陕西省咸阳市2012届高三模拟考试试题(三)理科数学

2012年咸阳市高考模拟考试试题(三）
理科数学
第Ⅰ卷 (选择题 50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数z 满足(2)1z i i -=+，那么复数z 的虚部为（ ） A. 1 B 。

1-
C. i D 。

i -
2. 已知
02x M x x ⎧⎫
=<⎨⎬-⎩⎭
，{}|2
N x =≤，则M
N ( ）
A 。

∅
B. {}|04x x <≤ C 。

{}|02x x <≤ D 。

{}|02x x <<
3. 下列四个命题中，假命题为（ ）
A 。

存在x R ∈，使lg 0x > B.存在x R ∈,使1
2
2x =
C. 任意x R ∈，使2
0x
> D. 任意x R ∈，使2
310x
x ++>
4。

已知向量(cos ,sin )p A A =，(cos ,sin )q B B =-,若A ，B ，C 是锐角ABC ∆的三个内角，则p 与q 的夹角为( ）
A 。

锐角
B 。

直角
C 。

钝角 D. 以上都不对 5。

从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体,其三视图如下图，则该几何体的体积为（ ） A. 78
B. 58
C. 56
D 。

34
6。

执行如下图所示的程序框图，则输出k 的结果是（ ) A. 6 B 。

8 C 。

10
D 。

12
7. 定义运算a ＊()
()
b a
b b a a b
≤⎧=⎨
>⎩，则函数()x x f x e e -=*的图像是（
)
8。

已知数组1
1
(,)x y ,2
2
(,)x y ，…，10
10(,)x
y 满足线性回归方程y bx a =+，则
“0
(,)x y 满足线性回归方程y bx a =+”是“1210
10
x x x x ++⋅⋅⋅+=
，1210
10
y y y y
++⋅⋅⋅+=
”
的（ ）
A 。

充分而不必要条件
B 。

必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若圆
C ：2
22430x
y x y ++-+=关于直线240ax by +-=对称，则22a b +的最小
D
A
B
C
俯视图
左视图
第5题
值是（ ） A. 2 B 。

C. D 。

1
10。

如图，是中国西安世界园艺博览会某区域的绿化美化示意图,其中A 、B 、C 、D
4种
A 、
D 两个区域都栽种红花的概率是（ ）
A. 18
B 。

14
C. 12
D.
3
4
第Ⅱ卷(非选择题 共100分）
二、填空题:（本小题共5小题,每小题5分，共25分,将答案填写在题中的横线上） 11. 在二项式3
)n x
的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ,且
72A B +=，则n =。

12。

设()f x 是定义在R 上最小正周期为53π的函数，且在2[,)3π
π-上2sin ,[,)()3
cos ,[0,)
x x f x x x πππ⎧
∈-
⎪=⎨⎪∈⎩,则16()3f π-的值为 .
13. 有一个奇数列1， 3, 5， 7, 9,…，现在进行如下分组：第一组含
一个数{}1，第二组含两个数{}3,5，第三组含三个数{}7,9,11，第四组含四个数{}13,15,17,19，…，现观察猜想每组内各数之和为n
a 与其组的编号
数n 的关系为 。

14.
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的中心、右焦点、右顶点依次分别为O 、F
、
G
，且直线
2a x c
=
与x 轴相交于点H ，则||||
FG OH 最大时椭圆的离心率
为 .
15. （考生注意:请在下列三道试题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A.（不等式选做题）若不等式1|21|||a x x
-≤+对一切
非零
实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . B.(几何证明选做题）如右图,直角三角形ABC 中，
90
B ∠=，4AB =，以B
C 为直径的圆交AC 边于点
D ，
2AD =，则C ∠的大小为
.
C.(极坐标与参数方程选做题）若直线l 的极坐标方程为cos()324
π
ρθ-=，圆C :cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数）上的点到直线l 的距离为d ,则d 的最大值为 。

三、解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本大题满分12分）
已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,02
A πωϕ>><<）的图像如图所示.
（1）求函数()y f x =的解析式； （2)求函数()8
y f x π=+的零点。

17.（本大题满分12分） 已知等比数列{}n
a 中，34a
a -是2a 与3a -的等差中项，且11
2
a =
，1q ≠。

(1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2)已知数列{}n
b 满足：11
2
221n n
a b a b
a b n ++⋅⋅⋅+=-,(*
n N ∈),求数列{}n b 前n 项和n S
18。

（本小题满分12分)
如图直三棱柱111
ABC A B C -中，1
2,AC CC
AB BC ===,D 是1BA 上一点，
且AD ⊥平面1
A BC .
（1）求证:BC ⊥平面11
ABB A ；
（2）在棱1
BB 是否存在一点E ,使平面AEC 与
平
面
11ABB A 的夹角等于60,若存在，试确定E 点的
位置，
1C
1B
1A
C
B
A
D
若不存在,请说明理由.
19.（本小题满分12分)
某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计,最近50天的统计结果如下：
若以下表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
（1,m n
（2）5天中该种商品恰好有2天的销售量为1。

5吨的概率；（3)已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元）,求ξ的分布列及数学期望
20.（本小题满分13分）
已知抛物线24
x y
=，过点(0,)
A a（其中a为正常数)任意作一条直线l交抛物线C于,M N两点，O为坐标原点.
（1）求OM ON ⋅的值；
（2)过,M N 分别作抛物线C 的切线1
2
,l l ，试探求1
l 与2
l 的交点是否在定直
线上，证明你的结论.
21。

