高考第21课弧度制与任意角的三角函数.docx

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第21课弧度制与任意角的三角函数
【自主学习】
第21课弧度制与任意角的三角函数
(本课时对应学生用书第页)
自主学习回归教材
1.(必修4P15练习6改编)若sin α<0，cos α<0，则α是第象限角.
【答案】三
【解析】由sin α<0，cos α<0，知对应的角α是第三象限角.
2.(必修4P10习题10改编)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是.
【答案】-π3
【解析】将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故
应转过的角为圆周的16，即为-16×2π=-π
3.
3.(必修4P14例1改编)已知角α的终边与单位圆交于点43-55⎛⎫ ⎪
⎝⎭，，那么tan α= . 【答案】-3
4
【解析】根据三角函数的定义，知tan α=y x =354
-5=-34.
4.(必修4P10习题8改编)已知某扇形的半径为10，面积为50π
3，那么该扇形的圆心角
为 .
【答案】π
3
【解析】由S=12αr 2=12α·102=50π3，得α=π
3.
5.(必修4P14例1改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是
角θ终边上一点，且sin θ=-25
5，则y= .
【答案】-8
【解析】由正弦值为负数，且横坐标为正，可知该角为第四象限角，则sin θ=
2
16y
y
+=-25
5⇒y=-8.
1.角的概念的推广
(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角.
(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.
(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k ·360°+α，k ∈Z }.
2.角的度量
(1)1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.
(2)弧度制与角度制的关系：1°=π180弧度(用分数表示)，1弧度=180π度(用分数表示).
(3)弧长公式：l=|α|r .
(4)扇形面积公式：S=12rl=1
2|α|r 2.
3.任意角的三角函数的定义
设角α的终边上任意一点的坐标为P (x ，y )(除原点)，点P 到坐标原点的距离为r (r=
2
2
x y +)，则sin α=y r ，cos α=x r ，tan α=y
x .
4.三角函数的定义域
在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是R 、R 、
π|πZ 2k k αα∈⎧⎫
≠+⎨⎬
⎩⎭，.
5.三角函数的符号规律
第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”.简称：一全、二正、三切、四余.
6.三角函数线
如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP 叫作角α的正弦线，有向线段OM 叫作角α的余弦线；过点A (1，0)作单位圆的切线，交角α的终边或其反向延长线于点T ，则有向线段AT 叫作角α的正切线.
【要点导学】
要点导学 各个击破
象限角的表示
例1 (1)若角θ的终边与120°角的终边重合，则2θ
是第几象限角? (2)若角θ是第三象限角，判定2θ，2θ
是第几象限角.
【解答】(1)θ=120°+k ·360°，k ∈Z ，所以2θ
=60°+k ·180°，k ∈Z .若k 为偶数，则2θ是第一象限角，若k 为奇数，则2θ是第三象限角.综上，2θ
是第一或第三象限角.
(2)因为180°+k ·360°<θ<270°+k ·360°，k ∈Z ，所以
360°+2k ·360°<2θ<540°+2k ·360°，k ∈Z ，所以2θ是第一或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的角.
90°+k ·180°<2θ<135°+k ·180°，k ∈Z .若k 为偶数，则2θ是第二象限角，若k 为奇数，则2θ是第四象限角.所以2θ
是第二或第四象限角.
变式 (1)终边落在x 轴正半轴上的角的集合如何表示?终边落在x 轴上呢? (2)终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?
(3)已知α=π
6，角β的终边与α的终边关于直线y=x 对称，求角β的集合.
【解答】(1)终边落在x 轴正半轴上的角的集合是{β|β=k ·360°，k ∈Z }，终边落在x 轴上的角的集合是{β|β=k ·180°，k ∈Z }.
(2){β|β=k ·90°，k ∈Z }.
(3)π
2πZ 3k k ββ∈⎧⎫=+⎨⎬
⎩⎭，.
例2 已知α=30°，β=60°，γ=300°，OA ，OB ，OC 分别是角α，β，γ的终边. (1)分别写出两图中阴影部分(含边界)的所有角的集合； (2)写出图(2)中阴影部分在[0°，360°]上的所有角的集合
.
图(1) 图(2)
(例2)
【思维引导】(1)选择两条射线分别作为边界，一般按照逆时针方向确定范围；(2)一般用连续的范围表示区域角，若不能，也可以分段表示.
【解答】(1)图(1)中OA 可看作α的终边，OB 可看作β的终边，故终边落在阴影部分内的角的集合可表示为{θ1|k ·180°+30°≤θ1≤k ·180°+60°，k ∈Z }.
图(2)中OC 可看作-60°的终边，故终边落在阴影部分内的角的集合可表示为{θ2|k ·360°-60°≤θ2≤k ·360°+30°，k ∈Z }.
