪ B = B 显然成立。
(3) 当且仅当 A ∩ B = A ，有 A ⊆ B 答：正确，证明如下：若 A ∩ B = A ，则对 ∀a ∈ A ，因此 a ∈ A ∩ B ，则 a ∈ B ， 则有 A ⊆ B 。 若A⊆ B， 则 ∀a ∈ A ， 有a∈B ， 因此由 a ∈ A ， 可以得出 a ∈ A ∩ B ， 因此 A ⊆ A ∩ B ，又 A ∩ B ⊆ A ，有 A ∩ B = A。
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(4) 当且仅当 A ⊆ C ，有 A ∩ ( B − C ) = φ 答：不正确，因为 A ∩ ( B − C ) = A ∩ B ∩ C ′ ，因此不一定需要满足 A ⊆ C ，而若 例如：A = {a, b, c} ，B = {d , e} ，C = {a, b} ，A ∩ ( B − C ) = A∩ B = φ 也可以满足。 φ 成立，而 A ⊆ C 不成立。
n | n 3= 或n 6或n ≥ 9} (2) {3, 6,9} (3) {10} (4) {=
(5) {n | n是偶数且n ≤ 10或n是奇数且n > 9} (6) {n | n是6的倍数} 答： A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11} ， B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}
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= = B31 B {a4 , a5 , a6 , a7 , a8 } 00011111 = = a1 , a3 } B B160 {a2,= a6 , a7 } B B70 ， { = 10100000 01000110 9、 设 U = {1, 2,3, 4,5} ， A = {1, 4} ， B = {1, 2,5} ， C = {2, 4} ，确定集合： (1) A ∩ B′ (2) ( A ∩ B ) ∪ C ′ (3) A ∪ ( B ∩ C ) (4) ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) (5) ( A ∩ B)′ (6) A′ ∪ B′ (7) ( B ∪ C )′ (8) B′ ∩ C ′ 答：(1) B′ = {3, 4} ， A ∩ B′ = {4} (2) A ∩ B = {1} ， C ′ = {1,3,5} ， ( A ∩ B ) ∪ C ′ = {1,3,5} (3) B ∩ C = {2} ， A ∪ ( B ∩ C ) = {1, 2, 4} (4) A ∪ B = {1, 2, 4,5} ， A ∪ C = {1, 2, 4} ， ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) = {1, 2, 4} (5) ( A ∩ B )′ = {2,3, 4,5} {2,3, 4,5} (6) A′ = {2,3,5} ， A′ ∪ B′ = (7) B ∪ C = {1, 2, 4,5} ， ( B ∪ C )′ = {3} (8) B′ = {3, 4} ， C ′ = {1,3,5} ， B′ ∩ C ′ = {3} (9) 2 A = {φ ,{1},{4},{1, 4}} ， 2C = {φ ,{2},{4}{2 4}} ， 2 A − 2C = ，， {{1},{1, 4}} (10) 2 A ∩ 2C = {φ ,{4}} 10、 给定自然数集 N 的下列子集： = B = {i | i 2 < 50} ， C {i | i可被3整数，0 ≤ i ≤ 30} A = {1, 2, 7,8} ， D= {i | i= 2k , k ∈ Z , 0 ≤ k ≤ 6} 求下列集合： (1) A ∪ ( B ∪ (C ∪ D)) 答： B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7} ，
(2) 如果 A − B = B − A ，那么 A 和 B 有什么关系？ 答：充要条件是 A = B 。证明：因为 A − B = B − A 的 ( A − B) ∪ A = ( B − A) ∪ A ，从 而有 A = A ∪ B ，即 A ⊆ B ，同理可证明 B ⊆ A ，因此 A = B 。 16、 设 A, B 是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。
φ = A ∩ C ⊆ ( B ∩ D) = φ 。
15、 设 A, B 是两个集合，问： (1)如果 A − B = B ，那么 A 和 B 有什么关系？ 答：因为 A − B = B ，而 A − B = A ∩ B′ = B ，即对 ∀a ∈ B 有 a ∈ A, a ∈ B′ ，因此
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A = B = φ。
自反的非对称的非反对称的非可传递的自反的对称的非反对称的可传递的非自反的非对称的反对称的可传递的自反的非对称的反对称的可传递的25图211给出了上的两个关系的关系图这些关系是等价的吗
第1章
1、列举下列集合的元素 (1) 小于 20 的素数的集合 (2) 小于 5 的非负整数的集合 (3) {i | i ∈ I , i 2 − 10i − 24 < 0且5 ≤ i ≤ 15} 答：(1) {1,3,5, 7,11,13,17,19} (2) {0,1, 2,3, 4} (3) {5, 6, 7,8,9,10,11}
= {3, 6,9,10,11,12,} = ( A ∩ D) ∪ B′
(5) {2, 4, 6,8,10,11,13,15,} = (( A − E ) ∪ ( E − B)) − (( A ∩ D) − B)
{n | n是6的倍数} {6,12,18, = 24,30} C ∩ D (6) =
= = = = = A {n | n < 12} ， = B {n | n ≤ 8} ， C {n | n 2k , k ∈ N } ， D { | n 3k , k ∈ N }
E = {n | n = 2k − 1, k ∈ N }
将下列集合表示为由 A, B, C , D, E 产生的集合： (1) {2, 4, 6,8}
3、下面哪些式子是错误的？ (1) {a} ∈ {{a}} 答：正确 (2) {a} ⊆ {{a}} 答：错误 (3) {a} ∈ {{a}, a} 答：正确 (4) {a} ⊆ {{a}, a} 答：正确
4、已给 S = {2, a,{3}, 4} 和 R = {{a},3, 4,1} ，指出下面哪些论断是正确的？哪些是 错误的？ (1) {a} ∈ S 错误
C = {0,3, 6,9,12,15,18, 21, 24, 27,30} ， D = {1, 2, 4,8,16,32, 64}
A ∪ ( B ∪ (C ∪ D)) = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,12,15,16,18, 21, 24, 27,30,32, 64}
(9) 2 A − 2C (10) 2 A ∩ 2C
12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。 (1) 若 a ∈ A ，则 a ∈ A ∪ B
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答：正确，根据集合并的定义 (2) 若 a ∈ A ，则 a ∈ A ∩ B 答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须 a 同时属于 A 和 B (3) 若 a ∈ A ∩ B ，则 a ∈ B 答：正确 (4) 若 A ⊆ B ，则 A ∩ B = B 答：错误 (5) 若 A ⊆ B ，则 A ∩ B = A 答：正确 (6) 若 a ∉ A ，则 a ∉ A ∪ B 答：错误 (7) 若 a ∉ A ，则 a ∉ A ∩ B 答：正确 13、 设 A, B, C 是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理 由 (1) 若 A ∩ B = A ∩ C ，则 B = C 答：不正确，反例，设 A = φ ，则不论 B, C 是什么集合，都有 A ∩ B = A ∩ C = φ ， 但显然 B, C 不一定相等。 (2) 当且仅当 A ∪ B = B ，有 A ⊆ B ；