(本小题满分14分） 已知函数2
()2f x x =，()ln (0)g x a x
a =>。

（1)若直线l 交()f x 的图像C 于,A B 两点，与l 平行的另一条直线1
l 切图像
于M ,求证：,,A M B 三点的横坐标成等差数列； (2）若不等式()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围；
（3）求证:444444ln 2ln 3ln 2
23n n e
++⋅⋅⋅+<（其中e 为无理数，约为
2。

71828）。

2012年咸阳市高考模拟考试试题(三）
理科数学答案
一、选择题
二．
填空题
11．3n =； 12。

3
2
- ; 13.3n
a
n =;
14。

12
；
15．A.
1322,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
;B 。

30 ; C.3
21+.
三、解答题
16．解：（Ⅰ）由图知2A =， 5288T πππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
,
∴
2ω=
(3)
分
∴22()sin()f x x ϕ=+ 又∵2)4
sin(2)8
(=+=ϕππf
∴sin （ϕπ+4
）=1, ∴ϕπ+4
=ππk 22
+,
=4
π+2k π,(k Z ）
∵2
0πϕ<<，∴
=4
π
∴函数的解析式为()224sin f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
(6)
分
（Ⅱ)由（Ⅰ）知:()224sin f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，
∴222208
2()sin cos f x x x ππ⎛⎫+=+== ⎪⎝
⎭
……………9分
22
,x k π
π=+
即()24
k x k Z ππ
=
+∈ ∴函数8()y f x π=+的零点为()24
k x k Z ππ
=+∈ ……………12分 17．解：（I)由已知得34231
22
(),a
a a a q -=-=
故()1q ≠
111
22
n n a a ==因，所以
(6)
分
（II)当1n =时11
1a b =,1
2b = 因为11
22
21n n
a b a b a b n +++=- 当n ≥2时11
22
11
211()n n a b a b a b
n --+++=--
两式相减得2n n
a b =，
得1
2n n b +=。

()()12122n n n b n +⎧=⎪=⎨≥⎪⎩
……………
10分
226n n S +=-()n N *∈
……
………12分
18．证明：（Ⅰ）∵⊥AD 平面BC A 1
,∴BC AD ⊥.
∵1
1
1
C B A ABC -是直三棱柱,∴⊥1
AA 平面ABC ，∴BC AA
⊥1
.
∵A AA AD =⋂1
，AD ⊆平面1
1
A AB
B ，1
AA ⊆平面1
1
A AB
B ，
∴⊥
BC 平面
11A ABB 。

……………6分
（Ⅱ）
⊥BC 平面11A ABB 。

∴AB BC ⊥。

又BC BB AB BB ⊥⊥11,，于是可建立如
图所示的空间直角坐标系xyz B -.∵ABC ∆是等腰直角三角形，且斜边2=AC ，
∴2==BC AB .
从而，(
)()()
200000020,,,,,,,,,A B C
设存在满足条件的点
E
坐标为
()()0002,,a a <<
由(Ⅰ)知平面
1
1A ABB 的法向量
BC
=()00
, …6分
令平面ACE 的法向量(),,n x y z =
00n AC n AE ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
，0
20
x az ⎧=⎪⎨-+
=⎪⎩ 令z =(,,
n a a =。

平面AEC 与平面1
1
A AB
B 的夹角等于60
∴1
2
cos
,n BC =
=
，的1a = 所以当E 为棱1
BB 中点时平面AEC 与平面1
1
A AB
B 的夹角等于60。

……………12分 ()505,.B ……………
（Ⅲ）ξ的取值为4，5,6,7,8
()40202004...p ξ==⨯=;()52020502...p ξ==⨯⨯=；
()6202050505037.....p ξ==⨯⨯+⨯=；()72030503...p ξ==⨯⨯=；
()80303009...p ξ==⨯=
……………9分
()40045026037703800962......E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………12分
20．解：(Ⅰ)设直线l 方程为y kx b =+，()()1
1
2
2
,,,M x y N x y
2
4y kx a
x y
=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx a --=,所以121244,x x k x x a +==- ()()()212121212y y kx a kx a k x x ak x x a =++=+++=2244ak ak a a -++=
故2
1
212
4OM ON x x
y y a a =+=-+。

……………6分
（Ⅱ）12
'
y x =
1l 方程为()2111142,x y x x x -=-整理得2111
24
x y x x =-
同
理得
1
l 方程
为
21
2y x x =9分
联立方程()()
2112
221
1241224
x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
()()2
1
12x x ⨯-⨯得()()
1221214
x x x x x
x y --=
，12
4
x x
y a ==-
故1
2
l l
与的交点在定直线
y a
=-上. ……………13分
21．解:（Ⅰ）设切点M 的横坐标为0
x ,,A B 点的横坐标分别为1
2
,x x ；
因为()4'
f x x =，所以104l
l k
k x ==；令AB 方程为04y x x b =+
2
024y x y x x b
⎧=⎨
=+⎩消去y 得20240x x x b --=，当201680x b =+>时 1202x x x +=，所以B M A ,,三点的横坐标成等差数列。

……………4分
（Ⅱ）令x a x
x g x f x F ln 2)()()(2
-=-=，x
a
x x F -
=4)(', 令0'()F x =，得2
a
x =
，所以
()f x
的减区间为0⎛ ⎝⎭
，
增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()F x 极小值=2
ln 2)(min a
a a x F -=
，只要02
ln
2≥-a
a a 即可, 得e
a 4≤且0a >，
即
](04,a e ∈。

……………10分
(Ⅲ） 由（Ⅱ)得x e x
ln 422
≥，即
2
42
ln 4ex
x x ≤，所以 e n n e n e n n 2
))1(1321211(2)13121(2ln 33ln 22ln 2
22444444<
-++⨯+⨯<+++≤+++
……………14分。