(2)[0°，360°]上所有角的集合为{θ|0°≤θ≤30°或300°≤θ≤360°}.
【精要点评】区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一.表示区域角时要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况，同时有的学生容易忽视前提，写成[-60°，30°].
变式 用弧度表示顶点在原点、始边重合于x 轴的正半轴、终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)
.
图(1) 图(2)
(变式)
【解答】75°=5π12，330°=11π6，135°=3π4，225°=5π
4.
故图(1)为π5π
2π-2612k k k ααπ⎧⎫<<+∈⎨⎬
⎩
⎭Z ，， 图(2)为3π3π
2π-2πZ 44k k k αα∈⎧⎫<<+⎨⎬
⎩⎭，.
任意角的三角函数的定义
例3 已知角α的终边经过点P (4， y )(y ≠0)，且sin α=5y
，求cos α和tan α的值.
【思维引导】由任意角的三角函数的定义，在直线上任取一点P ，先求得r ，进而求出各个三角函数值.
【解答】因为点P (4，y )(y ≠0)，
所以原点到点P 的距离r=2
16y +.
又因为sin α=5y ，所以sin α=2
16y
y
+=5y
，
因为y ≠0，所以y=±3，所以r=5.
当y=3时，cos α=45，tan α=34； 当y=-3时，cos α=45，tan α=-3
4.
【精要点评】三角函数值只与角的大小有关，与点P 在角的终边上的位置无关，由于P 是除原点外的任意一点，故r 恒为正，本题要注意对变量进行讨论.
变式 已知角α的终边经过点P (x ，-2)(x ≠0)，且cos α=36x ，求sin α+1
tan α
的值.
【解答】因为P (x ，-2)(x ≠0)，
所以点P 到原点的距离r=
22x +. 又因为cos α=36x ，所以cos α=2
2x x +=3
6x. 因为x ≠0，所以x=±10. 所以r=23.
当x=10时，点P 的坐标为(10，-2)， 由三角函数的定义，有
sin α=-223=-61
6tan α，
=10-2=-5，
所以sin α+1
tan α=-66-5=-6566+； 当x=-10时，同理可求得sin α+1
tan α=65-66.
扇形的基本运算
例4 如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6cm ，求扇形的弧长及所含弓形的面积
.
(例4)
【思维引导】直接结合弧长公式l=|α|r 求弧长，其中角的大小单位是弧度制；求弓形的面积需要先求出扇形及三角形的面积，然后再作差求得弓形的面积.
【解答】扇形的弧长l=|α|r=2π
3×6=4π(cm). 因为S 扇形AOB =12lr=1
2×4π×6=12π(cm 2)，
S △AOB =1
2r 2sin120°=93(cm 2)，
所以S 弓形=S 扇形AOB -S △AOB =(12π-93)cm 2. 【精要点评】在解决扇形问题时要注意：
(1)扇形的圆心角α、弧长、半径之间的关系：|α|=l r.
(2)扇形的面积S与圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：S=||
2π
πr2=
1
2lr.
(3)扇形的周长为C=2r+l.
变式(1)已知圆心角为60°的扇形的弧长为2π，求它的内切圆的半径；
(2)已知扇形的周长为4，求扇形面积的最大值.
【解答】(1)如图，设内切圆半径为r，则扇形的半径为3r，扇形弧长l=
π
3·3r=πr=2π，解得r=2.
(变式)
(2)设扇形的半径为r(0<r<2)，
弧长为l，由题意知l+2r=4，
所以l=4-2r，
S=1
2lr=
1
2(4-2r)·r=-r2+2r=-(r-1)2+1，
所以当r=1时，S max=1.
即当扇形的半径r=1时，扇形的面积最大为1.
1.下列命题中正确的是.(填序号)
①终边相同的角一定相等；
②锐角都是第一象限角；
③角α与角2α的终边一定不相同； ④第二象限角一定大于第一象限角. 【答案】②
2.若120°角的终边上有一点(-4，a )，则a= . 【答案】43
【解析】因为tan 120°=-4a =-3，所以a=43.
3.(2015·无锡期末)已知角α的终边经过点P (x ，-6)，且tan α=-35，则x 的值
为 . 【答案】10
【解析】根据三角函数的定义得tan α=-6x =-35，
所以x=10.
4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第 象限. 【答案】二
【解析】由题意得tan α<0且cos α<0，所以角α的终边在第二象限.
5.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长
AB.
(第5题)
【解答】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则1
12
24lr l r ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，
，解得12.r l =⎧⎨=⎩，
所以圆心角α=l
r =2.
如图，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则∠AOH=1弧度， 所以AH=1·sin 1=sin 1(cm)， 所以AB=2sin 1(cm).
趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第41~42页.
【检测与评估】
第四章 三角函数
第21课 弧度制与任意角的三角函数
一、 填空题
1.下列说法中，正确的是 .(填序号) ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限的角； ③第二象限的角为钝角； ④小于90°的角一定为锐角； ⑤角α与-α的终边关于x 轴对称.
2.已知α是第一象限角，则角2
的终边可能落在 .(填序号)
①第一象限；②第二象限；
③第三象限；④第四象限.
3.已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第象限角.
4.已知角α的终边经过点P(8，-6)，那么sin α=.
5.若角α的终边经过点P(a，2a)(a<0)，则sin α+3cos α=.
6.当α为第二象限角时，|sin|
sin a
α
-
cos
|cos|
α
α的值为.
7.已知某扇形的周长是8 cm，面积为4 cm2，则该扇形的圆心角的弧度是.
8.已知420°角的终边所在直线上有一点P(-4，a)，则实数a的值为.
二、解答题
9.已知角θ的终边经过点P(-3，m)(m≠0)，且sinθ=
2
4m，试判断角θ所在的象限，
并求出cosθ的值.
10.已知角α的终边经过点P(3a，-a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦、正切值.
11.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：
sin x>-1
2且cos x>
1
2.
三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)
12.已知扇形的圆心角为π
3，则扇形内切圆的面积与扇形的面积之比为 .
13.已知θ为第二象限角，那么sin(cos )
cos(sin )θθ的符号为 .
【检测与评估答案】
第四章 三角函数
第21课 弧度制与任意角的三角函数
1.②⑤ 【解析】命题①错，如：390°角终边在第一象限，但不是锐角；命题③错，如：480°角终边在第二象限，但不是钝角；命题④错，如：—30°小于90°，但不是锐角.
2.①③ 【解析】因为2k π<α<π2+2k π，所以k π<2α<π
4+k π.
当k 为偶数时，2α
的终边在第一象限；
当k 为奇数时，2α
的终边在第三象限.
3. 三或四 【解析】若cos θ>0，tan θ<0，则θ是第四象限角；若cos θ<0，tan θ>0，则θ是第三象限角，所以θ为第三或第四象限角.
4. -35 【解析】因为r=22
8(-6)+=10，所以sin α=-610=-3
5.
5.-5 【解析】r=22
(2)a a +=5|a|=-5a ，所以sin α=2-5a a =-25
5，cos α=
-5a a =-55，所以sin α+3cos α=-255+3×5-5⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭=-5.
6.2 【解析】由α为第二象限角，得|sin α|=sin α，|cos α|=-cos α，|sin |sin αα-cos |cos |α
α=2.
7. 2 【解析】设扇形的半径为r ，所对的弧长为l ，则有281
42r l lr +=⎧⎪
⎨=⎪⎩，，解得24r l =⎧⎨=⎩，，故α=
l
r =2.
8.-43 【解析】由三角函数的定义，得tan 420°=-4a
.因为tan 420°=tan(360°+60°)=tan 60°=3，所以-4a =3，所以a=-43.
9. 由题意得2
3m
m +=2
4m ，
因为m≠0，所以m=±5，故角θ是第二或第三象限角，所以cos θ=
2
-3
3(5)
+±=-
6 4.
10.r=
22
(3)(-)
a a
+=2
4a=2|a|.
①若a>0，则r=2a，
sin α=-
2
a
a=-
1
2，cos α=
3
2
a
a =
3
2，tan α=
-
3
a
a =-
3
3.
②若a<0，则r=-2a，
sin α=1
2，cos α=-
3
2，tan α=-
3
3.
11.在单位圆中作出满足sin x>-1
2的区域如图(1)中阴影部分所示，易知2kπ-
π
6
<x<2kπ+7π
6，k∈Z；
在单位圆中作出满足cos x>1
2的区域如图(2)中阴影部分所示，易知2kπ-
π
3<x<2kπ+
π
3，k∈Z；
所以2kπ-π
6<x<2kπ+
π
3，k∈Z.
即所求集合为
π
22
63
x k x k k
π
ππ
⎧⎫
-<<+∈
⎨⎬⎩⎭
Z
，
.
图
(1)
图(2) (第11题)
12.2∶3 【解析】设内切圆半径为r ，则扇形半径为3r ，扇形内切圆的面积与扇形
的面积之比为2
2
π1
π(3)6r r =23.
13.负号 【解析】因为θ为第二象限角，
所以0<sin θ<1<π2，-π
2<-1<cos θ<0，所以sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，所以sin(cos )cos(sin )θθ<0.。